[PDF] Corrigé du baccalauréat STMG Nouvelle-Calédonie 19 novembre

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19 novembre 2015

EXERCICE15 points

Le tableau ci-dessous donne la consommation de soins et de biens médicaux (CSBM) en France, en milliards d"euros :

Année20002004200520092011

CSBM en mil-

liards d"euros114,6171,1180

Source : Drees, Comptes de la santé

1.Sachant que l"augmentation entre 2000 et 2005 a été de 29,2%,calculons la CSBM en

France en 2005. À une augmentation au tauxtcorrespond le coefficient multiplicateur (1+t). À une augmentation de 29,2% correspond donc un coefficientmultiplicateur de

1,292.

La consommation de biens médicaux en 2005 est par conséquenten milliards d"euros de

114,6×1,292 c"est-à-dire de 148,1, résultat arrondi au dixième.

2.Déterminons le taux d"évolution global de la CSBM en France entre 2000 et 2011.

Le taux d"évolutiontest défini part=valeur finale-valeur initiale valeur initiale.t=180-114,6114,6≈

0,570580.

Le taux d"évolution global sous forme de pourcentage arrondi au dixième, entre 2000 et

2011 a été de 57,1%

3.Démontrons alors que le taux annuel moyen d"augmentation dela CSBM en France entre

2000 et 2011, arrondi au dixième, est égal à 4,2%.

En appelanttmle taux annuel moyen d"évolution etTle taux global d"évolution, nous avons par conséquent 1+T=(1+tm)11puisqu"il y a eu 11 années d"évolution. 1+0,571= (1+tm)11d"où t m=1,5711/11-1≈0,0419. de 4,2%.

4.Dans cette question, on admet que le taux annuel d"augmentation de la CSBM en France

entre 2000 et 2011 reste constamment égal à 4,2%. a.Calculons la CSBM en France en 2004. Le coefficient multiplicateur est donc (1,042)4 puisqu"il y a eu quatre augmentations entre 2000 et 2004. 114,6×1,0424≈135,1. La CSBM en 2004, arrondie au dixième est de 135,1 milliards d"euros. b.L"affirmation "si l"évolution se poursuit ainsi, la CSBM en France dépassera 200 mil- liards d"euros en 2015» est vraie car 180×1,0424≈212,2.

5.Entre 2006 et 2011, une étude plus détaillée donne l"évolution de la CSBM en France.

Année200620072008200920102011

Rang de l"année :(xi)123456

Consommation (CSBM)

en milliards d"euros : ?yi?

153,7160,4165,7171,1175,4180

a.À l" aide de la calculatrice, une équation de la droiteDqui réalise un ajustement af- fine du nuage de points?xi;yi?obtenu par la méthode des moindres carrés esty=

5,19714x+149,526. En arrondissant les coefficients au centième, nousobtenons alors

y=5,20x+149,53.

Corrigédu baccalauréat STMGA. P. M. E. P.

de points?xi;yi?. En utilisant cet ajustement affine, la CSBM à laquelle on peuts"attendre, en France, en 2015 dépassera 200 milliards d"euros. En effet, le rang del"année 2015 étant 10, en remplaçantxpar cette valeur dansl"équation deladroite,nous obtenonsy=5,2×10+

149,5=201,5

EXERCICE25 points

Jean envisage de mettre de l"argent de côté en vue d"un achat.Il imagine deux plans d"épargne

sur 12 mois. Plan 1 :le premier versement mensuel est de 400?et, chaque mois, les versements mensuels diminuent de 30?par rapport au mois précédent. Plan 2 :le premier versement mensuel est de 400?et, chaque mois, les versements mensuels diminuent de 10% par rapport au mois précédent.

Nouvelle-Calédonie219 novembre2015

Corrigédu baccalauréat STMGA. P. M. E. P.

Partie 1 : utilisation d"un tableur

Jean utilise un tableur pour comparer les deux plans et on donne, dansl"annexeà rendreavecla copie, un extrait de la feuille de calcul qu"il a créée. La colonne C est au format nombre décimal à deux décimales.

1.Une formule, à recopier dans la plage C4 :C13, que Jean a pu saisir dans la cellule C3 est

=$C2*0,9.

2.Dans la cellule C4, nous pourrons lire 324,00 puisque la colonne est au format nombre

décimal à deux décimales. (360×0,9)

3.Une formule que Jean peut saisir dans la cellule B14 pour obtenir le montant total des 12

versements mensuels duplan1est : =SOMME($B2 :$B13).

L"écriture de $ n"est pas indispensable.

Partie 2: comparaisonde deux suites

1.On noteunle montant dun-ième versement mensuel duplan1.

Ainsi on a :u1=400 etu2=370.

a.La suite(un)est une suite arithmétique de raison-30 puisque chaque terme se déduit du précédent, sauf le premier en ajoutant-30. Le premier terme de la suite est 400. b.Calculonsu12. Le terme général d"une suite arithmétique de premier termeu1et de raisonrestun= u

1+(n-1)r.

u

12=400+11×(-30)=70

c.La colonne B du tableau del"annexeà rendreavecla copiey est complétée.

2.On notevnle montant dun- ième versement mensuel duplan 2. Ainsi onv1=400 et

v

2=360.

a.Lasuite(vn)est une suite géométrique deraison0,9, coefficient multiplicateur associé à une baisse de 10%. Chaque terme se déduit du précédent excepté le premier, en le multipliant par un même nombre. Le premier terme de la suite est 400. b.Calculonsv12. Le terme général d"une suite géométrique de raisonqet de premier termeu1estun= u

1qn-1.

v

12=400×0,911≈125,52.

c.À l"aide de la calculatrice, la colonne C du tableau del"annexeà rendreavecla copiey est complétée.

3.Le plan qui assure à Jean la somme épargnée la plus élevée est leplan 2. Il aura épargné

70,28 euros de plus qu"avec leplan1.

Expliquer la réponse.

EXERCICE34 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).

Pour chacune des quatre questions, de Q1 à Q4, trois réponsessont proposées,une seule réponseest

correcte.

Pour chaque question,indiquer le numérode la question etrecopiersur la copie la réponse choisie.

Aucune justification n"est demandée.

Chaque réponse correcte rapporte1point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n"apporte ni ne retire aucun point.

1.On considère l"arbre de probabilités suivant :

Nouvelle-Calédonie319 novembre2015

Corrigédu baccalauréat STMGA. P. M. E. P.

A0,15B

0,2 B

A0,85B

0,6 B0,4

Q1:PA?

B? a pour valeur :

0,85•0,4•0,8

Q2:p(B) a pour valeur :

0,54•0,8•0,12

2.Xest une variable aléatoire qui suit la loi normale d"espéranceμ=59 et d"écart typeσ=

0,2.

Q3:p(X<59) vaut :

0,5•0,35•0,16

Q4: Un intervalle de fluctuation au seuil approximatif de 95% dela variableXest l"inter- valle : [58,8; 59,2]•[58,6; 59,4]•[58,4; 59,6]

EXERCICE46 points

Une entreprise fabrique des croquettes pour chiens. Chaquejour, elle en fabrique entre 0 et 80

tonnes. Le coût de fabrication, en euros, dextonnes est modélisé par la fonctionfdont la repré-

sentation graphique est donnée en annexe à rendre avec la copie.

PartieA : lecturegraphique

Àl"aidedugraphique del"annexeàrendreaveclacopie,répondonsauxquestions suivantes avec la précision permise par le graphique.On laissera apparents les traits de construction.

1.Laproductionde50tonnes decroquettescoûteenviron51000euros.Nouslisons l"ordon-

née du point de la courbe d"abscisse 50. Avec la précision permise par le graphique nous obtenons environ 51000.

2.La quantité de croquettes que l"on peut produirepour un coûtde fabrication de100000?

estd"environ72,2 tonnes.Nouslisons l"abscissedupointdelacourbed"ordonnée100000.

PartieB : étude de la recette

Une tonne de croquettes est vendue 1900?. La recette, pourxtonnes vendues, est donc donnée par la fonctionRdéfinie sur l"intervalle [0; 80] parR(x)=1900x.

1.La représentation graphique de la fonctionRest tracée sur le graphique donné enan-

nexe à rendre avec la copie. Pour tracer ce segment, nous avons pris les points (0 ; 0) et (80 ;140000).

Nouvelle-Calédonie419 novembre2015

Corrigédu baccalauréat STMGA. P. M. E. P.

2.L"entreprise ne réalise pas un bénéfice en vendant 10 tonnes de croquettes. La courbe

représentant les coûts est au dessus de celle représentant les recettes.

PartieC : étude du bénéfice

On admet que le bénéfice réalisé par la vente dextonnes de croquettes est donné par la fonction

Bdéfinie sur l"intervalle [0; 80] par

B(x)=-x3+105x2-1800x-4000.

1.CalculonsB?(x) oùB?désigne la dérivée de la fonctionB.

B

2.Justifions que le signe deB?(x) est donné par le tableau suivant :

x0 10 60 80

Signe deB?(x)-0+0-

Calculons les racines deB?(x).Δ=2102-4×(-3)×(-1800)=22500

Le trinôme admet deux racines.x1=-b-?

2ax2=-b+?

2a. x

1=-210-?

22500

2×(-3)=210+1506=60x2=210-1506=10.

Par conséquentB?(x)=-3(x-10)(x-60).

x0 10 60 80 -3- - - x-10-0+ + x-60- -0+

B?(x)-0+0-

3.Étudions d"abord le sens de variation de B.Si pour toutx?I,f?(x)>0 alorsfest strictement croissante surI.

Sur ]10 ; 60[,B?(x)>0 par conséquentBest strictement croissante sur cet intervalle. Si pour toutx?I,f?(x)<0 alors la fonctionfest strictement décroissante surI. Sur [0 ; 10[ ou sur ]60 ; 80]B?(x)<0, par conséquentBest strictement décroissante sur chacun de ces intervalles. Dressons maintenant le tableau de variation deBsur l"intervalle [0; 80] x0 10 60 80 B ?(x)0+ --0

Variation

deB-4000 -1250050000 12000

4.D"après le tableau de variation,Badmet un maximum pourx=60. Il en résulte que la

quantité de croquettes que l"entreprise doit vendre pour réaliser un bénéfice maximal est

de 60 tonnes. Ce bénéfice est alors de 50000 euros.

5.On rappelle que le coût de fabrication dextonnes de croquettes est modélisé par la fonc-

tionfdéfinie sur l"intervalle [0; 80] parf(x)=R(x)-B(x). On envisage d"augmenter le prix d"une tonne de croquettes défini dans la partie B afin d"obtenir un bénéfice supérieur ou égal à 90000?. Proposons une démarche permettant de trouver un prix d"une tonne de croquettes abou- tissant à ce résultat.

Nouvelle-Calédonie519 novembre2015

Corrigédu baccalauréat STMGA. P. M. E. P.

Commençons par déterminer la fonction coût. La fonction recetteSsera alors pour un bénéfice de 90000 :S(x)=f(x)+90000.

Le prix d"une tonne sera alors de

S(x) x Graphiquement, nous pouvons tracer lacourbedeSeneffectuant unetranslation decelle defpar la translation de vecteur 90000??autrement dit nous augmentons toutes les va- leursf(x) de 90000. Maintenant si l"on décide de fabriquer par exemple 50 tonnesde croquettes, soit M le point d"abscisse 50 et d"ordonnée, l"ordonnée du point de lacourbe deS. Lisons alors le coefficient directeur de la droite (OM). Nous lisons environ2800. Pour avoir un bénéfice de 90000 euros en fabriquant 50 tonnes de croquettes, il faudrait vendre la tonne environ

2800 euros. Tracé en rouge sur le graphique.

En utilisant un tableur :

quelques exemples ABCDE

1Tonnes de

croquettes par jour xcoûtf(x)recette f(x)+90000prix unitaire en ?arrondià la centaine supérieure

204000

317596975969759697600

42109881009885059450600

5

6404800013800034503500

7

845490001390003088,893100

9

10505150014150028302900

11

1260640001540002566,672600

1361659761559762556,982600

14

1564728641628642544,752600

16

1770915001815002592,862600

18

19751127502027502703,332700

208014000023000028752900

ANNEXE

Exercice2

ABC

1Plan 1Plan 2

21erversement mensuel400400,00

32eversement mensuel370360,00

43eversement mensuel340324,00

54eversement mensuel310291,60

65eversement mensuel280262,44

76eversement mensuel250236,20

87eversement mensuel220212,58

98eversement mensuel190191,32

109eversement mensuel160172,19

1110eversement mensuel130154,97

1211eversement mensuel100139,47

1312eversement mensuel70125,52

14TOTAL28002870,28

Nouvelle-Calédonie619 novembre2015

Corrigédu baccalauréat STMGA. P. M. E. P.

Annexe à rendreavecla copie

Exercice4

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 7510000

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 800100002000030000400005000060000700008000090000100000110000120000130000140000150000160000

≈72,2 ≈51000 tonneseuros

Nouvelle-Calédonie719 novembre2015

Corrigédu baccalauréat STMGA. P. M. E. P.

Si vous photocopiez ce corrigé pensez à en créditer l"A. P. M. E. P., merci.

Nouvelle-Calédonie819 novembre2015

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