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Un programme linéaire (PL) mis sous la forme particulière où toutes les contraintes sont des équations et toutes les variables sont non négatives est dit
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La troisième présente un écart de 140 (le tableau indique 2800 mais cette contrainte avait été divisée par 20 avant d'être insérée dans le tableau) : cela
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1 2 Un exemple introductif pour la modélisation linéaire d'une variable quantitative On appelle cellule d'un plan d'expérience une case du tableau
Comment formuler un programme linéaire ?
étapes de formulation d'un PL :
Identifier les variables du problème à valeur non connues (variable de décision) et les représenter sous forme symbolique (exp. x1, y1 ). 2. Identifier les restrictions (les contraintes) du problème et les exprimer par un système d'équations linéaires.Qu'est-ce qu'un programme linéaire donnez un exemple ?
La programmation linéaire est une méthode permettant d'optimiser une production compte tenu de contraintes comme, par exemple, des ressources disponibles, en satisfaisant au mieux un objectif donné comme, par exemple, un bénéfice.Qu'est-ce que la forme standard d'un programme linéaire ?
Un programme linéaire (PL) mis sous la forme particulière où toutes les contraintes sont des équations et toutes les variables sont non négatives est dit sous forme standard. Il est noté (PL=).Lecture linéaire : la méthode en 6 étapes
11 – Fais une introduction et propose une problématique. 22 – Lis le texte avec entrain. 33 – Suis un plan. 44 – Mêle constamment le fond et la forme. 55 – Fais une courte conclusion. 66 – Sois efficace durant tes 30 minutes de préparation. 77 – Exemples de lectures linéaires.
Noyau et image des applications lin´eaires
D´edou
Novembre 2010
Noyau d"une application lin´eaire : d´efinitionD´efinition
Sif:E→Fest une application lin´eaire, son noyau, not´eKerfest l"ensemble des vecteurs deEquefannule :Kerf:={v?E|f(v) = 0}.Exemple
Le noyau de la projectionp:= (x,y,z)?→(x,y,0) deR3sur son plan horizontal est l"axe vertical d´efini parx=y= 0.Exo 1 Quel est le noyau de la projectionp:= (x,y,z)?→(0,0,z) deR3 sur son axe vertical? Noyau et syst`eme lin´eaire homog`ene : exempleExemple
Le noyau def:= (x,y,z)?→(3x+ 5y+ 7z,2x+ 4y+ 6z) est l"ensemble des solutions du syst`eme ?3x+ 5y+ 7z= 02x+ 4y+ 6z= 0.Autrement dit
L"ensemble des solutions du syst`eme
?3x+ 5y+ 7z= 02x+ 4y+ 6z= 0
est le noyau de l"application lin´eaire (x,y,z)?→(3x+ 5y+ 7z,2x+ 4y+ 6z).Noyau d"une application lin´eaire : exercice
Exo 2 a) Exprimez le noyau def:= (x,y,z,t)?→(3x+ 7z-t,2y+ 6z) comme ensemble de solutions. b) Exprimez l"ensemble des solutions du syst`eme ?3x+ 4t= 0 y-z-t= 02x+y+z-t= 0
comme noyau.Nature du noyau d"une application lin´eaire
Proposition
Le noyau d"une application lin´eaire deEdansFest un sous-espace vectoriel deE.Et ¸ca se prouve... trop facile! Image d"une application lin´eaire : d´efinitionD´efinition
Sif:E→Fest une application lin´eaire, son image, not´eeImfest l"ensemble des vecteurs deFde la formef(v) avecv?E:Imf:={f(v)|v?E}.Exemple
L"image de la projectionp:= (x,y,z)?→(x,y) deR3sur son plan horizontal est justemment ce plan horizontal, d"´equationz= 0.Exo 3Quelle est l"image de (x,y,z)?→(0,0,z)?
Image d"une application lin´eaire : exemple
Exemple
L"application lin´eairef:= (x,y,z)?→(3x+5y+7z,2x+4y+6z) s"´ecrit aussi f:= (x,y,z)?→x?3 2? +y?5 4? +z?7 6? Sous cet angle on voit (?) que les vecteurs de l"image defsont exactement les combinaisons lin´eaires du syst`eme de trois vecteurs ((3,2),(5,4),(7,6)) :Im(x,y,z)?→?3x+ 5y+ 7z
2x+ 4y+ 6z?
= .Autrement dit L"image defest le sous-espace vectoriel deR2engendr´e par ((3,2),(5,4),(7,6)).Mais qui sont ces vecteurs?
Si on ´ecrit
f:= (x,y,z)?→x?3 2? +y?5 4? +z?7 6? on voit (?) que les trois vecteurs ?3 2? ,?5 4? ,?7 6?sont les images parfde la base canonique. DoncL"image de l"application lin´eairefestle sous-espace vectoriel deR2engendr´e par les images parfde la
base canonique.Image d"une application lin´eaire : exercice
Exo 4Donnez des g´en´erateurs de l"image de
(x,y)?→(3x+ 7y,2y,x-y). Image d"une application lin´eaire : le cas g´en´eralProposition
Soitf:E→Fune application lin´eaire. Alorsl"image defest un sous-espace vectoriel deF;si le syst`eme de vecteurs (c1,...,cn) engendreE(en particulier
si c"est une base deE), alors l"image defest engendr´ee par le syst`eme (f(c1),...,f(cn)).Et ¸ca se prouve.Attention!
Mˆeme si (c1,...,cn) est une base deE, (f(c1),...,f(cn)) n"est pas forc´ement une base deImf. Par exemple pour f:R3→R2, et (c1,...,c3) la base canonique, (f(c1),...,f(c3)) ne peut pas ˆetre libre (trop de vecteurs).quotesdbs_dbs10.pdfusesText_16[PDF] incertitude élargie
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