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TS www.pichegru.net 11 septembre 2016

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Exercices 000 : Incertitudes, CS et Unités

1 Chiffres significatifs

Exprimer le résultat de ces calculs avec le bon nombre de chiffres significatifs.

1. 153 m + 2,0 cm

2. 31,0 kg - 0,14 kg

3. 45/0,06

4. 78,0×2,0·10

2

5. log 1,5·10

-3

6. Concentration en H

3O+ d"une solution de pH 4,85.

7. Une grandeur calculée vaut x = 187,25. L"incertitude Dx calculée vaut

Dx = 1,23. Écrire la valeur de cette grandeur sous la forme x ± Dx.

2 Incertitude de lecture

On mesure les dimensions d"une feuille de papier avec une règle graduée au millimètre. On trouve une largeur = 21,0 cm et une longueur L = 29,7 cm.

1.a. Exprimer la largeur et la longueur sous la forme

± ∆ et L ± ∆L en

ne tenant compte que de l"incertitude de lecture.

1.b. Donner l"incertitude relative associée à ces deux mesures.

2.a En déduire un encadrement de la surface S de la feuille, puis

exprimer cette surface sous la forme S ± ∆S (incertitude absolue)

2.b. En déduire l"incertitude relative sur cette surface.

3 Formules donnant l'incertitude

1. Extrait de " Antilles 2013 - Ex.3 »

Dans les questions précédentes, il a été trouvé que le rapport e/m vaut

1,76·10

11 C·kg-1

• On donne ci-dessous les valeurs des grandeurs utilisées, avec les incertitudes associées: v

0 = (2,27 ± 0,02)·107 m·s-1 L = (8,50 ± 0,05) cm

E = (15,0 ± 0,1) kV·m

-1 h = (1,85 ± 0,05) cm

L"incertitude du rapport e/m, notée

meU , s"exprime par la formule : 22
0 0

22)(4)(4)()(

LLU vvU EEU hhU me meU

Calculer l"incertitude

meU puis exprimer le résultat de me avec cette incertitude.

2. Extrait de " Annales 0 nº1 - Ex.3 »

Dans les questions précédentes, il a été trouvé que )1"( 0 -=llcv, avec l"= 507 nm et l0 = 486 nm et c la vitesse de la lumière dans le vide. • On donne la relation d"incertitude suivante pour la vitesse : ll D××=Dcv2 . On exprimera le résultat sous la forme : v ± Dv. Les valeurs numériques sur les spectres sont données à ±1 nm.

4 Incertitudes et série de mesures

Plusieurs mesures d"une grandeur x ont donné les résultats suivants :

4,24 ; 4,12 ; 4,27 ; 4,32 ; 4,18 ; 4,30 ; 4,28 ; 3,01

1. Donner la valeur moyenne et l"écart-type s de cette série de mesure

2. Sachant que, pour un niveau de confiance de 95 %, l"incertitude

absolue D x est donnée par la formule nx s2=D, n étant le nombre de mesures effectuées, calculer cette incertitude.

3. La valeur réelle est de 4,23. Commenter. La mesure est-elle juste ?

Fidèle ? Que pourrait-on faire pour améliorer ce résultat ?

5 Décomposition d'unités

Décomposer les unités newton, joule et watt dans les unités fondamentales.

6 Homogénéité d'une relation

1. Extrait de " Amérique du Nord 2013 - Ex.2 »

• Débit d"éjection des gaz au décollage : D = 2,9·103 kg·s-1 • Vitesse d"éjection des gaz au décollage : vg = 4,0 km·s-1 Montrer que le produit gvD× est homogène à une force.

2. Extrait de " Amérique du Sud 2013 - Ex.2 »

La résistance thermique Rth (en K·W-1) d"une paroi plane est inversement proportionnelle à la conductivité thermique

λ (en

W·m

-1·K-1) du matériau qui la constitue et à la surface S traversée, et proportionnelle à l"épaisseur e. À partir des informations ci-dessus, donner l"expression de la résistance thermique d"une paroi plane. Vérifier l"homogénéité de votre expression.

3. Extrait de " Métropole 2014 - Ex.3 »

• Constante de gravitation universelle : G = 6,67×10-11 m3·kg -1·s-2

La troisième loi de Kepler s"écrit

S2 32
π4

MGaT×= où a est le demi grand

axe de l"ellipse, T la période pour parcourir la totalité de l"ellipse, G la constante de gravitation universelle et

MS la masse de l"astre attracteur.

Montrer que cette relation est homogène.

4. Période d'oscillation d'un pendule

La période d"oscillation d"un pendule T, de longueur , dans un champ de pesanteur d"intensité g est donnée par : (a) l gπT×=2 ; (b) l××=gπT2 ; (c) gπTl×=2 ; (d) l××=gπT12

Trouver la bonne réponse en la justifiant.

5. Concentration massique

Trouver la relation liant la concentration massique Cm, la concentration molaire C et la masse molaire M d"une substance en solution, en ne vous basant que sur les unités de ces grandeurs.

7 Calcul avec des unités

Retrouver les unités de G, constante de la gravitation universelle, dans le système S.I.

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Correction

Ex.1

1. 153 m + 2,0 cm = 153 m

Le dernier chiffre de 153 m correspond au rang des mètres. Le dernier chiffre de 2,0 cm correspond au dixème de centimètre. L"expression du résultat se limitera donc au mètre.

2. 31,0 kg - 0,14 kg = 30,9 kg

3. 45/0,06 = 8·10

2 (un seul CS)

4. 78,0×2,0·10

2 = 1,6·104

5. log 1,5·10-3 = -2,82 (2CS pour la valeur ® 2 chiffres après la virgule

pour son logarithme). 6. [H

3O+] = 10-4,85 = 1,4·10-5 (2 chiffres après la virgule pour le

logartihme ® 2 CS pour la valeur).

7. Un seul CS pour l"incertitude, donc Dx = 1. L"incertitude a donc le

rang des unités, on limitera donc l"écriture de la valeur de x au même rang : x = 187 ± 1. Ex.2

1.a. = 21,0 ± 0,05 cm et L = 29,7 ± 0,05 cm car l"incertitude totale

correspond à la plus petite gradution (ici, le mm).

1.b. Incertitude relative : ∆

/ = 0,002 soit 0,2 % et ∆L/L = 0,2 % aussi à cause de l"arrondi à un seul chiffre significatif.

2.a. S

min = 20,95×29,67 = 621,6 cm2 et Smax = 21,05×29,75 = 626,2 cm2. Pour écrire ceci sous la forme S ± ∆S, on prend la valeur moyenne de S (623,9 cm

2) et DS vaut la moitié de Smax - Smin, soit 4,6 cm2, que l"on

arrondit à 5 cm

2 (car une incertitude s"exprime avec un seul CS).

D"où S = 624 ± 5 cm

2.

2.b. DS/S = 0,8 %.

Ex.3

1. Le calcul donne : U (e/m) = 6,2×109 C·kg-1

donc e/m = (1,76 ± 0,06)×10

11 C·kg-1

2. v = 3,00·10

8×(507/486 - 1) = 1,30·107 m·s-1

=´×´=D50711000,328v8·105 m·s-1

D"où v = (1,30 ± 0,08)·10

7 m·s-1

Remarque : on peut aussi faire

48611000,32

8´×´=Dv, ce qui donne

la même chose avec l"arrondi. Ex.4

1. On fait le calcul en éliminant la valeur 3,01 qui est trop différente des

autres. Moyenne : 4,244 ; écart-type : 0,0711 (remarque : pour une raison que j"ignore, le calcul de l"écart type par Excel (0,0711) et par les calculatrices ne donne pas tout à fait le même valeur).

2. Ici, n = 7 car on travaille avec 7 mesures. Dx = 0,0538 que l"on

arrondit à 0,05.

3. La mesure est juste, car la moyenne (4,24) est très proche de la valeur

réelle. Elle n"est cependant pas très fidèle, car certaines mesures s"en

éloigne pas mal (4,12 par exemple).

Pour améliorer ce résultat, on pourrait faire plus de mesures. Ex.5

Newton : F = m·a donc N = kg·m·s-2

Joule : E = ½·m·v

2 donc J = kg·m2·s-2

Watt : P = E/Dt donc W = kg·m

2·s-3

Ex.6

1. [D·vg] = M·T-1×L·T-1 = M·L·T-2. Une force a les mêmes unité qu"une

masse × accélération soit M·L·T -2. Donc le produit D·vg est homogène à une force.

2. SeR×=lepolystyrèn

1

211-WKmKmWm

×Sel. Cette relation est bien homogène

car nous avons les mêmes unités des deux côtés de l"égalité. 3. S32 π4

MGaT××=et

ss1 kgskgmmπ422133

S32==´××=

---MGa. L"expression de T est bien homogène a des secondes.

4. L"intensité de la pesanteur s"exprime en m·s-2, la longueur en m et le

facteur 2p est sans dimension et donc sans unité. La période T s"exprime en seconde. • (a) :

12smsm--=×=

lg. Cette relation n"est pas homogène. • (b) : []-12smmsm×=××=×-lg. Cette relation n"est pas homogène. • (c) : ssmm2=×= -g l. Cette relation est homogène. • (d) : 1-

2msmsm11×=××=

×-lg. Cette relation n"est pas

homogène. La seule relation homogène est la (c). C"est donc elle qui est juste. Ex.7 G intervient dans l"expression de la force d"attraction gravitationnelle :

2BArmmGF××=

D"autre part, on sait qu"une force est une masse × une accélération.

Donc :

22

2mkg][smkg×=××

-G

Après simplification, on trouve que

213skgm][--××=G

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