[PDF] Incomplétude de larithmétique

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Chapitre 9

Incomplétude de l"arithmétique

en science ont été révolutionnaires : il a ainsi prouvé que toute théorie suffisante pour

capturer les raisonnements arithmétiques est nécessairement incomplète, c"est-à-dire

telle qu"il existe des énoncés qui ne sont pas démontrables et dont la négation n"est pas

non plus démontrable. Ce théorème est largement considéré comme l"un des plus grands achèvements des mathématiques et de la logique du 20ème siècle. Avec tous les ingrédients précédents, nous sommes en fait en position de com- prendre ce théorème et d"en donner une preuve complète. C"est l"objet de ce chapitre : enfin, nous donnerons la preuve complète due à Turing. Nous ne ferons qu"évoquer la

9.1 Théorie de l"arithmétique

9.1.1 Axiomes de Peano

La question à laquelle on s"intéresse est de tenter d"axiomatiser l"arithmétique, c"est-à-dire les propriétés des entiers. Nous avons déjà présenté dans le chapitre 6Modèles. Complétudechapter.6, les axiomes de l"arithmétique de Robinson et les axiomes de Peano : on s"attend à ce que ces axiomes soient vérifiés sur les entiers, c"est-à-dire dansle modèle standard des entiersoù l"ensemble de base est les entiers, et où l"on interprète+par l"addition, par la multiplication, ets(x)parx+ 1. Autrement dit, on s"attend à ce que ces axiomes possèdent au moins un modèle :le modèle standard des entiers. Étant donnée une formule close sur une signature contenant ces symboles,Fest soit vraie soit fausse sur les entiers (c"est-à-dire dans le modèle standard des entiers). Appelonsthéorie de l"arithmétique, l"ensembleTh(N)des formules closesFqui sont vraies sur les entiers. 1

2CHAPITRE 9. INCOMPLÉTUDE DE L"ARITHMÉTIQUE

9.1.2 Quelques concepts de l"arithmétique

Il est possible de prouver que de nombreux concepts de la théorie des nombres se définissent parfaitement à partir de ces axiomes. Par exemple, on peut exprimer les concepts suivants : -INTDIV(x;y;q;r)défini comme "qest le quotient etrle reste de la division euclidienne dexpary".

En effet, cela peut s"écrire par la formule :

(x=qy+r^r < y): -DIV(y;x)défini comme "ydivisex". En effet, cela peut s"écrire :

9qINTDIV(x;y;q;0):

-EVEN(x)défini comme "xest pair". En effet, cela peut s"écrire :

DIV(2;x):

-ODD(x)défini comme "xest impair". En effet, cela peut s"écrire : :EVEN(x): -PRIME(x)défini comme "xest premier". En effet, cela peut s"écrire : (x2^ 8y(DIV(y;x))(y= 1_y=x))): -POWER2(x)défini comme "xest une puissance de2". En effet, cela peut s"écrire :

8y((DIV(y;x)^PRIME(y)))y= 2):

9.1.3 La possibilité de parler des bits d"un entier

On peut aussi écrire des formules commeBIT(x;y)signifiant que "yest une puis- sance de2, disons2k, et lekème bit de la représentation binaire de l"entierxest1". Cela est plus subtil, mais possible. Cela s"écrit en effet : (POWER

2(y)^ 8q8r(INTDIV(x;y;q;r))ODD(q))):

L"idée est que siysatisfait la formule, alorsyest une puissance de2, et donc en binaire il s"écrit10kpour un entierk. En divisantxpary, le reste de la divisionrsera leskbits de poids le plus faible dex, et le quotientqles autres bits dex, puisqu"on ax=qy+r. En testant siqest impair, on "lit" lek+ 1ème bit dex, soit le bit correspondant au bit à1dans l"entierycodant cette position.

9.2. THÉORÈME D"INCOMPLÉTUDE3

quel système de preuve raisonnable, une formulede l"arithmétique qui affirme sa propre non-prouvabilité dans le système : est vraie,n"est pas prouvable. (9.1) Tout système de preuve raisonnable est valide, et donc on doit avoir prouvable) est vrai. (9.2)

Alorsdoit être vraie, car sinon

est fausse)est prouvable. (par (9.1)) )est vraie. (par (9.2)) La construction deest intéressante par elle même, car elle capture la notion d"auto- référence.

9.2 Théorème d"incomplétude

9.2.1 Principe de la preuve de Turing

On va prouver le théorème d"incomplétude en utilisant une approche qui permet Cette approche est plus simple, et surtout nous avons maintenant tous les ingré- dients pour en faire une preuve complète, en utilisant les arguments de la calculabilité. L"idée est de se convaincre que dans l"arithmétique de Peano, ainsi que dans tout système "raisonnable" de preuve pour la théorie de l"arithmétique : Théorème 9.11.L "ensembledes théorèmes (formules closes pr ouvables)à partir des axiomes de Peano (ou de toute axiomatisation "raisonnable" des entiers) est récursivement énumérable. 2. L "ensembleTh(N)des formules closesFvraies sur les entiers n"est pas récur- sivement énumérable. Par conséquent, les deux ensembles ne peuvent pas être les mêmes, et le système de preuve ne peut pas être complet. En clair : Corollaire 9.1Il existe donc des formules closes vraies deTh(N)qui ne sont pas prouvables , ou dont la négation n"est pas prouvable à partir des axiomes de Peano, ou de toute axiomatisation "raisonnable" des entiers.

4CHAPITRE 9. INCOMPLÉTUDE DE L"ARITHMÉTIQUE

9.2.2 Le point facile

L"ensemble des théorèmes (formules closes prouvables à partir des axiomes de Peano) de l"arithmétique est certainement récursivement énumérable : quelle que soit la méthode de preuve (par exemple celle du chapitre 6Modèles. Complétudechapter.6),

on peut énumérer les théorèmes en énumérant les axiomes et en appliquant systéma-

tiquement toutes les règles de déduction dans toutes les façons possibles, en émettant toutes les formules closes qui peuvent être dérivées. Cela reste vrai dès que l"on suppose que l"on peut énumérer les axiomes de l"axio- matisation dont on part. C"est pourquoi, on peut dire que l"ensemble des théorèmes de toute axiomatisation raisonnable des entiers est récursivement énumérable. Remarque 9.1Autrement dit, plus haut, si on veut une définition de "raisonnable", il suffit de prendre "récursivement énumérable".

9.2.3 Lemme crucial

Le point crucial est alors de prouver le résultat suivant. Lemme 9.1L"ensembleTh(N)n"est pas récursivement énumérable. On prouve cela en réduisant le complémentaireHALTINGPROBLEMdu pro- blème de l"arrêtHALTINGPROBLEMdes machines de Turing à ce problème, i.e. en montrant queHALTINGPROBLEMmTh(N).

Le théorème découle alors :

du f aitque HALTINGPROBLEMn"est pas récursivement énumérable; et du f aitque si AmBet que siAn"est pas récursivement énumérable, alors

Bnon plus.

Rappelons queLunivest le problème suivant : on se donnehhMi;wi, et on veut déterminer si la machine de TuringMs"arrête sur l"entréew. Étant donnéhhMi;wi, nous montrons comment produire une formule close sur la signature de l"arithmétique telle que hhMi;wi 2HALTINGPROBLEM,

2Th(N):

En d"autres termes, étant donnéMetw, on doit construire une formule close sur la signature de l"arithmétique qui affirme que "la machine de TuringMne s"arrête pas sur l"entréew". Cela s"avère possible parce que le langage de l"arithmétique est suffisamment puis- sant pour parler des machines de Turing et du fait qu"elles s"arrêtent. En utilisant le principe de la formuleBIT(y;x)précédent, on va construire une série de formules dont le point culminant sera une formuleVALCOMPM;w(y)qui dit queyest un entier qui représente une suite de configurations deMsur l"entréew: en d"autres termes,yreprésente une suite de configurationsC0;C1;;CtdeM, codée sur un certain alphabettelle que : -C0est la configuration initialeC[w]deMsurw; -Ci+1est la configuration successeur deCi, selon la fonction de transitionde la machine de TuringM, pouri < t;

9.2. THÉORÈME D"INCOMPLÉTUDE5

-Ctest une configuration acceptante. Une fois que l"on a réussi à écrire la formuleVALCOMPM;w(y), il est facile d"écrire queMne s"arrête pas sur l"entréex: la formule s"écrit :9yVALCOMPM;w(y): Cela prouve la réduction, et donc termine la preuve du lemme, et donc prouve aussi mérable.

9.2.4 Construction de la formule

Il ne reste plus qu"à donner les détails fastidieux de la construction de la formule

à partir deMet dew. Allons-y.

Supposons que l"on encode les configurations deMsur un alphabet fini, que l"on peut supposer sans perte de restriction de taillep, avecppremier. Chaque nombre possède une unique représentation en basep: on va utiliser cette représentation en basepplutôt que la représentation binaire, pour simplifier la discus- sion. Supposons que la configuration initiale deMsurw=a1a2ansoit codée par l"entier dont les chiffres de l"écriture en basepsoient respectivementq0a1a2an: on utilise la représentation de la définition 7.4Notation alternativedefinition.7.4 pour représenter les configurations. Considérons que le symbole de blancBest codé par le chiffreken basep. SoitLEGALl"ensemble des6-uplets(a;b;c;d;e;f)de nombres en basepqui cor- respondent aux fenêtres légales pour la machineM: voir la notion de fenêtre légale du chapitre 7Modèles de calculschapter.7. Si l"on préfère,LEGALest l"ensemble des

6-uplets(a;b;c;d;e;f)tels que si trois éléments dereprésentés respectivement par

a;betcapparaissent consécutivement dans une configurationCi, et sid;e;fappa- raissent consécutivement aux mêmes emplacements dans la configurationCi+1, alors cela est cohérent avec la fonction de transitionde la machine de TuringM.

On définit maintenant quelques formules :

-POWERp(x): "Le nombrexest une puissance dep" : icipest un nombre premier fixé. Cela s"écrit :

8y((DIV(y;x)^PRIME(y)))y=p):

-LENGTHp(v;d): "Le nombredest une puissance depqui donne (un majorant de) la longueur devvu comme un mot sur l"alphabetàplettres". Cela s"écrit : (POWER p(d)^v < d): -DIGITp(v;y;b): "Lepème chiffre devà la positionyestb(yest donné par une puissance dep)". Cela s"écrit :

9u9a(v=a+by+upy^a < y^b < p):

6CHAPITRE 9. INCOMPLÉTUDE DE L"ARITHMÉTIQUE

-3DIGIT(v;y;b;c;d): "Les3chiffres devà partir de la positionysontb,cetd (yest donné par une puissance dep)". Cela s"écrit :

9u9a(v=a+by+cpy+dppy+upppy^a < y^b < p^c < p^d < p):

-MATCH(v;y;z): "Les3chiffres devà la positionysontb,cetdet corres- pondent aux3chiffres devà la positionzselon la fonction de transitionde la machine de Turing (yetzsont donnés par une puissance dep)". Cela s"écrit :^

Remarque 9.2On note évidemment ici,V

(a;b;c;d;e;f)2LEGALpour la conjonc- tion pour chacun des6-uplets deLEGAL. -MOVE(v;c;d): "la suitevreprésente une suite de configurations successives de Mde longueurcjusqu"àd: toutes les paires de suites de3-chiffres exactement écartés decpositions dansvse correspondent selon". Cela s"écrit :

8y((POWERp(y)^yppc < d))MATCH(v;y;yc)):

-START(v;c): "la suitevdébute avec la configuration initiale deMsur l"entrée w=a1a2anauxquelles on a ajouté des blancsBjusqu"à la longueurc(cest donné par une puissance dep;n;pi;0insont des constantes fixées qui ne dépendent que deM)". Cela s"écrit : n^ i=0DIGIT p(v;pi;ai)^pn< c^8y(POWERp(y)^pn< y < c)DIGITp(v;y;B)): -HALT(v;d): "La suitevpossède un état d"arrêt quelque part". Cela s"écrit :

9y(POWERp(y)^y < d^DIGITp(v;y;qa)):

-VALCOMPM;w(v): "La suitevest un calcul deMvalide surw". Cela s"écrit :

9c9d(POWERp(c)^c < d^LENGTHp(v;d)^START(v;c)^MOVE(v;c;d)^HALT(v;d)):

: "La machineMne s"arrête pas surw". Cela s"écrit : :9vVALCOMPM;w(v):

Notre preuve est terminée.

*Exercice 9.2.Le défaut des constructions précédentes est qu"elle permettent d"affir- mer qu"il existe des formules vraies mais non-prouvables, mais sans donner le moindre exemple de fonction non-prouvable. Utiliser les théorèmes de point fixe de la calculabilité (chapitre précédent) pour donner explicitement une formule qui n"est pas prouvable. et de prouver que l"on peut prendre comme la formule qui affirme que la théorie est cohérente. (la solution de l"exercice précédent produisant une formue dont l"interprétation n "est pas claire).

9.3. LA PREUVE DE GÖDEL7

construisant une formule close qui affirme sa propre non-prouvabilité. Notons`pour prouvable, etj=pour vrai respectivement sur les entiers. Supposons que l"on ait fixé un codage des formules par les entiers d"une façon raisonnable : siest une formule, alorshidésigne son codage (un entier).

9.3.1 Lemme de point fixe

point fixe déjà évoqués dans le chapitre précédent. librex, il y a une formule closetelle que `, (hi); i.e. les formules closeset (hi)sont prouvablement équivalentes dans l"arithmé- tique de Peano. avec les variables libresx;y;zqui affirme "le nombrezest le codage d"une formule obtenue en substituant la constante dont la valeur estxdans toutes les occurrences de la variable librex0dans la formule dont le codage esty". Par exemple, si(x0)est une formule qui contient une occurrence libre dex0, mais aucune autre variable libre, la formuleSUBST(7;h(x0)i;312)est vraie si312 = h(7)i. On ne donnera pas les détails de la construction de la formuleSUBST, mais l"idée est simplement d"observer que cela est bien possible, en utilisant par exemple l"idée de la relationBIT(x;y). On considère maintenant(x)définie par8y(SUBST(x;x;y)) (y)), et définie par(h(x0)i).

Alorsest la solution recherchée car

=(h(x0)i) =8y(SUBST(h(x0)i;h(x0)i;y)) (y)) , 8y y=h(h(x0)i)i ) (y) , 8y y=hi ) (y) , (hi) Bien entendu, on a utilisé ici des équivalences informelles, mais l"argument peut bien se formuler dans l"arithmétique de Peano. On observe maintenant que le langage de l"arithmétique est suffisamment puissant pour parler de prouvabilité en arithmétique de Peano. En particulier, il est possible de

8CHAPITRE 9. INCOMPLÉTUDE DE L"ARITHMÉTIQUE

coder une suite de formules par des entiers et d"écrire une formulePROOF(x;y)qui signifie que la suite de formules dont le codage estxest une preuve de la formule dont le codage esty. En d"autres termes,`PROOF(hi;h i),est une preuve dedans l"arithmé- tique de Peano. définie par9xPROOF(x;y).

Alors pour toute formule close,

`, j=PROV ABLE(hi):(9.3)

On a alors :

`, `PROV ABLE(hi):(9.4) La direction)est vraie car siest prouvable, alors il y a une preuvede. L"arithmétique de Peano et le système de preuve permettent d"utiliser cette preuve pour prouver(i.e. quePROOF(hi;hi)). La direction(découle de 9.3 est de la validité de la preuve dans l"arithmétique de Peano. Utilisons alors le lemme de point fixe à la formule close:PROVABLE(x). On obtient une formule closequi affirme sa propre non-prouvabilité : `, :PROVABLE(hi); en d"autres termes,est vraie si et seulement si elle n"est pas prouvable dans l"arith- métique de Peano. Par validité de la preuve dans l"arithmétique de Peano, on a j=, :PROVABLE(hi):(9.5) Alors la formuledoit être vraie, puisque sinon, alors j=:)PROVABLE(hi)(par 9.5) ) `(par 9.3) ) j=(par validité de A. de Peano) une contradiction.

Doncj=. Mais maintenant,

j=) :PROVABLE(hi)(par 9.5) ) 6j=(par définition de la vérité) ) 6`(par 9.3)

Doncest vraie, mais n"est pas prouvable.

9.4. NOTES BIBLIOGRAPHIQUES9

Le défaut de la preuve précédente est bien entendu qu"elle ne donne pas un grand sens à la formule. formule non prouvable. On peut exprimer une formuleCONSISTqui exprime le fait que la théorie est cohérente. On écrit qu"il n"est pas possible de prouver une formuleFet sa négation : il signifie queyest le codage de la négation de la formule codée parx. précise n"est pas prouvable.

Autrement dit :

duction cohérent ne peut prouver sa propre cohérence.

Nous ne rentrerons pas plus dans les détails.

9.4 Notes bibliographiques

Lectures conseilléesPour aller plus loin sur les notions évoquées dans ce chapitre, nous suggérons la lecture des derniers chapitres de [Kozen, 1997], qui reste courts et directs, ou de l"ouvrage [Cori and Lascar, 1993] pour une preuve complète. BibliographieCe chapitre est repris des trois derniers chapitres de l"excellent livre [Kozen, 1997]. Index (Ag;r;Ad),voirarbre binaire (V;E),voirgraphe (q;u;v),voirconfigurationd"unemachine de Turing :,voirconcaténation A c,voircomplémentaire

F(G=p),voirsubstitution

L(M),voirlangage accepté par une ma-

chine de Turing ,,voirdouble implication ),voirdéfinition inductive / différentes notations d"une,voirimplica- tion ,voiralphabet ,voirensemble des mots sur un alpha- bet \,voirintersection de deux ensembles [,voirunion de deux ensembles ,voirmot vide ,voiréquivalence entre formules,voir

équivalence entre problèmes

9,voirquantificateur

8,voirquantificateur

m,voirréduction jwj,voirlongueur d"un mot ,voirréduction

P(E),voirparties d"un ensemble

j=, 7, 8,voirconséquence sémantique :,voirnégation

6j=,voirconséquence sémantique

,voirpartie d"un ensemble ,voirproduitcartésiendedeuxensembles `, 7, 8,voirdémonstration,voirrelation successeur entre configurations d"une machines de Turing _,voirdisjonction ^,voirconjonctionuqv,voirconfiguration d"une machine de

Turing

hhMi;wi,voircodage d"une paire hMi,voircodage d"une machine de Tu- ring hmi,voircodage hi, 7,voircodage d"une formule hw1;w2i,voircodage d"une paire

Arith,voirexpressions arithmétiques

Arith

0,voirexpressionsarithmétiquespa-

renthésées arithmétique,voirthéorie de Peano, 1 de Robinson, 1 axiomes de l"arithmétique de Robinson, 1 de l"arithmétique de Peano, 1 codage notation,voirh:i d"une formule, 7 notation,voirhi d"une machine de Turing notation,voirhMi d"une paire notation,voirhhMi;wi,voirhw1;w2i cohérente,voirthéorie complémentaire notation,voirAc du problème de l"arrêt des machines de Turing notation,voirHALTINGPROBLEM complétude

RE-complétude,voirRE-complet

concaténation notation,voir: 10

INDEX11

configuration d"une machine de Turing notation,voir(q;u;v),voiruqv

équivalence

entre problèmes notation,voir fenêtres légales, 5 graphe notation,voir(V;E)

HALTINGPROBLEM, 4,voirpro-

blèmedel"arrêtdesmachinesde

TuringHALTINGPROBLEM,4,5,voircom-

plémentaireduproblèmedel"ar- rêt d"une machine de Turing incomplétude,voirthéorème d"incomplé- intersection de deux ensembles notation,voir\ langage accepté par une machine de Turing notation,voirL(M)

LEGAL, 5

longueur d"un mot notation,voirjwj modèle standard des entiers, 1 mot vide notation,voir partie d"un ensemble notation,voir parties d"un ensemble notation,voirP(E) problème de l"arrêt des machines de Turing notation,voirHALTINGPROBLEM produit cartésiende deux ensembles notation,voir

R,voirdécidable

RE,voirrécursivement énumérable

récusivement énumérable notation,voirRE réduction notation,voir,voirm machine de Turing notation,voir`

Th(N), 3, 4

théorème lemme de point fixe, 7 preuve de Turing, 3 principe, 1, 3 second théorème, 9 théorie cohérente, 9 de l"arithmétique, 1 union de deux ensembles notation,voir[

12INDEX

Bibliographie

[Cori and Lascar, 1993] Cori, R. and Lascar ,D. (1993). Logique Mathématique, vo- lume II. Mason. [Kozen, 1997] K ozen,D. (1997). Automata and computability. Springer Verlag. 13quotesdbs_dbs45.pdfusesText_45

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