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Comment faire des exercices de maths en terminale sur les fonctions exponentielles ?
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Cours Terminale ES @ E. Poulin Page 15
6.1. Les fonctions exponentielles x→qn avec q>0
1. Définition :
La fonction
xqxa est une fonction définie sur ?. Sa courbe représentative est obtenue enreliant par une ligne continue et régulière les points de coordonnées ()nqn, pour În?. Cette
fonction est appelée fonction exponentielle de base q.Cas q>1 Cas q < 1
Points
: représentation graphique de la suite ()nqCourbe
: représentation graphique de la fonction xqxa2. Dérivabilité
Proposition 1 :
On admet que les fonction xqxa sont dérivables sur ?.Conséquences
: ces fonctions sont donc continues sur ? et admettent une tangente en chaque point.3. Relation fonctionnelle
Remarque : on sait déjà que si a et b sont des entiers et q>0, babaqqq´=+. On élargit cette relation pour les réels.Propriété 1 :
(admise) Pour tout nombre réel x et y, la fonction exponentielle de base q (q>0) vérifie la relation fonctionnelle ()()()yfxfyxf´=+ c"est-à-dire yxyxqqq´=+ On dit que les fonctions exponentielles transforment une somme en un produit.66.. FFoonnccttiioonnss eexxppoonneennttiieelllleess
xqy= xqy=Cours Terminale ES @ E. Poulin Page 16
Propriété 2 : conséquences
q désigne un nombre réel strictement positif. Pour tout réels x et y, on a xxqq1= yx yxqqq= 0>xq xxqq=2 et en particulier qq=5,0· Pour tout entier relatif n, ()()
xnnxnxqqq== (propriété admise)Preuves :
· xxqq
1=- car xxxxqqq--´= soit xxqq-´=1 . Donc 0¹xq et xxqq
1=- yx y xyxyxyxqq qqqqqq=´=´== --+-1· 0>xq car xxxqqq=´22 donc
2 2 x x qq et un carré est toujours positif. On sait enfin que 0¹xq.
· xxqq=2 car comme
2 2 x x qq et 0>xq, on a 2 2 x x qq.4. Sens de variation de la fonction exponentielle
Théorème :
On admet que le sens de variation de la fonction xqxa, définie sur ?, est le même que celui de la suite géométrique associée. · Si 10<q, la fonction xqxa est strictement décroissante sur ?.0 < q < 1 q >1
Exemples :
· La fonction xx9,0a est strictement décroissante sur ?, car 0<0,9<1 · La fonction xx9,2a est strictement croissante sur ?, car 2,9>1. ri rj O ri rj O y=qx y=qxCours Terminale ES @ E. Poulin Page 17
6.2. La fonction exponentielle
1. Propriété - définition
Il existe une unique fonction xqxa qui admet pour nombre dérivé 1 en 0. On note e la base de cette fonction exponentielle et 718,2 »eOn dit que la fonction exponentielle de base e est la fonction exponentielle. Elle se note :
xexa:expConséquences
· La fonction exponentielle est dérivable sur ? et son nombre dérivé en 0 est 1 : ()10pex=¢
· ()10exp0==e ()ee==11exp ( )ee11exp1==-- ()ee==5,05,0expPour tout nombre réel x, 0>xe
La fonction exponentielle est strictement croissant car 0>ePropriétés algébriques :
Elles se déduisent immédiatement des propriétés des fonctions xqxa yxyxeee´=+ yx yxe ee=- xxee1=- xxee=2 ()nxnxee=2. Dérivée de la fonction exponentielle
Propriété :
La fonction exponentielle est égale à sa fonction dérivée. Ainsi pour tout nombre réel x,
()xex=¢pexDémonstration :
a désigne un nombre réel. Le nombre dérivé en a de la fonction exponentielle est la limite quand
h tend vers 0 de heeheee hee hahaht h aahaaha1expexp.On sait que
()10pex=¢, c"est-à-dire que la limite quand h tend vers 0 du quotient h eh1- est égale à 1. On en déduit que la limite quand h tend vers 0 de ()ht est ae.3. Courbe représentative
· Tableau de variation de la fonction exponentielle x -¥ 0 1 +¥ ( )e ex x¢= + ex e 1 0· Equation de la tangente T0 à C au point A(0 ;1) ()10pex=¢ donc T0 : ()101+-=xy soit 1+=xy
· Equation de la tangente T1 à C au point B(1 ;e) ()e=¢1pex donc T1 : ()exey+-=1 soit exy= A B e CexpCours Terminale ES @ E. Poulin Page 18
Propriété :
· Pour tout réel a et b, baeeba<Û<
· Pour tout réel a et b, baeeba=Û=
Applications
: Résoudre dans ? les équations et inéquations suivantes : 0 =xe eex=-51 121,0=xe 124-=+xe
6.1. La fonction x→eu(x)
Notation : u désigne une fonction définie sur un intervalle I.La fonction
()()xuxexpa définie sur I est notée ue.1. Fonction dérivée
Propriété (admise) : SI la fonction u est dérivable sur un intervalle I, alors la fonction ()xuexa
est dérivable sur I et pour tout nombre réel x de I : ()( ) ( )( )xuuexuxe´¢=¢Conséquence :
Les fonctions u et ue ont le même sens de variation sur l"intervalle I. Exemple : Déterminer la dérivée de f(x) = e4x-2. En déduire les variations de f2. Primitives
On a vu au paragraphe précédent que
()xex=¢pex . Par conséquent, les primitive de xexa sont les fonctions de la forme Cexx+a (C étant une constante réelle quelconque)Propriété (admise) :
Si sur un intervalle une fonction f est telle que ()()()f x u x eu x=¢, alors les primitives F de f sur I
sont définies par ()()F x e Cu x= + (C étant une constante réelle quelconque) Exemple : Déterminer la primitive de f(x)=e3x+ 2.Cours Terminale ES @ E. Poulin Page 19
3. Exemples types
· Les fonctions : kx
kexf-a: avec k un nombre réel strictement positif.Ces fonctions sont de la forme
ue avec kxu-=.Elles sont donc dérivables sur
? et pour tout nombre réel x : ()kx kkexf--=¢ d"où ()0<¢xfkLes fonctions
kf avec k>0 sont donc strictement décroissantes sur x -¥ 0 +¥ kf - kf 1 0Pour tout
k>0, les courbes représentatives des fonctions kf passent par 1.· Les fonctions :
2:kx kexg-a avec k un nombre réel strictement positif.Ces fonctions sont de la forme
ue avec 2kxu-=.Elles sont donc dérivables sur
? et pour tout nombre réel x : 22kx
kkxexg--=¢. Or 022>-kxkxe d"où ()xgk¢ est du signe de -x.
Les fonctions
kg avec k>0 sont croissante sur ]]0;¥- et décroissantes sur [[+¥;0. x -¥ 0 +¥ kg + 0 - kg 10 0
Pour tout k>0, les courbes représentatives des fonctions kg admettent l"axe des ordonnées pour axe de symétrie. En effet, deux nombres réels opposés ont la même image par ces fonctions. xex2,0-a ____ xex9,0-a ____ xex3,1-a ____ xex2-a ____22,0xex-a ____
29,0xex-a ____
23,1xex-a ____
22xex-a ____
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