10 Le phénomène dincomplétude PDF

Incomplétude de larithmétique

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>G A/, ?H@yjjd88j8 ?iiTb,ff?HXb+B2M+2f?H@yjjd88j8 hQ +Bi2 i?Bb p2`bBQM, Ceci est une version préliminaire du chapitre 10 de l"ouvrage suivant : F. Pog- giolesi et P. Wagner, éd.,Précis de philosophie de la logique et des mathématiques, vol. 1,Philosophie de la logique, Paris, Éd. de la Sorbonne, 2021, p. 423-464. Merci de citer uniquement la version publiée.

10 Le phénomène d"incomplétude

Pierre Wagner

Existe-t-il un système arithmétiquementcomplet, au sens où il contiendrait la clef de toute question susceptible d"être soulevée en théorie des nombres? Plus précisément : existe-t-il un ensembleAd"axiomes qui décide de tout énoncé Asi, et seulement si,'ne l"est pas? Si la réponse mathématique négative que

1a reçu des interprétations diverses, parfois contestables,

qui dépassent la question de la complétude de l"arithmétiquestricto sensuet dont la discussion requiert une intelligence des théorèmes d"incomplétude et des méthodes requises par leur démonstration. Les subtilités qui distinguent leurs multiples variantes risquent en eet d"induire des erreurs d"interpréta- plications philosophiques, une série de définitions préalables est donc requise, ainsi qu"un aperçu des diérentes versions des théorèmes en question et des méthodes utiles à leur démonstration. Dans un second temps, nous examinons

pour l"épistémologie des sciences exactes, la démonstration du premier théorème d"incomplétude

2PierreWagnertiques ordinaires, à notre compréhension de l"arithmétique, aux remarques de

Wittgenstein et à la philosophie carnapienne des mathématiques 2.

1. Variété du premier théorème d"incomplétude

SoitLAun langage formel du premier ordre avec égalité dont les signes non logiques sont " 0 », "s», "+» et "», respectivement interprétés, dans le domaineNdes entiers naturels, parzéroet les fonctionssuccesseur,sommeet produit. LaLA-structureNainsi définie est l"interprétation standard deLA. Soit un système de dérivation formelle (système hilbertien, déduction na- turelle ou autre) qui définit une relation`de dérivabilité entre un ensemble d"énoncés et un énoncé'quelconques. On dit qu"un ensembleTd"énoncés d"un langage formelLest unethéoriesiTest clos par dérivation formelle, c"est- à-dire si pour tout énoncé'deL,'2TsiT`'. Une partieAd"un ensemble Uest ditedécidables"il existe une procédure eective applicable à un élémentu quelconque deUpermettant de déterminer siu2Aouu18x(0,s(x)) Q

28x8y(s(x)=s(y)!x=y)

38x(x,0! 9y(s(y)=x))

48x(x+0=x)

58x8y(x+s(y)=s(x+y))

68x(x0=0)

78x8y(xs(y)=(xy)+x).2. Nous prenons le parti de ne pas insister sur les implications de l"incomplétude pour la

question du mécanisme en philosophie de l"esprit - trop éloignée de la philosophie de la logique

proprement dite - et de ne traiter que brièvement de ses conséquences pour le programme de

Hilbert, dont il est également question dans le volume 2 du présentPrécis. On trouvera d"autres

indications sur le premier point dans Shapiro [1998] et sur le second dans Sieg [2013]. L"espace

manque pour rendre compte d"autres débats, notamment ceux qui touchent à la vérité, aux prin-

cipes de réflexion et au déflationnisme aléthique (sur ces questions voir le chapitre 3).

Le ph´enom`ene d"incompl´etude3

L"arithmétique de Peano,PA, est une extension deQobtenue par ajout d"un schéma d"axiomes dit "schéma d"induction» : '(0)^ 8x '(x)!'(s(x)) ! 8x'(x) où'(x) est une formule quelconque deLA. SoitT0une théorie dont le langageL0inclut le langageLd"une théorieT. On dit queT0est uneextensiondeTsiTT0. Un ensembled"énoncés d"un langage formelLest ditconsistantsi aucun énoncé'deLn"est tel que`' et` :',inconsistants"il n"est pas consistant. Une théorieTest ditecomplètesi pour tout énoncé'du langage deT,T`'ouT` :',incomplètesi elle n"est pas complète. Enfin, un énoncé'du langage deTest ditindécidabledansTsi T0'etT0:'(on ne confondra pas la décidabilité d"un énoncé avec celle d"un ensemble, définie ci-dessus

3). On montre assez facilement qu"une théorie

axiomatisable, consistante et complète est décidable (pour déterminer si un énoncé'du langage deTest dansT, il sut d"énumérer systématiquement les théorèmes jusqu"à trouver'ou:'). Sur la base de ces définitions, une première version du théorème d"incom- plétude peut être énoncée. SoitTune extension axiomatisable deQ; siTest consistante, elle est incomplète. cis. Sa démonstration montre comment, pour toute extension axiomatisableT deQ, il est possible de définir un énoncéGdeLA(dont la formulation dépend deTet qu"on note donc parfoisGT) tel que : siTest consistante, alorsGest indécidable dansT. De surcroît, la définition deGest telle que siTest consistante,Gest vrai (au sens de " vrai dans l"interprétation standard deLA»). En eet, en suivant l"interprétation standard des signes deLA, il est possible de lireGcomme signifiant qu"il n"existe pas de preuve deGdansT4. Le point remarquable, dans ce théorème, est le contraste entre l"extrême pauvreté du langage dans lequelGest formulé et la puissance démonstrative potentielle deT: quelle que soit la force des axiomes de l"extensionTdeQ, il existe un énoncé de l"indigent langageLAqui est indécidable dansT, pourvu

queTsoit axiomatisable et consistante. En outre, la complexité logique de3. Cette notion de décidabilité ne dépend nullement de l"existence d"une procédure eective;

"indécidable» en ce sens est une simple abréviation de "ni démontrable ni réfutable».

4. Sur les conditions exactes auxquellesGse prête à une telle lecture, voir Milne [2007].

4PierreWagnerl"énoncéGest remarquablement faible :Gest équivalent à un énoncé de la

permettant de déterminer, pour tout entier natureln, si'(n) est vrai,nétant la représentation standard dendansLA5). Les énoncés de cette forme sont dits

01(ou1). Plus généralement, un énoncé arithmétique est1s"il est de la

forme8x1:::8xn'(x1;:::xn) où'(x1;:::xn) est sans quantificateur non borné, et donc calculable 6. mais un systèmeTdérivé desPrincipia Mathematicade Russell et Whitehead et faisait l"hypothèse non de sa consistance mais de son!-consistance. Plus siTest consistant, alorsT0G; siTest!-consistant, alorsT0:G. libre telle queT` 9x'(x) etT` :'(n) pour tout entier natureln. Deux consé- quences immédiates de cette définition sont d"une part queNn"est pas modèle d"une théorie!-inconsistante et d"autre part que toute théorie!-consistante Tsoit 1-consistante, c"est-à-dire que l"hypothèse d"!-consistance vaille pour les formules dites01(ou1), qui sont de la forme9x1:::9xn'(x1;::: ;xn), où '(x1;::: ;xn) est sans quantificateur non borné, et donc calculable8. En 1936, un ranement dû à Rosser permit de remplacer l"hypothèse d"!- consistance par l"hypothèse plus faible de consistante simple, à condition tou- siTest consistant, alorsT0GRetT0:GR.

aucunement recours au concept de vérité ni à aucun autre concept sémantique.5. Sur ce point, la terminologie est variable et on dit aussi qu"un tel'(x) estdécidable.

6. Un exemple bien connu d"énoncé1est la conjecture de Goldbach : quel que soit l"entier

naturel pairnsupérieur ou égal à 4, il existe deux nombres premiersketm(inférieurs àn) tels que

k+m=n.

7. Introduite par Raphael Robinson en 1950,Qest une théorie arithmétique très faible, dont les

8. Comme exemple d"énoncé1, on peut penser à celui qui arme l"existence d"une solution

de l"équation diophantienneP(x1;::: ;xn)=0 (dans une telle équation, le termeP(x1;::: ;xn) est un polynôme à coecients entiers et la solution recherchée unn-uplet d"entiers).

9. Sur la définition deG, voirx2.2; sur celle deGR, voir Smith [2013], chap. 25.

Le ph´enom`ene d"incompl´etude5

On dit en ce sens qu"elle est purement syntaxique (bien qu"elle soit formulée dans des mathématiques informelles). Ce caractère de la démonstration histo- implications deTIG1pour le programme de Hilbert pour le fondement des mathématiques, lui aussi purement syntaxique. Par ailleurs, le scepticisme gé- néral qui entourait l"idée de vérité mathématique, lorsqu"elle est distinguée démonstration syntaxique deTIG1. Une version aaiblie de ce théorème est néanmoins possible, qui fait l"hypothèse non de la consistance deTmais de sa fiabilité : siTest fiable, alorsTest incomplète. Au sens où nous l"entendons ici, une théorie arithmétique est ditefiablesi tous ses théorèmes sont vrais. La fiabilité est donc une condition plus forte que la consistance car une théorie simplement consistante peut tout à fait démontrer des théorèmes faux. Cette version deTIG1est donc plus faible que les précédentes. Son intérêt est qu"elle en simplifie la démonstration. Le prix à payer est l"usage de la notion sémantique de vérité. Une autre version, de force intermédiaire, a recours à la1-fiabilité, ou fia- bilité réduite aux énoncés1: siTest1-fiable, alorsTest incomplète. Mais1-fiabilité et 1-consistance sont en fait des conditions équivalentes. mel particulier, il était clair que la méthode utilisée pouvait être transposée aux systèmes apparentés, ainsi qu"à tous les systèmes formels pour l"ensemble des mathématiques connus à l"époque (qui incluaient bien sûr l"arithmétique). Il fallut pourtant attendre 1936 et la caractérisation générale de la notion de procédure eective (par les machines de Turing, le lambda-calcul ou les fonc- tions récursives) pour qu"une version générale du théorème d"incomplétude pût être formulée, valable pour tout système formel possédant des ressources arithmétiques minimales (typiquement, celles de l"arithmétique de Robinson). qu"une définition générale des théories formelles peut être donnée. Une telle théorie peut être définie comme unensemble eectivement énumérable d"énoncés, sur un langage formel quelconque; un ensemble étant diteectivement énumé-

6PierreWagnerrables"il existe une procédure eective permettant d"énumérer ses éléments

(c"est-à-dire, dans le cas d"une théorie, ses théorèmes) 10. Dans ce théorème, c"est unelogique(au sens d"une famille de langages formels munie d"une sémantique) qui est dite complète, non unethéorie, ce qui signifie que toute formule valide du langage en question est un théorème, dans un cer- tain système formel dont on dit alors qu"il estsémantiquement complet. Dans la discussion du phénomène d"incomplétude, on se gardera donc de confondre la complétude (sémantique) d"une logique et l"incomplétude (syntaxique) d"une théorie. L"ensemble des énoncés vrais deLAforme une théorie (car il est déductive- ment clos) qui est assurément consistante (un énoncé et sa négation ne sont pas Selon le théorème d"incomplétude, cette théorie (l""arithmétique vraie») n"est donc pas axiomatisable : aucun ensemble décidable d"énoncés deLAn"a pour clôture déductive les énoncés vrais deLA. Une théorie axiomatique commePA n"est pas seulement incomplète si elle est consistante; elle est surtout incom- plétable par adjonction de nouveaux axiomes : toute extension consistante et axiomatisable deQ, eta fortioridePA, est incomplète. C"est cette incomplétude essentielle qui autorise à parler d"un "phénomène d"incomplétude».

2. Démonstrations du premier théorème d"incomplétude

2. 1 Démonstrations fondées sur la théorie de la calculabilité

Afin de mieux saisir l"apport spécifique des démonstrations d"incomplétude qui reposent sur la théorie de la calculabilité. Le premier est librement adapté d"un ouvrage de Stillwell (Stillwell [2018], p. 76 et p. 80-81), le second d"un

ouvrage de Franzén (Franzén [2005], p. 73-74).10. Dans les démonstrations, les termesdécidable,calculableeteectivement énumérableont un

sens technique précis, qui repose sur les fonctions récursives, les machines de Turing, ou d"autres

notions apparentées étudiées en théorie de la calculabilité.

Le ph´enom`ene d"incompl´etude7

pouvoir être décrites en une suite finie de signes et sont donc eectivement énumérables. SoitA0,A1,A2:::une énumération de ces procédures etf0,f1, f

2:::les fonctions numériques partielles telles que pour toutk>0,Akest un

algorithme pour le calcul de la fonctionfk, pour un entiernquelconque. SoitD ("D» comme "diagonalisation») l"ensemble d"entiers naturels défini par

D=fn2Njfn(n)=0g

où l"on remarque que l"indice defest identique à son argument.Dest eec- tivement énumérable (pour énumérer les éléments deD, il sut d"appliquer l"algorithme suivant : pour chaque entier natureln, eectuer lesnpremières étapes des algorithmesA0àAnappliqués ànet ajouterkà la liste des éléments deDdès que l"on trouve un entier naturelktel queAkappliqué àkproduit le résultat 0 ennétapes). Montrons maintenant queDn"est pas calculable. Supposons qu"il le soit et nommonscDsa fonction caractéristique. Pour tout entiern, c

D(n)=1 sin2D

D(n)=0 sin c Dest une fonction numérique et il existe donc un entier naturelktel que pour toutn2N,cD(n)=fk(n). On arrive à une contradiction. En eet, en appliquant les définitions qui viennent d"être données, on trouve que k8PierreWagnermontrables dans une extension consistanteTdeQ. En eet, si un tel énoncé

est faux, il existenentiersk1, ...,kntels que'(k1;:::kn) est faux, et la formule :'(k1;:::kn) est démontrable dansT(car elle l"est déjà dansQ); la négation de l"énoncé initial est alors démontrable dansT, ce qui contredit l"hypothèse de consistance. Une équation diophantienne est de la formeP(x1;:::;xn)=0, où le terme P(x1;:::;xn) est un polynôme à coecients entiers. Une telle équation admet les énoncés1de la forme suivante : l"équation diophantienneP(x1;:::;xn)=0 n"a pas de solution. SoitTune théorie arithmétique1-fiable.Test consistante. L"ensemble des énoncés de la forme précédente démontrables dansT(et donc vrais car1) est eectivement énumérable (par énumération eective des théorèmes). Or l"une vrais de cette forme n"est pas eectivement énumérable. Si l"on suppose queT est fiable pour les énoncés1de la forme l"équation diophantienneP(x1;:::;xn)=0 a une solution on en déduit qu"il existe une infinité d"énoncés arithmétiques1qui sont indécidables dansT, et que l"ensemble de ces énoncés indécidables n"est pas eectivement énumérable. Ce nouvel exemple d"un théorème d"incomplétude démontre l"existence d"énoncés arithmétiques1indécidables dansTsiTest une extension deQ qui est1-fiable. Il ne montre cependant pas encore comment construire un énoncé1spécifique qui soit indécidable, à la diérence de la démonstration Voici maintenant les principales étapes d"une démonstration deTIG1inspirée

Arithmétisation de la syntaxe

sation de la syntaxe, méthode qui requiert une théorieTqui soit une extension axiomatisable deQ. Les signes et les formules deLAsont codés par des entiers

Le ph´enom`ene d"incompl´etude9

naturels, ainsi que les preuves formelles dansT. Ce codage est tel qu"il existe une procédure eective permettant de déterminer, pour tout entier naturel, s"il signe, formule ou preuve il s"agit. Le code d"un énoncéEest notépEq. Sur la base de ce codage, on associe aux propriétés et relationssyntaxiquestelles que "xest une variable», "xest un axiome», etc. des propriétés ou relationsnumé- jusqu"à parvenir, au terme d"un travail fastidieux (les définitions successives d"une longue liste de fonctions, propriétés et relations), à la définition de la relation "xest le code d"une preuve d"un énoncé dont le code esty», que l"on convient de noterPreuve(x;y) (ouPreuveT(x;y) pour indiquer que sa définition dépend deT). On démontre que toutes ces propriétés et relations numériques sont décidables. On introduit la propriété de prouvabilité, notéeProuv(x), satisfaite par un entier naturelnssi il existe un entier naturelmtel quePreuve(m;n). Les en- tiers naturels qui la satisfont sont exactement les codes des théorèmes deT et l"ensemble des entiers naturels qui satisfontProuvest eectivement énumé- cependant pasdécidable).

Théorème de représentation

Une propriété numériqueP(x) estreprésentable dans Qssi il existe une formule '(x) deLAtelle que, pour tout entier natureln siP(n), alorsQ`'(n); si non-P(n), alorsQ` :'(n). le théorème de représentation, selon lequel toute relation numérique décidable est représentable dansQpar une formule1deLA. Au vu de l"extrême pau- vreté deLA, il n"est rien moins qu"évident que toute relation calculable soit sit à prouver. Dans cette partie de la démonstration, une nouvelle innovation lui permet de montrer comment coder dansLAdes suites finies quelconques d"entiers naturels, ce qui ouvre la voie d"une définition explicite dansLAde del introduit pour cela la fonction numérique, ingénieusement définie en ayant recours à des résultats connus de théorie des nombres

11.11. On trouve une exposition de la fonctionpar exempleinFranzén [2004], p. 25-29.

10PierreWagnerLe théorème de représentation étant acquis, on notepreuve(x;y) une for-

mule1deLAqui représente dansQla relation numériquePreuve(x;y). Un point essentiel de la démonstration du théorème de représentation est son ca- ractère constructif, au sens suivant : la formulepreuve(x;y) dont le théorème démontre l"existence reflète la construction systématique dePreuve(x;y) sur la base d"autres fonctions ou relations calculables. Lorsque cette condition est res- pectée, on dit quepreuve(x;y) est une représentationcanoniquedePreuve(x;y) dansQ, étant entendu que plusieurs autres formules représentent également cette relation dansQ, qui ne satisfont pas cette condition. et une telle formule n"a en réalité aucune signification mathématiquement pertinente. Sipreuve(x;y) est une représentation canonique dePreuve(x;y), elle présente cependant le caractère remarquable, essentiel du point de vue logique, que pour tous entiers naturelsm,n, l"énoncépreuve(m;n) est vrai (dans l"interprétation standard deLA) si, et seulement si,mest le code d"une preuve de l"énoncé dont le code estn. Nous abrégerons parfois la formule9xpreuve(x;y) parprouv(y). Pour tout entier natureln,prouv(n) est vraie ssinest le code d"un théorème deT. En ce sens,prouv(n)"dit» quenestle coded"un théorèmedeT. Commepreuve(x;y) est un énoncé1,prouv(y) est également1.

Lemme de point fixe, ou lemme de diagonalisation

On démontre que pour toute formule'(x) deLAà une variable libre, il existe un énoncéEdeLAtel queQ`E$'(pEq)12.

Définition deG

Le lemme de point fixe est appliqué à:prouv(x) et l"on noteG(ouGTpour indiquer que cet énoncé est relatif àT) l"énoncé tel que

T`G$ :prouv(pGq).

Commeprouv(x) est un énoncé1,:prouv(x) est1.Gest donc équivalent à un énoncé1.

Premier théorème d"incomplétude

a)Supposons queT`G. Par le théorème de représentation, on a doncT` prouv(pGq) et, par la définition deG,T` :G.Test donc inconsistant. En

conséquence, siTest consistant,T0G.12. Par convention, afin de ne pas surcharger l"écriture, la représentation dansLAdu code deE

n"est pas notéepEq, mais simplementpEq, comme le code deElui-même.

Le ph´enom`ene d"incompl´etude11

b)Supposons queT` :G. D"après la définition deG,T`prouv(pGq), et donc T` 9xpreuve(x;pGq). Par ailleurs, commeTest consistant,T0G. Aucun entier naturel n"est donc le code d"une preuve deG. D"après le théorème de représentation, pour tout entier natureln,T` :preuve(n;pGq). CommeT`

9xpreuve(x;pGq),Test 1-inconsistant. Par conséquent, siTest 1-consistant,

T0:G. fixe

énoncéGdont la forme générale est :

Le résultat de la substitution de:::à __ dansn"est pas démontrable. Le point clef est que le résultat de cette substitution n"est rien d"autre que l"énoncéGlui-même.Gest donc équivalent à "Gn"est pas démontrable ». On obtient un tel eet par exemple dans l"énoncé suivant : Le résultat de la substitution de "Le résultat de la substitution dex à "x» dansxn"est pas démontrable » à " x » dans " Le résultat de la substitution dexà "x» dansxn"est pas démontrable » n"est pas démontrable.quotesdbs_dbs45.pdfusesText_45

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