[PDF] Corrigé du baccalauréat S – Nouvelle-Calédonie 19 novembre 2015

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?Corrigé du baccalauréat S - Nouvelle-Calédonie?

19 novembre 2015

EXERCICE17points

Commun à tous les candidats

PartieA

On regroupe les données de l"énoncé dans un arbre pondéré : A 0,7 S0,17 S B

1-0,7=0,3S0,1

S

1.Il suffit de lire l"énoncé :P(A∩S)=P(A)×PA(S)=0,7×0,17=0,119.

2.D"après la formule des probabilités totales :

=0,117+0,3×0,1=0,147

3.La probabilité cherchée correspond àPS(A)=P(A∩S)

P(S)=0,1190,149≈0,799.

4.Soitpla proportion sur l"ensemble de la production de la source A de bouteilles contenant de

l"eau très peu calcaire. La fréquence observée sur l"échantillon de taillen=1000 est f obs=211

1000=0,211.

Commen=1000?30,nfobs=211?5 etn?1-fobs?=789?5, les conditions d"application

du théorème de Moivre-Laplace sont vérifiées et on peut proposer un intervalle de confiance

au seuil de 95% qui est : f obs-1 ?n;fobs+1?n? [0,179; 0,243].

PartieB

1.Commeμ=8 etσ=1,6,P(6,4?X?9,6)=P(μ-σ?X?μ+σ)≈0,683.

2.À la calculatrice, on trouve :P(X?6,5)≈0,174.

3.La question revient à résoudre l"équation enσ:P(Y?6,5)=0,1.

D"après le cours, si la variable aléatoireYsuit la loi normale d"espérance 9 et d"écart typeσ,

alors la variable aléatoireZ=Y-9

σsuit la loi normale centrée réduite.

Baccalauréat SF. Pucci

P(Y?6,5)=0,1??P?

Z?-2,5

?0,1 On cherche, à la calculatrice, le réelβtel queP(Z?β)=0,1 sachant queZsuit la loi normale centrée réduite; on trouveβ≈-1,282.

β≈-1,282?? -2,5

σ≈-1,282??σ≈1,95.

PartieC

1.Commeacosx?0 sur?

2;π2?

aveca?R?+, l"aire du domaine cherchée correspond, en uni- tés d"aire, à la valeur de l"intégrale 2

2acosxdx=a?sinx?

2

2=a?1-(-1)?=2a.

2.Le problème revient à résoudre l"équation ena:

2a-π?a

2?

2=π?a2?

2??a-π?a2?

2=0??a(4-πa)=0.

Commeaest strictement positif, la seule solution possible esta=4

π>0.

EXERCICE23points

Commun à tous les candidats

1.faest une somme de fonctions dérivables surRdonc dérivable surRet on a :

?x?R,f?a(x)=ex-a-2 f f ?a(x) s"annule et change de signe pourx=a+ln2 en étant négatif puis positif doncfaadmet un minimum ena+ln2 égal à f x-∞a+ln2+∞ f?a(x)---0+++ fa fa(a+ln2)

2.Ena+ln2, on afa(a+ln2)=2-2a-2ln2+ea.

Afin de minimiser ce minimum, on étudie les variations de la fonction?dérivable surRet définie par?(a)=2-2a-2ln2+ea. ?(a)=-2+ea;

• -2+ea>0??ea>2??a>ln2;

• -2+ea<0??ea<2??a ?(a) s"annule et passe de négatif à positif ena=ln2.

Nouvelle-Calédonie219 novembre2015

Baccalauréat SF. Pucci

x-∞ln2+∞ ??(x)---0+++

4-4ln2

Prendrea=ln2, minimise donc le minimum defaqui est égal à ?(ln2)=2-2ln2-2ln2+eln2=4-4ln2.

EXERCICE35points

Commun à tous les candidats

PartieA

Ilsuffitdeprendreuncontre-exemple pour montrerque(P2)estfausse.Parexemple, letriplet(1; 1; 1) convient : 1

2+12+12=3?1

3mais 1+1+1=3?=1.

PartieB

1. a.Il suffit de vérifier que les trois points non alignésB,DetEappartiennent au plan d"équa-

tionx+y+z=1. AvecB?1; 0; 0?,D?0; 1; 0?etE?0; 0; 1?, c"est bien le cas :

1+0+0=0+1+0=0+0+1=1.

b.Il suffit de montrer que le vecteur--→AGest orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du

plan (BDE). Prenons--→BDet--→BE, par exemple. On a :

AG.--→BD=((111))

.((-1 1 0)) =-1+1+0=0=?--→AG?--→BD

AG.--→BE=((111))

.((-1 0 1)) =-1+0+1=0=?--→AG?--→BE Donc la droite (AG) est orthogonale au plan (BDE). Il suffit donc de prouver queKappartient à la droite et au plan.

— Comme

--→AK=1

3--→AG, le pointKappartient à (AG).

— Comme

1

3+13+13=1, le pointKappartient à (BDE).

DoncKest l"intersection de la droite (AG) et du plan (BDE).

2.Les côtés du triangleBDEsont les diagonales des faces du cube qui sont isométriques donc

ils sont de même longueur etBDEest un triangle équilatéral.

3. a.SiMest un point duplan (BDE) distinct deK,d"après la question (??), le triangleAMKest

rectangle enK. D"après le théorème de Pythagore, on a alors : AM

2=AK2+MK2.

SiM=K, la relation est encore vraie donc elle est vraie pour tout pointMde (BDE).

Nouvelle-Calédonie319 novembre2015

Baccalauréat SF. Pucci

b.CommeMK2?0, la relationAM2?AK2se déduit trivialement de la précédente. c.Soientx,yetztrois nombres réels vérifiant l"égalitéx+y+z=1. Le pointM?x;y;z?ap- partient donc au plan (BDE). D"après (??), on a alorsAM2?AK2qui s"écrit, avec les coordonnées : x

2+y2+z2??1

3? 2 +?13? 2 +?13? 2 =13.

L"implication (P1) est donc vraie.

Nouvelle-Calédonie419 novembre2015

Baccalauréat SF. Pucci

EXERCICE45points

Candidatn"ayantpas suivi l"enseignementde spécialité 1. ?d 1=1

2d0+100=250

a 1=1

2d0+12a0+70=445

2. a.On obtient en sortieD=250 etA=420. Ces résultats ne sont pas cohérents avec ceux

obtenus à la question (??).

b.•Le problème de l"algorithme proposé est qu"il réutilise la variableDpour le calcul deA

alors qu"elle a été modifiée. On corrige cela en utilisant unevariable auxiliaireE, déclarée

"nombre réel» dans l"initialisation :

Variables :netksont des entiers naturels

D,AetEsont des réels

Entrée :Saisirn

Initialisation :Dprend la valeur 300

Aprend la valeur 450

Saisir la valeur den

Traitement :Pourkvariant de 1 àn

Eprend la valeurD

Dprend la valeurD2+100

Aprend la valeurA2+

E

2+70Fin de Pour

Sortie :AfficherD

AfficherA

•On peut aussi plus simplement inverser les deux instructions d"affectation àAet àD:

Variables :netksont des entiers naturels

D,Asont des réels

Entrée :Saisirn

Initialisation :Dprend la valeur 300

Aprend la valeur 450

Saisir la valeur den

Traitement :Pourkvariant de 1 àn

Aprend la valeurA2+D2+70

Dprend la valeurD2+100Fin de Pour

Sortie :AfficherD

AfficherA

3. a.Par définition, on a :

e n+1=dn+1-200=1

2dn-100=12?dn-200?=12en

La suite (en)n?Nest donc géométrique de raison1

2et de premier termee0=d0-200=100.

b.D"après la question précédente, on aen=?1 2? n e

0=100?12?

n

D"oùen=dn-200??dn=100?1

2? n +200.

Nouvelle-Calédonie519 novembre2015

Baccalauréat SF. Pucci

Comme 0<12<1, on a limn→+∞?

12? n =0 puis limn→+∞dn=200.

La suite (dn)n?Nest donc convergente vers 200.

4. a.2n2-(n+1)2=???

2-1?n-1????2+1?n+1?

D"après les résultats de première sur les trinômes du seconddegré,

2n2-(n+1)2est donc positif pourn?-1

?2+1oun?1?2-1?2,4. Donc, pournentier supérieur à 3, on a 2n2-(n+1)2?0, c"est-à-dire :

2n2?(n+1)2.

b.Initialisation: pourn=4, on a bien 24=16?42=16 donc la propriété est initialisée. Hérédité: supposons que pour tout entierk>4 , 2k?k2. En multipliant les deux membres del"inéquation par 2 et en utilisant le résultat dela ques- tion précédente, on obtient : 2 k+1?2k2?(k+1)2.

La propriété est donc héréditaire.

Initialisée et héréditaire, la propriété 2 n?n2est donc vraie pour tout entier supérieur ou égal à 4 d"après le principe de récurrence.

c.D"après la question précédente, sinest un entier supérieur ou égal à 4, on 0 composant, cette inégalité par la fonction inverse, décroissante surR?+et en multipliant par 100, on obtient alors : 0<1

2n?1n2=?0<100n?12?

n ?100nn2=100n d.D"après la question précédente et les théorèmes d"encadrement lim n→+∞100n?1 2? n =limn→+∞100n=0 et d"après les résultats sur les limites des suites géomé- triques de raison strictement inférieure à 1 en valeur absolue limn→+∞? 1 2? n =0. D"après les résultats sur les limites de sommes, on obtient alors : lim n→+∞an=340.

EXERCICE45points

Candidatayantsuivi l"enseignementde spécialité

1. a.D"après l"énoncé, le nombre d"avancés au début du moisn+1 sera composé de la moi-

tié des débutants du mois précédent passant au niveau avancésoit1

2dn, de la moitié du

nombre des avancés ne s"étant pas désinscrits soit 1

2anet des 70 personnes qui se sont

inscrites en début du mois.

On obtient bien :

a n+1=1

2dn+12an+70

b.En posantUn=?dn a n? ,A=? 1 20 1 212?
etB=?100 70?
, le système s"écrit sous la forme matricielle : U n+1=Aun+B

Nouvelle-Calédonie619 novembre2015

Baccalauréat SF. Pucci

2.Initialisation: pourn=1, on a bienA=?

120
1 212?
=12? 1 0 1 1? =12(I2+T).

Hérédité: supposons que la relation soit vérifiée pour tout entierknon nul. En multipliant

l"expressionAk=?1 2? k?I2+kT?parA=12?I2+T?à gauche ou à droite carI2etTcommutent, on obtient : A k+1=?1 2? k?I2+kT?×12?I2+T?=?12? k+1?I2+T+kT+kT2?.

Or,T2=?0 00 0?

. On dit qu"elle est nilpotente d"ordre 2.

DoncAk+1=?1

2? k+1?I2+(k+1)T?et la relation est héréditaire. La propriété est donc initialisée et héréditaire, elle est donc vraie pour toutn?N?.

3. a.Commedet(I2-A)=????1

20 1

212????

=14?=0,lamatriceI2-Aestinversibleetona(I2-A)-1=?2 02 2?

D"oùC=AC+B??(I2-A)C=B??C=(I2-A)-1B

=?2 02 2?? 100
70?
=?200340? b.Il suffit de se servir des question précédentes on remarquantque?200340? =C=AC+B. V c.On aV0=U0-C=?300450? -?200340? =?100110?

Par définition deVn, on a aussi :Un=An?100110?

+?200340? En utilisant le résultat de la question (??), on obtient, par calcul matriciel : U n=?1 2? n?I2+nT??100110? +?200340? 1 2? n 0 n ?1 2? n?12? n))))? 100
110?
+?200340? 100?1
2? n +200

100n?1

2? n +110?12?
n +340))))

4. a.En admettant que pourn?4, 2n?n2>0, en composant par la fonction inverse, décrois-

sante surR?+, on obtient 0<1

2n?1n2.

En multipliant les membres de l"inégalité par 100n, on obtient, après simplification :

0?100n?1

2? n ?100n.

Nouvelle-Calédonie719 novembre2015

Baccalauréat SF. Pucci

b.D"aprèslesthéorèmesd"encadrement,comme limn→+∞100n=0,onobtient limn→+∞100n?12?

n =0. D"après les résultats sur les limites de suites géométriques de raison1

2, on sait aussi que

lim n→+∞100?1 2? n =0. Enfin, d"après les théorèmes sur les limites de sommes, on obtient : lim n→+∞Un=(((( lim n→+∞100?1 2? n +200
lim n→+∞100n?1 2? n +110?12?
n +340))))
=?200340? La fréquentation se stabilise, à long terme, autour de 200 internautes débutants et 340 in- ternautes avancés.

Nouvelle-Calédonie819 novembre2015

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