Exercices sur le calcul dincertitude (calcul derreur)
CORRIGÉ Série OS Labo 01
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15 juin 2013 Dans le cas du calcul d'incertitudes ? et ? ne sont pas ... Exercice 4 : Ascenseur corrigé en version complète. La charge maximale d'un ...
Evaluation des incertitudes de mesure
A. Exercice " Incertitudes de mesures ". Solution des exercices de TD ... correspondant à la valeur du mesurande éventuellement corrigée si une erreur.
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1 Mesures et incertitudes L'utilisation d'appareil de mesure implique une source d'incertitude. Généralement ... Corrigés exercices. Exercice 1.
EXERCICES DE CALCUL DERREUR
Sachant que l'incertitude relative de l'appareil est de 3% exprimez le résultat de la mesure sous la forme standard U ± ?U. Combien de chiffres significatifs
Fiche de TD 2
Déterminer l'incertitude d'une mesure ainsi de la valeur moyenne lors de la mesure de la longueur Corrigé fiche TD 2. Exercice 1.
Dosages par titrage direct 10 Extraits de sujets corrigés du bac S
l'incertitude d'une mesure obtenue lors de la EXERCICE 2 – UN EXEMPLE DE CHIMIE VERTE : LA SYNTHÈSE DE L'IBUPROFÈNE. ACCÈS CORRECTION.
Calcul derreur (ou Propagation des incertitudes)
Généralement pour les mesures effectuées au laboratoire
Plan du document
IV – Composition des erreurs : évaluation de l'incertitude de mesure. C -Vérification d'une chaîne de mesure ainsi que des exercices et leur corrigé.
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Dans un premier temps la période d'oscillation d'un pendule sera mesurée pour Calcul d'erreur: estimer les incertitudes de mesures sur l et sur R et en ...
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A Exercice " Incertitudes de mesures " Solution des exercices de TD correspondant à la valeur du mesurande éventuellement corrigée si une erreur
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Exercice 3 : Mesures sur un cylindre L'estimateur du volume du cylindre vaut V = ?D2 4 h = 5027cm3 L'incertitude-type vérifie
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8162019 Exercices Corriges Sur Les Incertitudes 12 EXERCICES SUR LES INCERTITUDES Exercice 1 Pour mesurer l'épaisseur d'un cylindre creux vous mesurez le
Td corrigé les incertitudes de mesure pdf
Exercice : calculer l'erreur aléatoire commise sur la valeur de la tension m1 Réponse : on calcule la moyenne m(moy) m(moy) = (U1+U2+U3+U4)/4 =
Comment calculer l'incertitude TP physique ?
Le résultat doit être présenté sous la forme : G = Gme ± ?G. L'incertitude est souvent difficile à évaluer ; elle ne sera jamais connue avec plus de 2 chiffres significatifs. Les chiffres indiqués pour la valeur de Gme doivent être cohérents avec l'estimation de ?G. Par exemple : L = 23,4 ± 2,5 cm est correct.Comment calculer l'incertitude type exemple ?
Mesure Directe
1Si un écart est donné par le constructeur sous la forme ?c = ±h, alors l'incertitude est de la forme : h/?3.2Lecture d'une valeur : en lisant une valeur, soit sur un appareil avec des graduations, soit sur un appareil avec différents digits. Dans ce cas-là, l'incertitude est de la forme : h/2?3.Comment calculer les incertitudes de mesure ?
Pour calculer l'incertitude lors d'une multiplication ou d'une division, il faut diviser par deux la différence entre la valeur maximale et la valeur minimale pouvant être obtenue par les incertitudes.- Lorsque l'on proc? à une unique mesure on ne peut plus estimer l'incertitude-type de façon statistique. On proc? alors de la manière suivante. On détermine la plage d'erreur ?=xmax?xmin ? = x m a x ? x m i n dans laquelle il est raisonnable de penser que se trouve la valeur vraie.
JEAN-MARC BRETEAUEvaluation des
incertitudes de mesureTable des matières
Table des matières3
I - Cours7 A. Remarques préliminaires..........................................................................................................................................................
7 B. Évaluation de l'incertitude-type..............................................................................................................................................
7 1. Évaluation de Type A.....................................................................................................................................................
8 2. Évaluation de Type B......................................................................................................................................................
8 C. Incertitude-type composée....................................................................................................................................................
11 1. Grandeur Y mesurée directement.....................................................................................................................................
11 2. Grandeur Y mesurée indirectement.................................................................................................................................
13 D. Détermination de l'incertitude élargie.................................................................................................................................
16 1. Choix d'un facteur d'élargissement..................................................................................................................................
16 2. Nombre de degrés de liberté.............................................................................................................................................
18 E. Présentation des résultats de mesure...................................................................................................................................
21 F. Récapitulatif de la procédure d'évaluation de l'incertitude...............................................................................................
22II - Etude de cas : Etalonnage d'un luxmètre25 A. Mode opératoire.....................................................................................................................................................................
25 B. Incertitude sur la référence....................................................................................................................................................
26 C. Incertitudes associées aux conditions de mesure...............................................................................................................
28III - Exercice31 A. Exercice " Incertitudes de mesures "...................................................................................................................................
31Solution des exercices de TD35
Bibliographie39
3Introduction
En optique comme dans les autres sciences expérimentales, il n'existe pas de mesures exactes. Celles-ci ne peuvent être
qu'entachées d'erreurs plus ou moins importantes selon la méthode choisie, le mode opératoire, la qualité des
instruments de mesures ou l'habileté du manipulateur.Évaluer l'incertitude sur une mesure est une démarche complexe qui constitue une branche des sciences appelée
métrologie. De manière à ce que cette évaluation soit basée sur un consensus large et universellement reconnu, il existe
un guide pour l'expression des incertitudes de mesure dont la version française est la norme NF ENV 13005 datée
d'août 1999 [1] . En ce qui concerne le vocabulaire à employer, la norme NF X07-001 de décembre 1994 [2] rassemble
l'ensemble du Vocabulaire International de Métrologie (VIM).Vocabulaire de base
Les formats et termes généraux rassemblés dans le tableau 1 seront utilisés dans la suite du document.
Remarque :
Ne pas confondre Y et y : Y désigne la grandeur faisant l'objet d'un mesurage alors que y désigne le résultat
numérique du mesurage. La notation u et U provient de l'anglais "uncertainty»Types de mesure
La mesure y d'une grandeur Y peut être obtenue : soit directement comme dans le cas de la mesure d'une distance X à l'aide d'un régletsoit indirectement comme dans le cas de la mesure d'un déplacement L par méthode interférométrique.
Dans le premier cas la relation fonctionnelle est simple du type Y=XvoireY=X si on réalise N mesures répétées
de la distance X et qu'on en prend la valeur moyenne x=1N∑i=1
N xi . Dans le second cas, le déplacement L est tel queL=pVIDE
nT,P,H où p est un entier, VIDE la longueur d'ondedans le vide de la source lumineuse utilisée dans l'interféromètre et n(T,P,H) l'indice du milieu (air par exemple) dans
lequel se propage les rayons lumineux, lui-même fonction de la température T du milieu ambiant, de sa pression P et de
son degré d'hygrométrie H.D'une manière générale, on aura
Y=fX1,X2,... où X1,X2,...,Xj seront des grandeurs d'entrée faisantgénéralement l'objet d'un mesurage direct. Tableau 1 : conventions d'écriture et signification des symboles de base ÉcritureSignification
YMesurande, grandeur à mesurer
y u(Y)Incertitude-typeU(Y)Incertitude élargie
Incertitude relativeMesure de la grandeur Y
UY
y 5I - CoursI
Remarques préliminaires7
Évaluation de l'incertitude-type7
Incertitude-type composée11
Détermination de l'incertitude élargie16
Présentation des résultats de mesure21
Récapitulatif de la procédure d'évaluation de l'incertitude22A. Remarques préliminaires
Lorsqu'on rend compte du résultat d'un mesurage d'une grandeur physique, il faut donner une indication
quantitative sur la qualité du résultat de mesure pour que ceux qui l'utiliseront puissent estimer sa fiabilité. En
l'absence d'une telle indication, les résultats de mesure ne peuvent pas être comparés, soit entre eux, soit par
rapport à des valeurs de référence issues d'une spécification ou d'une norme.La notion d'incertitude comme attribut quantifiable de la qualité du résultat d'un mesurage est relativement
nouveau dans l'histoire de la mesure bien que l'erreur et l'analyse des erreurs soient depuis longtemps inclus
en métrologie. On considère en fait que lorsqu'on a évalué la totalité des composantes de l'erreur connues ou
soupçonnées et que les corrections appropriées ont été appliquées, il subsiste encore une incertitude sur la
validité du résultat exprimé, c'est à dire un doute sur la manière dont le résultat de mesure représente
correctement la valeur de la grandeur mesurée.La définition formelle du terme " incertitude de mesure » est donnée dans le VIM (§ 3,9).
D'un point de vue pratique, on exprimera l'incertitude d'un mesurage sous la forme d'un écart-type au sens
statistique, on parlera alors d'incertitude-type u(Y).B. Évaluation de l'incertitude-type
Une estimation du mesurande Y, notée y, est obtenue à partir de l'équationY=fX1,X2,... appelée
modèle mathématique du mesurage, en utilisant les estimations x1, x2, ..., xj des grandeurs d'entrée X1,
X2, ..., Xj. L'écart-type associé à l'estimation de sortie ou au résultat de mesure y, appelé incertitude-type
composée et noté uc(y), est déterminé à partir de l'écart-type estimé associé à chaque estimation d'entrée xi
appelé incertitude-type et noté u(xi). Chaque estimation d'entrée xi et son incertitude-type associée u(xi) sont
obtenues à partir d'une loi de répartition des valeurs possibles de la grandeur d'entrée Xi. Cette loi de
probabilité peut être fondée sur une série d'observations répétées Xi,k des Xi, on parlera alors d'évaluation de
7 CoursType A des composantes de l'incertitude-type ou ce peut être une loi à priori correspondant alors à une
évaluation de Type B. Dans les deux cas, les lois employées représentent le niveau de connaissance que l'on
a du moyen de mesure.1. Évaluation de Type A
C'est le cas où l'opérateur réalise une série de mesures répétées dans les conditions de répétabilité (cf. VIM
§3.6)
La moyenne arithmétique Xi obtenue par l'équation Xi=1N∑k=1
NXi,k est utilisée comme la meilleure
estimation de la grandeur d'entrée Xi. Les valeurs des observations individuelles xi,k diffèrent en raison des
variations aléatoires des grandeurs d'influence. La variabilité des valeurs observées xi,k ou plus exactement leur
dispersion autour de leur moyenne xi est appelée écart-type expérimental et se note : On en déduit l'écart-type expérimental de la moyenne sxi tel que : sxi=sxi Nc'est à dire :Dans la pratique, l'écart-type expérimental de la moyenne est appelé incertitude de répétabilité.
2. Évaluation de Type B
Si un laboratoire de mesure disposait de ressources et d'un temps illimités, il pourrait effectuer une recherche
statistique exhaustive de toutes les causes imaginables d'incertitude, en utilisant par exemple des instruments
de différents types et de différents fabricants, avec différentes méthodes de mesure, différents modes
opératoires et différentes approximations dans les modèles théoriques du mesurage.Les incertitudes associées à toutes ces causes pourraient être alors évaluées par l'analyse statistique de séries
d'observations et l'incertitude due à chaque cause pourrait être caractérisée par un écart-type évalué
statistiquement. Finalement, toutes les composantes de l'incertitude seraient obtenues par des évaluations de
Type A.
Comme une telle étude n'est pas envisageable économiquement, de nombreuses composantes de l'incertitude
doivent être évaluées par tous les autres moyens praticables. L'ensemble des informations recherchées peut
comprendre : des résultats de mesures antérieures, la connaissance générale ou empirique du comportement des instruments utilisés, les spécifications du fabricant, les certificats d'étalonnage,l'incertitude attribuée à des valeurs de référence provenant d'ouvrages, manuels et autres normes.
Ainsi pour une estimation xi d'une grandeur Xi. qui n'a pas été obtenue à partir d'observations répétées, la
variance estimée u2(xi) ou l'incertitude-type u(xi) est évaluée par un jugement scientifique fondé sur toutes les
informations disponibles à propos de la variabilité possible de Xi . L'incertitude-type ainsi évaluée est appelée
incertitude-type de Type B. sxi=1N-1∑k=1
N xi,k-x2 sxi=1NN-1∑k=1
N xi,k-x28 Cours En pratique, il est notamment nécessaire de faire un bilan des erreurs que l'on répartit en :Erreurs systématiques (cf. VIM §3.14) telles que l'erreur de parallaxe lors de la lecture sur un cadran à
aiguille, le réglage de zéro d'un appareil, les erreurs de méthode, le vieillissement des composants, ...
Erreurs aléatoires (cf. VIM §3.13) telles que les erreurs de lecture ou dues à l'appareil lui-même, ou
dues aux conditions extérieures (température, dilatation thermique, pression atmosphérique,
humidité, ...). a) Lois de probabilité à prioriPour arriver à exprimer l'incertitude de Type B sous forme d'un écart-type, il faut recourir à des lois de
probabilité dont les plus employées sont rassemblées dans le tableau 2. À noter qu'elles se rapportent içi à une
distribution de valeurs d'une variable aléatoire de moyenne µ=0 et d'étendue [-a;a]=2a
D'une manière générale, si le constructeur fournit l'incertitude-type, on l'utilise directement. Tableau 2 : Lois de probabilité usuelles pour l'évaluation des incertitudes de Type B LoiReprésentation graphiqueÉcart-type
Uniforme ou rectangulaire
Dérivée d'arc sinusNormale ou gaussienne
a=3 a 3 a 2a 3 9 CoursSi on a très peu d'information sur une grandeur d'entrée et que l'intervalle de variation supposé de celle-ci est
de la forme : x=±a alors l'incertitude-type est : ux=a 3 x=q alors l'incertitude-type est : ux=q23
en considérant une loi uniforme sur l'intervalle de variation de la grandeur. b) Exemples d'incertitudes de Type B Résolution d'un appareil de mesureLa graduation d'un instrument de mesure analogique ou l'afficheur d'un appareil numérique sont des
sources d'incertitude. Si la résolution du dispositif de lecture est δx, la valeur du signal d'entrée qui
produit une indication donnée X peut se situer avec une égale probabilité à n'importe quel endroit de
l'intervalle [X-x2;Xx
2], le signal d'entrée est alors décrit par une loi de probabilité
rectangulaire de largeur δx et d'écart-type uresx=x23 appelée incertitude de résolution.
Classe d'un instrumentL'Erreur Maximale Tolérée (EMT ; cf. VIM §5.21) donne les limites extrêmes de variation de
l'indication obtenue d'un instrument de mesure de classe définie par l'intervalle [-a;a].L'incertitude-type associée est alors
uclassex=a 3. HystérésisL'indication d'un instrument peut différer d'une quantité fixe selon que les lectures successives se
font par valeurs croissantes ou décroissantes. La plupart du temps le sens de l'hystérésis n'est pas
observable. Si la largeur de l'étendue des lectures possibles dues à cette cause est δx, l'incertitude-type
due à l'hystérésis est uhystx=x23.
Variations de températureUne des principales grandeurs d'influence d'un système de mesure est la température
d'environnement du moyen de mesure (local, enceinte climatisée, boîtier, ...). Dans la mesure où la
température varierait entre 2 extrema de façon quasi sinusoïdale, la loi de probabilité associée à cette
grandeur d'influence est la fonction dérivée d'arc sinus. Si les variations de la température sont telles
que T=±b alors l'incertitude-type due aux variations de température est utempT=b 2.C. Incertitude-type composée
1. Grandeur Y mesurée directement
Il faut la plupart du temps combiner les incertitudes de Type A et de Type B de telle manière que :
10 Cours autrement dit avec a) Cas d'une mesure unique Comme il n'y a qu'une seule mesure effectuée, urép=0 donc :Exemple
On mesure une seule fois un courant électrique à l'aide d'un ampèremètre dont l'incertitude-type est de
2,9mA. Des résultats de mesures antérieures ont donné une incertitude-type de 5,2mA.
L'incertitude-type sur la valeur de l'intensité I mesurée est : b) Cas de mesures répétéesDans ce cas l'incertitude de répétabilité est évaluée à partir des N mesures répétées.
Exemple
On effectue 9 fois une même mesure de courant à l'aide d'un ampèremètre dont l'incertitude-type est de
2,9mA.
Aucune autre information n'est donnée ni disponible. L'incertitude-type sur la valeur de l'intensité I mesurée est :Incertitude de répétabilitéu2rép:
u2(instrument): Incertitude-type (de Type B) de l'instrument mesure prenant en compte les contributions décrites dans la partie précédente 'Exemples d'incertitudes de Type B' telles que par exemple : u2(instrument) = u2rés(x) + u2hyst(x) u2(autres): Incertitudes-types (de Type B) autres que celles associées à l'instrument de mesure (résultats de mesures antérieures, expérimentateur, ...) uy=uA2uB
2 uy=urép uI=urép Cours2. Grandeur Y mesurée indirectement
Pour un mesurande Y fonction de plusieurs grandeurs d'entrée Xi suivant le modèle mathématique du
mesurage Y=fX1,X2,..., l'incertitude-type de y est obtenue par composition des incertitudes-types des
estimations d'entrée xi. Cette incertitude-type composée de l'estimation y est notée uc(y).des espérances mathématiques E(xi)=µi des grandeurs d'entrée xi. Le développement en série de Taylor au
premier ordre donne, pour des petites variations de y autour de µy : Le carré de la différence y-µy est alors donné par : qui peut être écrit sous la formeL'espérance mathématique de
y-y2 est la variance de y, soit E[y-y2]=y 2=uc2y d'où
finalement : où u( x i ) = incertitude-type sur x i rij = coefficient de corrélation de xi et x jCette équation est appelée loi de propagation des incertitudes. Elle montre comment se composent les
incertitudes u( xi ) des grandeurs d'entrée xi pour donner l'incertitude uc(y) de la grandeur de sortie y.
Les dérivées partielles
∂f ∂xi sont appelées coefficients de sensibilité. Elles décrivent comment variel'estimation de sortie y en fonction des variations dans les valeurs des estimations d'entrée x1, x2,...xp .
Le coefficient de corrélation rij est tel que
rij=uxi,xjuxiuxj où uxi,xj=E[xi-ixj-j] est la
covariance de xi et x .j a) Grandeurs d'entrée non corréléesLorsque toutes les grandeurs d'entrée X1, X2, ...., Xp sont indépendantes, c'est à dire lorsque les covariance
u(xi, xj) et les coefficients de corrélation rij sont nuls, l'incertitude-type composée est telle que :
y-y=∑i=1 p∂f ∂xi xi-i y-y2=[∑i=1 p∂f ∂xi xi-i] 2 y-y2=∑i=1 p ∂f ∂xi 2 xi-i22∑i=1 p-1 ∑j=i1 p∂f ∂xi ∂f ∂xj uc2y=∑i=1
p ∂f ∂xi 2 u2xi2∑i=1 p-1 ∑j=i1 p∂f ∂xi ∂f ∂xj uxiuxjrij uc2y=∑i=1
p ∂f ∂xi 2 u2xi12 Cours i Cas où Y est une somme ou une différenceExemple
Soit la grandeur distance L dépendant des grandeurs mesurées position, x1 et position x2 telles que L=x2-x1 . Alors uL=u2x1u2x2 . Si ux1=ux2=u alors uL=2u.
ii Cas où Y est un produit ou un quotientExemple
Soit la grandeur éclairement E dépendant des grandeurs connues ou mesurées intensité IL et distance D. La
loi de Bouguer donne E=ILD2 soit :
b) Grandeurs d'entrée corréléesSi on utilise dans l'estimation des valeurs de grandeurs d'entrée un même étalon physique, un même
instrument de mesure, une même donnée de référence ou encore la même méthode de mesure, il existera une
corrélation entre grandeurs d'entrée.De façon générale, si deux grandeurs d'entrée X1 et X2 estimées par x 1 et x 2 dépendent d'un ensemble de
variables non corrélées Q1, Q 2, ..., QL telles que X1=FQ1,Q2,...,QL et ,X2=GQ1,Q2,...,QL la covariance associée à x1 et x 2 est donnée par : avec u2(q1) la variance associée à l'estimation q1 de Q1. Le coefficient de corrélation estimé r(x1,x2) est déterminé à partir de l'expression avec u2x1=l=1 L ∂F ∂ql2 u2ql et une expression analogue pour u2( x2 ).Exemple
Dix résistances électriques, chacune de valeur nominale Ri=1000Ω sont étalonnées par comparaison à une
Y=Ax1±Bx2 alorsucY=[Aux1]2[Bux2]2 Y=Ax1 ax2 b x3 calorsucYY=[aux1
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