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Comment appliquer le théorème des accroissements finis ?
Fonction d'une variable réelle à valeurs réelles
Graphiquement, le théorème des accroissements finis indique que, pour toute droite sécante en deux points à une courbe différentiable, il existe, entre ces deux points, une tangente parallèle à la sécante.- Le théorème énoncé par Rolle comporte la condition plus restrictive f ( a ) = f ( b ) = 0 , cette dernière égalité n'est pas nécessaire à la démonstration mais ce théorème est souvent utilisé dans des problèmes de séparation des racines : il exprime en effet que, pour une fonction dérivable, les zéros de séparent les
Sylvain ETIENNE 2003/2004
PLC1, groupe 1 Exposé 79
etiennesy@wanadoo.frINEGALITE DES ACCROISSEMENTS FINIS. EXEMPLES
D'APPLICATIONS A L'ETUDE DE SUITES ET DE FONCTIONS. L'EXPOSE POURRA ETRE ILLUSTRE PAR UNOU DES EXEMPLES FAISANT APPEL A L'UTILISATION
D'UNE CALCULATRICE.
Niveau : Complémentaire.
Pré-requis : Continuité - Dérivabilité - Théorème de Rolle -I INTRODUCTION.
Lors de la détermination d'une fonction, nous regardons la dérivée de cette fonction.En effet, il y a un lien entre signe de la dérivée et croissance de la fonction. Nous allons voir
un théorème qui permet effectivement le lien grâce aux accroissements finis. Puis nous verrons d'autres applications de cette inégalité. Dans la suite de l'exposé, l'intervalle I considéré n'est pas vide !II THEOREME DES ACCROISSEMENTS FINIS.
A) ENONCE.
Le théorème des accroissements finis est une conséquence du théorème de Rolle. Il permet notamment de montrer l'inégalité des accroissements finis. Théorème 1 (théorème des accroissements finis) : Soit f une fonction continue sur , et dérivable sur ; alors il ex iste au ,ab,ab moins un nombre c de tel que : . ,abfbfafcbaDémonstration :
Considérons la fonction auxiliaire suivante :
gab fafb xfbfxbx ba La continuité de g sur et sa dérivabilité sur sont héritées de celles de f. ,ab,abDe plus, . 0gagb
Les hypothèses du théorème de Rolle sont vérifiées. Ainsi, il existe au mo ins un nombre c tel que : . 0gc i.e. : . fbfafcbaPage 1
Sylvain ETIENNE 2003/2004
PLC1, groupe 1 Exposé 79
etiennesy@wanadoo.frB) Interprétation graphique.
Si f est continue sur et dérivable
sur , l'arc , courbe représentative de f sur , admet en au moins un de ces points, distincts de A et B, une tangente parallèle à la droite . ,ab ,ab ,ab AB ABII INEGALITE DES ACCROISSEMENTS FINIS.
Proposition 1 :
Soit fa une application continue sur , dérivable sur . :,b,ab,ab S'il existe m (resp. ) tel que : (resp. ), M,xabfxmfxM alors : fbfa m ba (resp. fbf ba a M).Démonstration :
Les hypothèses du théorème des accroissements finis sont vérifiées. Ainsi il existe au
moins un nombre c de tel que : . Il ne reste plus qu'à minorer ou majorer . ,ab c fbfafcba fCorollaire 1 :
Soit fa une application continue sur , dérivable sur . :,b,ab,ab S'il existe tel que : M,xabfxM, alors : fbfaMba.Démonstration :
C'est une conséquence directe de la proposition 1 !III APPLICATIONS.
A) SENS DE VARIATION.
Le lien entre sens de variation et signe de la dérivée se déduit instantanément de l'inégalité des accroissement finis, en remplaçant m (resp. M) par 0. La réciproque est évidente en considérant la définition d'une fonction croissante ou décroissante.Page 2
Sylvain ETIENNE 2003/2004
PLC1, groupe 1 Exposé 79
etiennesy@wanadoo.frSoit la fonction :
3219 22
714
f xxxx 8.
Par exemple pour notre fonction f :
La fonction f est continue sur , donc à fortiori sur 19 22, et dérivable sur , donc sur 19 22
. Nous avons : 2 ,,3141xfxx 19 22
4x. Et 12 7777
0, 33
fxxxx Nous pouvons construire le tableau de signe de et le comparer au graphe de f. f x 1 2 77
3 77
3 9 2
Signe de fx
+ 0 - 0 +Graphe de f :
Apparemment, ça a l'air de marcher... La fonction est bien croissante sur 1 1 2 x et sur 2 9 2 x , et décroissante sur . 12 ,xxB) ENCADREMENT.
Montrons que : pour tous réels a et b, coscosbaba. La fonction f définie sur par est continue et dérivable sur et , :cosfxxx sinfxx Et comme , x1fx, le corollaire 1 conduit à : pour tous réels a et b, coscosbaba.Page 3
Sylvain ETIENNE 2003/2004
PLC1, groupe 1 Exposé 79
etiennesy@wanadoo.frC) AVEC DES SUITES.
Soit la suite définie par :
0 1/2 1 1, 2. nn u uuIl s'agit ici, d'étudier la suite grâce à l'inégalité des accroissements finis. En effet, il
est possible d'étudier la suite directement sans passer par la proposition.Pour se donner une idée du comportement de
la suite, nous pouvons regarder la suite sur la calculatrice grâce à la table de valeurs par exemple. Sur l'écran ci-contre, nous voyons que la suite semble être croissante et tendre vers 2.Répondons à la question.
Commençons par définir notre fonction :
1/2 :1,3, 2. g xx g est continue et dérivable sur , donc nous pouvons utiliser la proposition 1. 1,3Nous avons :
1 1,3, 22xgx x . La dérivée seconde est bornée sur et est
majorée, en valeur absolue (remarque : la fonction dérivée soit positive, ce qui donne en plus
la croissance de g) par 1,3 1 1 23M.
Nous obtenons donc, par la proposition,
11 1 ,0 23nnnn nuuuu i.e. : 110
11 ,013 2323
nn nn nuuuu La suite est de Cauchy, donc convergente vers une limite que nous noterons l. n n u La détermination de la limite se fait par l'égalité : , ce qui donne l. gll2quotesdbs_dbs13.pdfusesText_19
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