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1 2 Un exemple introductif pour la modélisation linéaire d'une variable quantitative On appelle cellule d'un plan d'expérience une case du tableau
Comment formuler un programme linéaire ?
étapes de formulation d'un PL :
Identifier les variables du problème à valeur non connues (variable de décision) et les représenter sous forme symbolique (exp. x1, y1 ). 2. Identifier les restrictions (les contraintes) du problème et les exprimer par un système d'équations linéaires.Qu'est-ce qu'un programme linéaire donnez un exemple ?
La programmation linéaire est une méthode permettant d'optimiser une production compte tenu de contraintes comme, par exemple, des ressources disponibles, en satisfaisant au mieux un objectif donné comme, par exemple, un bénéfice.Qu'est-ce que la forme standard d'un programme linéaire ?
Un programme linéaire (PL) mis sous la forme particulière où toutes les contraintes sont des équations et toutes les variables sont non négatives est dit sous forme standard. Il est noté (PL=).Lecture linéaire : la méthode en 6 étapes
11 – Fais une introduction et propose une problématique. 22 – Lis le texte avec entrain. 33 – Suis un plan. 44 – Mêle constamment le fond et la forme. 55 – Fais une courte conclusion. 66 – Sois efficace durant tes 30 minutes de préparation. 77 – Exemples de lectures linéaires.
SYSTEMES LINEAIRES
P. Pansu
September 13, 2004
1 Motivation
On rencontre des syst`emes lin´eaires `a la fois dans la vie courante et dans des probl`emes pos´es
par les sciences.2 Objectif
Savoir r´esoudre (i.e. d´ecrire l"ensemble des solutions) `a la main un syst`eme lin´eaire de petite
taille. Savoir conduire une discussion lorsque le syst`eme d´epend d"un param`etre. Savoir interpr´eter g´eom´etriquement les r´esultats obtenus.3 G´en´eralit´es
a. D´efinition: syst`eme lin´eaire Une ´equation lin´eaire `aninconnues s"´ecrit a1x1+a2x2+···+anxn=b
o`ua1,...,ansont lescoefficientsde l"´equation,best lesecond membre,x1,...,xnd´esignent les inconnues. b. ExempleL"´equationy= 2x-1 repr´esente une droite affine dans le plan. C"est une ´equation lin´eaire `a
deux inconnues, car on peut l"´ecrire2x1-x2=-1
o`u on a simplement chang´e les noms des inconnues :x=x1ety=x2. c. ExempleL"´equationx+2y-3z= 2 repr´esente un plan affine dans l"espace. C"est une ´equation lin´eaire
`a trois inconnues. d. D´efinition: syst`eme lin´eaire (suite)Unsyst`eme lin´eaire dep´equations `aninconnuesconsiste `a se donnerp´equations lin´eaires
ayant les mˆemes inconnuesx1,...,xn. On range les coefficients desp´equations dans un tableau rectangulaire `aplignes etncolonnes appel´ematrice du syst`eme, et les second membre en une colonne appel´eesecond membredu syst`eme. Le syst`eme de matriceAet de second membreBpeut s"´ecrire symboliquementAX=Bo`uXd´esigne la colonne des inconnuesX=( (x 1... x n) e. Exemple 1 Chercher l"intersection des droites affinesDd"´equationy= 2x-1 etD?d"´equationy=-x+2 revient `a r´esoudre le syst`eme lin´eaire ?2x-y= 1 x+y= 2.La matrice du syst`eme est
?2-1 1 1? et le second membre?1 2? f. Exemple Chercher l"intersection des plans affinesPd"´equationx+2y-3z= 2 etP?d"´equation 2x-y+z=3 revient `a r´esoudre le syst`eme lin´eaire
?x+ 2y-3z= 2 x+y+z= 3.La matrice du syst`eme est
?1 2-31 1 1?
et le second membre?2 3? g. D´efinition: syst`eme lin´eaire (suite et fin) Unesolutiond"un syst`eme dep´equations `aninconnues, c"est unn-uplet (x1,...,xn) de nom-bres qui satisfont simultan´ement lesp´equations du syst`eme.R´esoudrele syst`eme, c"est d´eterminer
l"ensemble de toutes ses solutions, un sous-ensemble deRn. Deux syst`emes lin´eaires sont dits ´equivalentss"ils poss`edent les mˆemes solutions. h. ExempleLe syst`eme
?2x-y= 1 x+y= 2 poss`ede une unique solution (1,1). C"est le point d"intersection des droitresDetD?. Le syst`eme ?x+ 2y-3z= 2 x+y+z= 3.poss`ede une infinit´e de solutions. En effet, l"intersection des plansPetP?est une droite affine,
qui poss`ede une infinit´e de points. On d´ecrit une droite affine de fa¸conparam´etrique. Dans une
droite affine, il y a exactement une direction pour se d´eplacer, un "degr´e de libert´e". La droite est
balay´ee par un point d´ependant d"un param`etreλ. Ici, les solutions sont les points de la forme
?x= 4-5λ y=-1 + 4λ z=λ, o`uλd´ecritR.4 Sous-espaces vectoriels et affines
a. D´efinition: sous-espace vectoriel Un sous-ensembleEdeRnest unsous-espace vectoriels"il est stable par combinaison lin´eaire, i.e. si pour tousv,v??Eetλ,λ??R, le vecteurλv+λ?v?est encore dansE. b. Exemple Une droite passant par l"origine dans le plan ou l"espace est un sous-espace vectoriel. c. Exemplefondamental 2 L"ensemble des solutions d"un syst`eme lin´eairehomog`ene, i.e. dont le second membre est nul, est un sous-espace vectoriel.On cherche maintenant `a d´efinir le "nombre de degr´es de libert´e" dans un espace vectoriel, i.e.
le nombre de param`etres dont d´epend un ´el´ement du sous-espace. Unerepr´esentation param´etrique
d"un sous-espace vectorielEdeRnprend la forme suivante :v1,...,vdsont des vecteurs deE. Un vecteurvest dansEsi et seulement si il existe des nombresλ1,...,λduniques tels que v=λ1v1+···+λdvd. d. D´efinition: base Une famille (v1,...,vd) de vecteurs d"un sous-espace vectorielEest unebasedeEsi tout vecteurvposs`ede une ´ecriture uniquev=λ1v1+···+λdvdcomme combinaison lin´eaire dev1,...,vd.
e. Exemple Consid´erons la droiteDd"´equationy= 2xdans le planR2. C"est un sous-espace vectoriel. Soitv1= (1,2). On remarque que tout vecteurvdeDs"´ecrit de mani`ere uniquev= (x,y) = (x,2x) =x(1,2) =xv1. Par cons´equent,v1est une base deD. Th´eor`eme 1Tout sous-espace vectorielEdeRnadmet une base. Le nombre d"´el´ements de la base est le mˆeme pour toutes les bases. f. D´efinition: dimension Ladimensiond"un sous-espace vectorielEdeRnest le nombre d"´el´ements d"une base deE. Par convention, la dimension du sous-espace vectoriel{0}vaut 0. Un sous-espace vectoriel de dimension 1 s"appelle unedroite vectorielle. Un sous-espace vectoriel de dimension 2 s"appelle un plan vectoriel. Un sous-espace vectoriel de dimensionn-1 s"appelle unhyperplan vectoriel. g. Propri´et´es de la dimension Proposition 1SoientEetFdeux sous-espaces vectoriels deRn. SiEest contenu dansF(not´e h. Moralit´eD´ecrire un sous-espace vectoriel, c"est en donner une base. Etant donn´e un syst`eme lin´eaire
homog`ene (S), `a la question "d´eterminer les solutions de (S)", la r´eponse consiste `a calculer une
base de l"espace des solutions. i. ExempleConsid´erons le syst`eme homog`ene
?x+ 2y-3z= 0 x+y+z= 0. En ´eliminantxentre les deux ´equations, on arrive au syst`eme ´equivalent ?x+ 2y-3z= 0 y-4z= 0, puis `a ?x=-5z y= 4z. Autrement dit, toute solution du syst`eme s"´ecrit uniquementv= (x,y,z) = (-5z,4z,z) = z(-5,4,1), donc l"ensemble des solutions est le sous-espace vectoriel de basev1= (-5,4,1). j. D´efinition: sous-espace affine 3 SoitEun sous-espace vectoriel deRn, etv0?Rn. Lesous-espace affineFpassant parv0et de directionEest l"ensemble des vecteurs de la formev0+vo`uvd´ecritE. Sa dimension est celle deE, par d´efinition. Les points{v}sont des sous-espaces affines de dimension 0. On peut parler dedroites, plansethyperplans affines. k. Exemple La droite affine d"´equationy= 2x-1 dans le planR2est le sous-espace affine passant par v0= (0,-1) et dont la direction est la droite vectorielle de basev1= (1,2).
Th´eor`eme 2Soit(S)un syst`eme lin´eaire,(H)le syst`eme homog`ene associ´e (mˆeme matrice, mais
second membre nul). Soitv0une solution particuli`ere de(S). Alors l"ensembleSdes solutions de (S)est le sous-espace affine passant parv0et de direction l"ensembleEdes solutions de(H). Si(v1,...,vd)est une base deE, l"ensembleSadmet la repr´esentation param´etrique suivante Preuve.Sivest solution de (S), alorsv?est solution de (S) si et seulement siv?-vest solution de (H).l. Moralit´eSoit (S) un syst`eme lin´eaire. A la question "d´eterminer les solutions de (S)", la r´eponse consiste
`a donner une solution particuli`ere et une base de l"ensemble des solutions du syst`eme homog`ene associ´e.5 Syst`emes ´echelonn´es
Ce sont les syst`emes pour lesquels la dimension de l"ensemble des solutions saute aux yeux. a. D´efinition: syst`eme triangulaire Un syst`eme lin´eaire esttriangulaires"il a autant d"inconnues que d"´equations et si tous les coefficients de sa matrice situ´es au-dessous de la diagonale sont nuls. b. ExempleLe syst`eme
?x+ 2y-z= 43y-z=-1
-2z= 1 est triangulaire. Ses coefficients diagonaux 1, 3 et-2 sont non nuls. On voit `a vue d"oeil que cesyst`eme poss`ede une et une seule solution. En effet, la derni`ere ´equation d´etermine uniquementz,
puis la deuxi`eme donney, et la premi`ere donnex. Th´eor`eme 3SoitAune matrice triangulaire `a coefficients diagonaux non nuls. Il existe une matrice triangulaire not´eeA-1telle que, pour tout second membreB, l"unique solution du syst`emeAX=BsoitX=A-1B.
c. D´efinition: syst`eme ´echelonn´eUn syst`eme lin´eaire est´echelonn´esi sa matrice est form´ee d"une matrice triangulaire `a co-
efficients diagonaux non nuls, `a laquelle on a ajout´e des colonnes (quelconques), puis des lignes
identiquement nulles. La taille du sous-syst`eme triangulaire s"appelle lerangdu syst`eme. d. ExempleLe syst`eme
?x+ 2y-3z= 3 y-4z=-1 0 = 1 4est ´echelonn´e, de rang 2. Il ne poss`ede pas de solution, puisque la derni`ere ´equation n"est jamais
satisfaite. Th´eor`eme 4Soit(S)un syst`eme lin´eaire dep´equations `aninconnues. On suppose(S)´eche- lonn´e, de rangq. Alors(S)poss`ede des solutions (on dit que(S)estcompatible) si et seulement si lesp-qderni`eres composantes du second membre sont nulles. Si c"est le cas, alors l"ensemble des solutions de(S)est un sous-espace affine deRnde dimensionn-q. On obtient une solutionparticuli`erev0en imposant que lesn-qderni`eres inconnues soient nulles et en r´esolvant le syst`eme
triangulaire obtenu. On obtient une base de l"ensemble des solutions du syst`eme homog`ene associ´e
(H)en ajoutant `a(H)des ´equations qui expriment que lesn-qderni`eres inconnues sont nulles sauf une qui vaut1et en r´esolvant le syst`eme triangulaire homog`ene obtenu.Preuve.La condition de compatibilit´e est ´evidemment n´ecessaire. Supposons la satisfaite. On
peut donc oublier lesp-qderni`eres ´equations, qui s"´ecrivent 0 = 0. Ajoutons les ´equationsxq+1= 0,...,xn= 0. On obtient un syst`eme den´equations `an inconnues, triangulaire `a coefficients diagonaux non nuls. Il poss`ede une unique solutionv0. C"est une solution particuli`ere de (S).Consid´erons le syst`eme homog`ene (H) associ´e `a (S). Etant donn´es des nombresλq+1,...,λn,
ajoutons les ´equationsxq+1=λq+1,...,xn=λn. On obtient un syst`eme den´equations `an inconnues, triangulaire `a coefficients diagonaux non nuls, not´eA?X=B?. Il poss`ede une unique solutionX=A?-1B?. Pouri=q+1,...,n, soitBila colonne dont seule lai-`eme composante estnon nulle est vaut 1. Le vecteurvisugg´er´e par l"´enonc´e estvi=A?-1Bi. Soitv= (x1,...,xn) une
solution deH. Alors A ?v= (0,...,0,xq+1,...,xn) =xq+1Bq+1+···+xnBn donc v=A?-1(xq+1Bq+1+···+xnBn) =xq+1vq+1+···+xnvnet cette ´ecriture est unique. Par cons´equent, (vq+1,...,vn) est une base de l"espace des solutions
de (H).e. ExerciceSuivant la valeur du param`etre r´eela, d´eterminer le rang, d´ecider si l"ensemble des solutions
du syst`eme (Sa) ci-dessous est non vide, et lorsque que c"est le cas, donner sa dimension. (Sa)? ?x+ 2y-3z= 3 (1-a)y-z=-1 az=a(a-1) f. Solution Le syst`eme (Sa) est triangulaire. Siaest distinct de 0 et de 1, les coefficients diagonaux sont non nuls, donc le rang est 3 et le syst`eme (Sa) poss`ede une solution unique.Sia= 0, le syst`eme (S0) est ´echelonn´e de rang 2. La derni`ere ´equation, 0 = 0, est compatible,
donc (S0) poss`ede des solutions. D"apr`es le th´eor`eme 4, l"ensemble des solutions de (S0) est de
dimension 1, c"est une droite affine.Sia= 1, le syst`eme (S1) n"est pas ´echelonn´e. N´eanmoins, il suffit de changer l"ordre des
inconnues et d"ajouter la deuxi`eme ligne `a la derni`ere pour obtenir un syst`eme ´echelonn´e ´equivalent
`a (S1), ?x-3z+ 2y= 3 -z=-10 = 1.
Ce syst`eme n"a pas de solution, car la derni`ere ligne est incompatible, donc (S1) n"a pas de solution.
56 M´ethode du pivot de Gauss
La m´ethode employ´ee pour r´esoudre un syst`eme lin´eaire quelconque consiste `a le transformer en
un syst`eme ´equivalent de plus en plus simple, jusqu"`a ce qu"il soit ´echelonn´e. a. Op´erations ´el´ementairesIl s"agit des op´erations suivantes
1. Ajouter `a une ´equation une combinaison lin´eaire desautres´equations.
2. R´e´ecrire les ´equations en changeant l"ordre d"apparition des inconnues.
3. Permuter les ´equations.
4. Multiplier une ´equation par un nombrenon nul.
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