[PDF] [PDF] Chapitre 1 Ensembles et sous-ensembles - Université de Rennes

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Chapitre 1

Ensembles et sous-ensembles

1. Notion d"ensemble - El´ement d"un ensemble

Unensembleest une collection d"objets satisfaisant un certain nombrede propri´et´es et chacun de ces objets est appel´e´el´ementde cet ensemble. Si xest un ´el´ement de l"ensembleE, on dit aussi quexappartient `aEet on notex?E. Sixn"appartient pas `aE, on notex??E. Deux ensembles sont´egauxs"ils ont les mˆemes ´el´ements.On admet l"existence d"un ensemble n"ayant aucun ´el´ement. Cet ensemble est appel´eensemble videet not´e∅.

Notations

•Il y a des notations r´eserv´ees pour certains ensembles ; par exemple,N est l"ensemble des entiers naturels ;Z,Q,RetCd´esignent respectivement l"ensemble des entiers relatifs, des nombres rationnels, des nombres r´eels et des nombres complexes ;R?,R+,R?+d´esignent les r´eels non nuls, les r´eels positifs, les r´eels strictement positifs, etc. •L"ensembleEdont les ´el´ements sont 1, 2, 3, 4 est not´eE={1,2,3,4}. •Un ensemble `a un seul ´el´ementxest not´e{x}et on l"appelle lesingleton {x}. On a doncx? {x}(et pasx={x}). •Plus g´en´eralement, soitEun ensemble etP(x) une propri´et´e v´erifi´ee ou non suivant la valeur dex, ´el´ement de E ; l"ensembleAdont les ´el´ements sont les ´el´ementsxdeEqui v´erifientP(x) est not´eA={x|x?EetP(x)}ou

A={x?E|P(x)}.

2. Relation d"inclusion

D´efinition 1.1 -SoientAetBdeux ensembles. On dit queAest inclus dansBsi chaque ´el´ement deAest un ´el´ement deB.On noteA?B. On dit aussi "Aest contenu dansB" ou "Aest une partie deB" ou "Aest un sous-ensemble deB". AB A?B

Intersection et r´eunion

Remarques -•A?A

•SiA?BetB?C, alorsA?C

•A=Bsi et seulement si (A?BetB?A).

On traduit les propri´et´es pr´ec´edentes en disant que la relation d"inclusion est respectivementr´eflexive,transitiveetantisym´etrique. On peut rapprocher a=b. De telles relations sont appel´eesrelations d"ordre.

Exemples -•N?Z?Q

• {x?R|0< x <4} ?R+

D´efinition 1.2 -Soit E un ensemble. Les sous-ensembles de E forment un ensemble appel´eensemble des parties de Eet not´eP(E). Exemple -SiE={1,2}, alorsP(E) ={∅,{1},{2},E}. Remarque -Les trois assertionsx?E,{x} ?Eet{x} ? P(E) sont

´equivalentes.

Exercice -1◦) SoitE={1,2,3}. Donner tous les sous-ensembles deE. 2 ◦) Montrer, par r´ecurrence surn, qu"un ensemble `an´el´ements a 2 nsous-ensembles. 3 ◦) SoientAetBdes sous-ensembles d"un ensembleE.

Montrer que (A?Bsi et seulement siP(A)? P(B)).

3. Intersection et r´eunion

D´efinition 1.3 -Soient A et B deux sous-ensembles d"un ensembleE. L"ensemble{x|x?Aetx?B}est appel´e l"intersection des ensemblesA etBet est not´eA∩B. SiA∩B=∅, on dit queAetBsont disjoints. L"ensemble{x|x?Aoux?B}est appel´e l"union des ensemblesAetBet est not´eA?B. BA

A∩B={x|x?Aetx?B}

BA

A?B={x|x?Aoux?B}

- 2 -

ENSEMBLES ET SOUS-ENSEMBLES

SoientAetBdeux sous-ensembles d"un ensembleE. On a :

1)A∩ ∅=∅etA? ∅=A

2)A∩B?AetA∩B?B

3)A?A?BetB?A?B

4)A?B=Asi et seulement siB?A

5)A∩B=Asi et seulement siA?B

Propri´et´es de∩et?-

Soient A, B, C trois sous-ensembles d"un ensembleE. On a :

1)A?B=B?A

2)A∩B=B∩A

3)A?(B?C) = (A?B)?C

4)A∩(B∩C) = (A∩B)∩C

5)A?(B∩C) = (A?B)∩(A?C)

6)A∩(B?C) = (A∩B)?(A∩C)

On traduit ces propri´et´es en disant que?et∩sontcommutatives(propri´et´es

1 et 2),associatives(propri´et´es 3 et 4), que?estdistributive par rapport `a∩

(propri´et´e 5) et∩estdistributive par rapport `a?(propri´et´e 6). Ces propri´et´es

seront ´etudi´ees dans le chapitre sur les lois de composition internes. Pour s"en souvenir, on peut les comparer aux propri´et´es analogues de l"addition et de la mutiplication dansR: poura,b,cr´eels, on aa+b=b+a, ab=ba, a+(b+c) = (a+b)+c, a(bc) = (ab)c, a(b+c) =ab+ac. Mais on n"a pas l"´equivalent de la propri´et´e 5 ; en g´en´eral, on n"a pasa+(bc) =ab+ac(trouver un exemple). !Ne pas oublier les parenth`eses. Par exemple,A∩B?Cn"a pas de sens. SiA= [0,1],B= [1,2] etC= [2,+∞[, on a (A∩B)?C={1}?[2,+∞[, etA∩(B?C) ={1}. G´en´eralisation -SiA1,A2,...,Ansont des sous-ensembles d"un ensemble E, on d´efinit de mˆeme la r´eunionA1?A2?...?Ancomme l"ensemble desxqui appartiennent `a au moins l"un des ensemblesA1,A2,...ouAnet l"intersectionA1∩A2∩...∩Ancomme l"ensemble desxqui appartiennent `a tous les ensemblesA1,A2,...,An: A

1?A2?...?An={x|?i? {1,2,...,n}, x?Ai}

A

1∩A2∩...∩An={x|?i? {1,2,...,n}, x?Ai}

Exercice -1◦) SoientA,B,C,Ddes sous-ensembles d"un ensembleE. Mon- trer que(A?B)∩(C?D) = (A∩C)?(A∩D)?(B∩C)?(B∩D).

Simplifier le r´esultat lorsque l"on aA?C.

2 ◦) SoitEun ensemble qui est la r´eunion de deux sous-ensembles AetB. On suppose queAetBsont finis et ont respectivementnet m´el´ements. SiAetBsont disjoints, combienEa-t-il d"´el´ements ? - 3 -

Compl´ementaire d"un ensemble

Plus g´en´eralement, siA∩Bap´el´ements, montrer queEen a n+m-p.

4. Compl´ementaire d"un ensemble

D´efinition 1.4 -SoientEun

ensemble etAun sous-ensemble deE. Le compl´ementaire deA dansEest l"ensemble {x|x?Eetx??A}. On le note?EAouE\Aou encore lorsqu"il n"y a pas d"ambigu¨ıt´e sur E, cA,Acou A. AE ?EA={x?E;x??A} Propri´et´es du compl´ementaire (Lois de De Morgan) -

SoientEun ensemble,AetBdes sous-ensembles deE.

1)?E(?EA) =A

2)A?Bsi et seulement si (?EB)?(?EA)

3)?E(A?B) = (?EA)∩(?EB)

4)?E(A∩B) = (?EA)?(?EB)

D´efinition 1.5 -SoientAetBdeux sous-ensembles d"un ensembleE. On note

1 -A\Bl"ensemble{x?A|x /?B}et on l"appelle diff´erence deAetB.

2 -AΔBl"ensemble (A?B)\(A∩B) et on l"appelle diff´erence sym´etrique

deAetB.

Proposition 1.6 -AΔB= (A\B)?(B\A).

BA

A\B={x?A;x??B}

BA

AΔB= (A?B)\(A∩B)

Remarques -•La diff´erence sym´etrique correspond au "ou" exclusif :AΔB est l"ensemble des points qui appartiennent `aAou `aB, mais

PAS `aAetBen mˆeme temps.

•Lorsque l"on aB?A, la diff´erence deAetBest aussi le compl´ementaire deBdansA.

•A\B=A∩Bc.

•A?Bsi et seulement siA\B=∅.

- 4 -

ENSEMBLES ET SOUS-ENSEMBLES

!Ne pas oublier les parenth`eses.Trouver un exemple d"ensembles v´erifiant (A\B)\C?=A\(B\C). Exercice -1◦) SoientA={x?R|x2-3x+ 1>0}etB={x?R|x >0}. Montrer que les ensemblesAc,Bc,A∩B,A?B,A\B,B\Aet AΔBsont des intervalles ou des r´eunions d"intervalles et pr´eciser lesquels. 2 ◦) SoientAetBdes sous-ensembles d"un ensembleE. Montrer que les trois propri´et´es suivantes sont ´equivalentes :

1)A=B2)A\B=B\A3)AΔB=∅

3 ◦) Mˆeme question pour les six propri´et´es suivantes. (On peut montrer qu"elles sont toutes ´equivalentes `a la premi`ere) :

1)A?B2)Bc?Ac3)A∩B=A

4)A?B=B5)A\B=∅6)AΔB=B\A

5. Partitions

D´efinition 1.7 -SoientEun ensemble etA1,A2,...,Andes sous-ensembles deE. On dit que ces sous-ensembles forment une partition deEsi les trois conditions suivantes sont v´erifi´ees :

1) Leur r´eunion est ´egale `aE:E=A1?A2?...?An

2) Ils sont deux `a deux disjoints : sii,j? {1,2,...,n}eti?=jalors

A i∩Aj=∅

3) Chacun de ces ensembles est non vide : pour touti? {1,2,...,n}, Ai?=∅.

A1A2A3A4

Sur le dessin ci-dessus, les ensemblesA1,...,A4forment une partition de l"ensembleE. Exemples -•SoientE=N, A1le sous-ensemble form´e des entiers pairs, A

2le sous-ensemble form´e des entiers impairs. Alors, les sous-

ensemblesA1etA2forment une partition deE.

•SoientE=R, A1=R?+, A2=R?-, A3={0}. Alors, les

sous-ensemblesA1,A2etA3forment une partition deE. !Attention `a ne pas confondre les termes "disjoint" et "distinct."R- etR+sont distincts, mais pas disjoints.R-?etR+?sont distincts et disjoints. - 5 -

Produit

Exercice -Soienta,betcdes r´eels, aveca≥0. A quelle condition les sous- ensembles]0,a[,]- ∞,b]et[c,+∞[forment-ils une partition de R?

6. Produit

D´efinition 1.8 -- SoientEetFdeux ensembles,xun ´el´ement deEet yun ´el´ement deF. Le couple (x,y) est la donn´ee des deux ´el´ementsxet ydans cet ordre. Les ´el´ementsxetysont appel´es respectivement premi`ere et deuxi`eme coordonn´ee du couple (x,y). Deux couples (x,y) et (x?,y?) sont ´egaux si et seulement si on a (x=x?ety=y?). Le produit cart´esienE×F est l"ensemble des couples (x,y) o`ux?Eety?F. Exemples -•SiE=F=R, le produitR×Rest aussi not´eR2. On le repr´esente souvent par l"ensemble des points du plan affine euclidien, en choisissant un rep`ere orthonorm´e (O,e1,e2). Le couple (x,y) est repr´esent´e par le point d"abscissexet d"ordonn´eey. •SiA= [2,5] etB= [2,4], le produitA×Best un sous- ensemble deR2qui peut ˆetre repr´esent´e par le rectangle sur la figure ci-dessous.

A×B

OB A e1 e 224
2 5 Remarques -•Il ne faut pas confondre le couple (x,y) et l"ensemble{x,y}. Six?=y, on a (x,y)?= (y,x), mais{x,y}={y,x}. Le couple (x,x) est repr´esent´e par un point de la premi`ere diagonale et l"ensemble{x,x}est le singleton{x}.

•A?EetB?Fsi et seulement siA×B?E×F.

•Un produit cart´esien de deux ensembles est vide si et seulement si l"un au moins des deux ensembles est vide. G´en´eralisation -Si on consid`ere des ensemblesE1,E2,...,En, on peut de mˆeme d´efinir les n-uples (x1,x2,...,xn) o`ux1?E1,x2?E2,...,xn?En - 6 -

ENSEMBLES ET SOUS-ENSEMBLES

et le produitE1×E2×...×En. En particulier,R×...×R? nfacteursest encore not´e R n. De mˆeme, on noteEnl"ensembleE×...×E? nfacteurs. Exercice -1◦) SoitA=B={1,2}.Donner tous les sous-ensembles deA×B. 2 ◦) On consid`ere les ensembles

E={1,2,3,4},

A={(i,j)?E2|i < j},

B={(i,j)?E2|i=j},

C={(i,j)?E2|i > j}.

Les repr´esenter par un dessin, et montrer queA,BetCforment une partition deE×E. - 7 -

EXERCICES D"APPLICATION

Exercice n◦1

EA,?EB,A∩B,A?B,A\B,B\AetAΔB.

Exercice n◦2

SoientA,BetCdes sous-ensembles d"un ensembleE. Les ´egalit´es suivantes sont-elles toujours vraies? (Sinon, donner un contre-exemple)

1)A\(B\C) = (A\B)\C

2)A?(B\C) = (A?B)\(A?C)

Exercice n◦3

SoientA,B,CetDdes sous-ensembles d"un ensembleE. Montrer les ´egalit´es

A\B= (A?B)\BetAΔB= (A∩Bc)?(Ac∩B).

Exercice n◦4

SoientA,BetCdes sous-ensembles d"un ensembleE.

1)Simplifier (A\C)?(B\C)?(A?B)c?C.

2)Simplifier (A\(Bc?C))?Ac?Bc?C.

Exercice n◦5

SoientA,B,CetDdes sous-ensembles d"un ensembleE.

1)Montrer que l"on a ((A∩B)?Bc=A?Bc) et ((A\B)?B=A?B).

2)En d´eduire que l"on aE= (C\D)?(A∩B∩Cc)?Ac?Bc?D.

Exercice n◦6

L´eon et Nicole travaillent dans un centre de lexicographie. Ils disposent de trois dictionnairesA,BetC. Leur patron donne `a L´eon le travail suivant : former d"abord une liste des mots communs aux dictionnairesAetB, former ensuite une liste de mots communs aux dictionnairesBetC, enfin chercher les mots qui figurent dans l"une ou l"autre liste, mais pas dans les deux `a la fois. L´eon demande `a Nicole de l"aider en dressant une liste des mots figurant dans le dictionnaireAou dans le dictionnaireC, mais pas dans les deux `a la fois. Ensuite L´eon se charge de trouver les mots communs `a cette liste et au dictionnaireB. Le patron obtiendra-t-il le r´esultat demand´e ?

Exercice n◦7

quotesdbs_dbs45.pdfusesText_45

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