Ensembles applications
http://mangeard.maths.free.fr/Postbac/Ensembles.pdf
Révisions en vue du partiel
12 mars 2011 ... f-1(f(A)) et f(f-1(A)). Si un ensemble est inclus dans l'autre on ... Si on prend pour A un ensemble `a deux éléments {a;b} et f une.
Chapitre 1 Ensembles et sous-ensembles
On dit que A est inclus dans B si Soient E et F deux ensembles A et B deux sous-ensembles de E et C et D ... c) L'intervalle I est inclus dans ]1
Chapitre 3 Dérivabilité des fonctions réelles
(3) f est dérivable en b si et seulement si f est dérivable `a gauche en b. Comme x0 est un point intérieur `a I on peut choisir V inclus dans I
2.2 Quelques propriétés des intégrales définies
(Intégrale définie) On suppose que la fonction réelle f: [a b] f(x)dx
Fonctions continues et uniformement continues
Un des intérêts de cet exercice réside dans la contraposée de la question 2 : Si f est définie sur I = ]a b[ (b ? » ) et n'admet pas de limite finie en a
IV. Applications linéaires
Si F = E et B = B alors cette matrice est appelée la matrice de f dans la base B et comme Imf est inclus dans R qui est de dimension 1 on a dimImf = 1.
LISTES DES SYMBOLES MATHÉMATIQUES Alphabetgrec
est inclus dans ou est égal `a ? il existe. ? ensemble vide. J n'existe pas. ? union ! un unique. ? intersection.
FONCTIONS DE REFERENCE
Démontrer que la fonction f définie sur R par f (x) = x2 ? 8x + 3 est strictement croissante sur l'intervalle 4;+????? . Soit a et b deux nombres réels
Noyau et image des applications linéaires
Si f : E ? F est une application linéaire son noyau
A inclus dans B implique f(A) inclus dans f(B) - Forum FS Generation
Bonsoir je souhaite prouver cette propriété f est une application de E dans F Soit A et B deux sous ensembles de E tels que A inclus dans
[PDF] Chapitre 1 Ensembles et sous-ensembles - Université de Rennes
Un sous-ensemble X de E × F est-il toujours de la forme A × B o`u A appartient `a P(E) et B appartient `a P(F) ? Exercice n?9 On suppose que les sous-
[PDF] ensemblepdf
Définition 1 1 – Soient A et B deux ensembles On dit que A est inclus dans B si chaque élément de A est un élément de B On note A ? B On dit aussi “A
[PDF] Chapitre 1 Ensembles et applications
18 fév 2013 · De plus f est surjective car si y ? B y = IdB(y)=(f ? g)(y) = f (z) avec z = g(y) donc y ? f (A) On en déduit que f est bijective Deuxi
[PDF] Mathématiques Contrôle Continu n?1 - jeudi 10 novembre 2016
Correction : On suppose que A ? B = A ? B Soit x ? B On a x ? A ? B = A ? C donc en particulier x ? A Cela prouve que B ? A Soit maintenant x
[PDF] Fonctions et Applications - Université de Toulouse
Une fonction f : E ?? F (de E dans F) est définie par un sous-ensemble de Gf ? E × F tel que pour tout x ? E il existe au plus un y ? F tel que (xy) ?
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Deux ensembles A et B sont égaux si et seulement si A est inclus dans B et B est inclus dans A La méthode la plus courante pour montrer que deux ensembles
[PDF] Fondement des mathématiques
Deux énoncés A et B sont équivalents si A implique B et B implique A On note alors A ?? B et on dit que ”A est équivalent `a B” on encore que ”A est vrai si
[PDF] Injectivité et surjectivité pour des applications quelconques:
Montrer que f injective ssi ?A B ? E f(A ? B) = f(A) ? f(B) Une petite remarque: la contraposée de: f injective ? ?A B
[PDF] Révisions en vue du partiel
12 mar 2011 · Les inclusions sont strictes Si on prend pour A un ensemble `a deux éléments {a;b} et f une fonction telle que f(a) = f
Licence STS, semestre 4 2010{2011
Mathematiques pour l'Informatique (Info 229) 12 mars 2011 http://www.lri.fr/ ~paulin/MathInfoRevisions en vue du partiel
Exercice 1Logique.
1. Donner la table de verite de la formule (P)Q)_(P^:Q). Cette formule est-elle une tautologie?
2. Construire une preuve en deduction naturelle de la formule :
(8x;P(x))Q)) :Q) 8x;:P(x)Correction :
1. La formule est une tautologie dont la table de verite est :PQ:QP)QP^ :Q(P)Q)_(P^ :Q)TTFTFT
TFTFTT
FTFTFT
FFTTFT
2. On noterala suite de formules(8x;P(x))Q);:Q;P(x)` :Qhyp` 8x;P(x))Qhyp`P(x))Q8E`P(x)hyp`Q)E(8x;P(x))Q);:Q;P(x)` ?:E(8x;P(x))Q);:Q` :P(x):I(8x;P(x))Q);:Q` 8x;:P(x)8I(8x;P(x))Q)` :Q) 8x;:P(x))I`(8x;P(x))Q)) :Q) 8x;:P(x))I
Exercice 2Fonctions.SoientXun ensemble,Aun sous-ensemble deXetfune application deX dansX.1. Comparer les ensemblesA,f1(f(A)) etf(f1(A)). Si un ensemble est inclus dans l'autre on
donnera une preuve, sinon on fournira un contre-exemple. 2. A quelle condition surfa-t-on une egalite entreAetf1(f(A))? demontrer ce resultat. 3. A quelle condition surfa-t-on une egalite entreAetf(f1(A))? demontrer ce resultat.Correction :
1. On af(f1(A))Af1(f(A)). En eet six2f(f1(A))alors9y2f1(A);f(y) =x
commey2f1(A)on af(y)2Adoncx2A. Par ailleurs six2Aalorsf(x)2f(A)donc x2f1(f(A)). Les inclusions sont strictes. Si on prend pourAun ensemble a deux elementsfa;bgetfune fonction telle quef(a) =f(b) =a. On af1(fag) =fa;bgetf(fag) =fagdoncf1(f(fag)) = fa;bg 6=fag. On af1(fbg) =;doncf(f1(fbg)) =; 6=fbg. 12. Sifest injective, alorsf1(f(A)) =A. Il sut de montrerf1(f(A))A(l'autre sens ayant
ete demontre a la question precedente pour n'importe quelle fonction). Soitx2f1(f(A)), on af(x)2f(A)donc il existey2Atel quef(x) =f(y)et commefest injective, on ax=yet doncx2A.3. Sifest surjective, alorsf(f1(A)) =A. Il sut de montrerAf(f1(A)). Soitx2A, il
existeytel quef(y) =xdoncy2f1(A). et commef(y) =x, on en deduit quex2f(f1(A)). Exercice 3ModelisationOn cherche a modeliser une base de donnees de livres dans une bibliotheque. Pour cela, on se donne comme primitif l'ensemblestringdes cha^nes de caracteres et on utilisera egalement l'ensembleNdes entiers. Sur l'ensemblestring, on utilisera le predicattuqui dit que le mottappara^t comme un sous-mot du motu.1. Expliciter en langage naturel les caracteristiques de votre base (quelles informations sur un livre
sont representees dans la base : titre, disponibilite, ...)2. Indiquer quel ensemble vous permet de representer la base de livres (on pourra introduire des
ensembles intermediaires pour representer certaines informations, les ensembles devront ^etre choisis precisement).3. On suppose donnee une base particuliereBqui est un element de l'ensemble que vous avez deni
precedemment. Exprimer sous forme d'une denition par comprehension l'ensemble des auteurs qui ont ecrit un livre dont le titre contient le mot logiqueet dont un exemplaire au moins est disponible dans la bibliotheque.Correction :
1. (a) Un livre sera represente par ses auteurs, un titre (eventuellement une edition). Chacun
de ces elements peut se voir comme une chaine de caracteres. Les auteurs peuvent se representer par des ensembles non vides nis d'auteurs. (b) Un exemplaire d'un livre est compose d'un numero (unique) qui permet de l'identier et d'un livre. On pourrait egalement associer a un exemplaire une information qui permet de positionner l'exemplaire dans la bibliotheque (sous la forme d'une chaine de caracteres ou d'un code). (c) Pour les livres empruntes, on peut garder pour chaque exemplaire l'information du nom de l'emprunteur et de la date de retour.2. On introduit les ensembles suivants :
auteurs=fX2}(string)jXni^X6=;g titre=string livre=auteurstitre exemplaire=Nlivre emprunteur=string date=f(d;m;y)2NNNj1d31^1m12^2010yg emprunt=exemplaireemprunteurdate On modelise une base comme un ensemble d'exemplaires et un ensemble d'emprunts (les exem- plaires empruntes) c'est-a-dire :base=}(exemplaire)}(emprunt). On peut restreindre les ensembles admissibles : on peut decider que tous les exemplaires qui apparaissent dans un emprunt restent repertories dans le premier ensemble. base1=f(books;out)2basej 8x2exemplaire;(9m2emprunteur;9d:2date;(x;m;d)2
out))x2booksg. 2 Au contraire on peut vouloir qu'un livre emprunte passe de l'ensemble des exemplaires a l'ensem- ble d'emprunts. ce qui revient a avoir : base2=f(books;out)2basej 8x2exemplaire;(9m2emprunteur;9d:2date;(x;m;d)2
out))x62booksg.3. L'ensemble qui nous interesse est en prenant par exemple la deuxieme modelisation de la base et
en ecrivantBsous la forme(Bb;Bo): fa2stringj 9as:auteurs;9t2titre;9i2N;(i;(as;t))2Bb^a2as^"logique"tg Exercice 4CardinauxSoitAun ensemble a trois elements distinctsfa;b;cg.1. Decrire en extension l'ensembleB=}(A) des parties deA.
2. Quel est le cardinal de l'ensembleB?
3. Quel est le cardinal de l'ensemble des parties deB(on ne cherchera pas a le construire)?
4. L'ensemble des applications deNdansAest-il denombrable?
Correction :
1.B=}(A) =f;;fag;fbg;fcg;fa;bg;fa;cg;fb;cg;fa;b;cggcet ensemble a8 = 23elements.
2. SiAest de cardinalnalors l'ensemble des parties deAa pour cardinal2ndonc}(B)a pour
cardinal28= 256.3. L'ensemble des fonctions deN!An'est pas denombrable. En eet on a montre que l'ensemble
des parties deNn'etait pas denombrable. Si on construit une application injective de}(N)dans N!Aalors on aura montre queN!An'est pas denombrable (sinon par composition on aurait une application injective de}(N)dansNdonc une bijection de}(N)dans un sous ensemble deNet donc}(N)serait ni ou denombrable).
A chaque sous-ensemblePde}(N)on associe la fonctionfP2N!Atelle quefP(x) =asi x2PetfP(x) =bsinon. On verie que cette fonction est bien injective. Exercice 5Denition recursive de fonction.La fonctionfibsur les entiers naturels est denie par les equations suivantes : fib(0) = 1fib(1) = 18n2N;2n)fib(n) =fib(n1) +fib(n2) { Donner le systeme d'inference qui denit la relation correspondant a ces equations. { Donner le principe d'induction associe a cette denition. { Montrer que ces equations denissent une application deNdansN.Correction :
{ La relation correspondant a ces equations est denie par le systeme d'inference :fib(0;1)fib(1;1)2nfib(n2;x)fib(n1;y)fib(n;x+y)
{ Le principe d'induction s'ecrit pour une proprieteP(n;m), si les trois conditions suivantes sont veriees :1.P(0;1)
2.P(1;1)
33.8nxy2N;2n)P(n2;x))P(n1;y))P(n;x+y)
alors8nm;fib(n;m))P(n;m). { Le principe d'inversion nous donne egalement les proprietes d'inversions :8m;fib(0;m))m= 1
8m;fib(1;m))m= 1
8nm;2n)fib(n;m)) 9xy2N;fib(n2;x)^fib(n1;y)^m=x+y
Ces proprietes nous permettent de montrer que la relation est fonctionnelle :8nm;fib(n;m)) 8m0;fib(n;m0))m=m0
Pour cela on fait une induction surfib(n;m)en prenant pourP(n;m)la formule8m0;fib(n;m0)) m=m0. Il faut montrer les 3 conditions :1.P(0;1)qui s'ecrit8m0;fib(0;m0))1 =m0
2.P(0;1)qui s'ecrit8m0;fib(1;m0))1 =m0
3. pour2n,xetytel queP(n2;x)etP(n1;y)il faut montrerP(n;x+y)qui s'ecrit :
8m0;fib(n;m0))x+y=m0.
Les deux premiers cas correspondent aux proprietes d'inversion pourn= 0etn= 1. Dans le3eme cas, on utilise aussi l'inversion pour2netfib(n;m0)on trouve9x0y02N;fib(n
2;x0)^fib(n1;y0)^m0=x0+y0. Soit doncx0ety0qui verient les conditionsfib(n2;x0)
etfib(n1;y0). DeP(n2;x)etfib(n2;x0)on deduitx=x0. De m^eme deP(n1;y)et fib(n1;y0)on deduity=y0. On a doncm0=x+yce qui est le resultat souhaite. Les equations denissent bien une relation fonctionnellefib. On va montrer que cette fonc- tion est totale. C'est-a-dire que8n;9m;fib(n;m). On peut reutiliser le principe d'induction generalise vu en TD :P(0))P(1))(8n;P(n))P(n+ 1))P(n+ 2))) 8n;P(n)
On prend pourP(n)la propriete9m;fib(n;m)Il sut donc de montrer :1.P(0)qui s'ecrit9m;fib(0;m), il sut de prendrem= 1
2.P(1)qui s'ecrit9m;fib(1;m), il sut de prendrem= 1
3. Pour unnarbitraire tel queP(n)etP(n+1), il faut montrerP(n+2)qui s'ecrit9m;fib(n+
2;m). DeP(n), on deduit qu'il existextel que9x;fib(n;x); deP(n+ 1), on deduit qu'il
existeytel que9y;fib(n+ 1;y); comme2n+ 2il sut de prendrem=x+ypour montrer9m;fib(n+ 2;m). 4quotesdbs_dbs45.pdfusesText_45[PDF] padlet français
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