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F10 - Suites 2BAC - Limites de suitesTaleESExercice1 (Antilles Guyane 2014) Un opérateur de téléphonie mobile constate que, chaque année, il perd 8% de ses précédent abonnés et que, par ailleurs, il gagne 3 millions de nouveaux abonnés. En 2013 le nombre d"abonnés est de 20 millions. On s"intéresse au nombre d"abonnés, en millions, pour l"année 2013+n. En supposant

que cette évolution se poursuit de la même façon, la situation peut être modélisée par

la suite (un) définie pour tout entier natureln, par :u0= 20 etun+1= 0,92un+ 3. Le termeundonne une estimation du nombre d"abonnés pour l"année 2013+n.

Partie a

1. (a) En utilisant cette modélisation, l"opérateur décided"arrondir les résultats

à 10

-3. À quoi correspond ce choix d"arrondi? (b) Déterminer le nombre d"abonnés en 2014 et en 2015.

2. On définit la suite (vn) parvn=un-37,5 pour tout entier natureln.

Démontrer que (vn) est une suite géométrique de raison 0,92. Préciser son premier terme.

3. Exprimervnen fonction den. En déduire que, pour tout entier natureln,

u n=-17,5×0,92n+ 37,5.

4. Déterminer le nombre d"abonnés en millions en 2020. Arrondir à 10-3.

5. Déterminer la limite de la suite (un).

6. L"opérateur peut-il espérer dépasser 30 millions d"abonnés?

Partie b

Compte tenu des investissements, l"opérateur considère qu"il réalisera des bénéfices lorsque le nombre d"abonnés dépassera 25 millions.

1. Recopier et compléter l"algorithme suivant afin de déterminer le nombre d"an-

nées nécessaires à partir de 2013 pour que l"opérateur fassedes bénéfices.Variables :Nun nombre entier naturel non nul

Uun nombre réel

Traitement :Affecter àUla valeur 20

Affecter àNla valeur 0

Tant que ...

Affecter àUla valeur 0,92×U+ 3

Affecter àNla valeurN+ 1

Fin Tant que

Sortie :Afficher ...

2. En quelle année l"opérateur fera-t-il des bénéfices pour la première fois?

Exercice2

(Centres Étrangers 2014) Dans une ville, un nouveau lycée vient d"ouvrir ses portes etaccueille pour sa pre-

mière rentrée 500 élèves. D"une année sur l"autre, le proviseur du lycée prévoit une

perte de 30% de l"effectif et l"arrivée de 300 nouveaux élèves. On modélise cette situation par une suite numérique (un) oùunreprésente le nombre d"élèves inscrits au lycée pour l"année 2013 +n, avecnentier naturel. On a donc u

0= 500.

1. (a) Calculer le nombre d"élèves qui seront inscrits au lycée en 2014.

(b) Calculer le nombre d"élèves qui seront inscrits au lycéeen 2015.

2. Justifier que, pour tout entier natureln, on a :un+1= 0,7un+ 300.

3. On souhaite, pour un entierndonné, afficher tous les termes de la suite (un)

du rang 0 au rangn. Lequel des trois algorithmes suivants permet d"obtenir le résultat souhaité? Justifier.Algorithme 1 Algorithme 2 Algorithme 3

Variables : Variables : Variables :

n,ientiers naturels,n,ientiers naturels,n,ientiers naturels, unombre réelunombre réelunombre réel Début algorithme Début algorithme Début algorithme

LirenLirenLiren

uprend la valeur 500uprend la valeur 500uprend la valeur 500 Pouriallant de 1 ànPouriallant de 1 ànPouriallant de 1 àn

AfficheruAfficheru uprend la valeur

0,7×u+ 300

uprend la valeur

0,7×u+ 300uprend la valeur

0,7×u+ 300Fin Pour

Fin Pour Fin Pour Afficheru

Afficheru

Fin algorithme Fin algorithme Fin algorithme

4. On considère la suite (vn) définie pour tout entier naturelnpar :vn=un-

1000.
(a) Démontrer que la suite (vn) est une suite géométrique de raisonq= 0,7. (b) En déduire que, pour tout entier natureln, un= 1000-500×0,7n. (c) Déterminer la limite de la suite (un). (d) Interpréter le résultat précédent.

5. (a) Résoudre dans l"ensemble des entiers naturels l"inéquationun?990.

(b) Interpréter le résultat trouvé précédemment. N.DAVAL - mathematiques.daval.free.fr1/1Lycée Georges Brassensquotesdbs_dbs49.pdfusesText_49

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