Inégalités de Hölder et Minkowski
Niveau : Terminale. Difficulté : 击击. Durée : 1h30-2h. Rubrique(s) : Analyse (étude de fonctions inégalités
Inégalité de Hölder discrete
Inégalité de Hölder discrete. Exercice 13. 1. Soit I un intervalle et f : I → R continue et dérivable sur l'intérieur de I. Montrer que si f est croissante
1. Inégalité de Hölder et Minkowski dans les espaces `p.
Remarque : c'est tout à fait similaire à ce que l'on a pour l'espace des fonctions intégrables Lp. 1.1. Inégalité de Young. Soient x; y 2 R+. Montrons que a b≤
Espaces de Hölder Lp(Rd) - François DE MARÇAY
Nous sommes maintenant prêts pour établir l'inégalité du triangle dans l'espace Lp(Rd). Théorème 2.5. [Minkowski] Étant donné un exposant p quelconque
Inégalités de Hölder et Minkowski
p . c) En déduire l'inégalité de Minkowski : (
Leçon 5
L'inégalité de Hölder conduit simplement à l'inégalité de Minkowski5 qui fait des espaces Lp(µ) des espaces vectoriels. Proposition 3 (Inégalité de Minkowski).
cours 15 le lundi 14 mars 2011 IV.3. Inégalités classiques Inégalité
14 mars 2011 ce qui termine la démonstration. Remarque. On peut écrire l ... — Le cas p = 2 de l'inégalité de Hölder est un cas particulier de l'inégalité de.
Chapitre VIII Les fonctions convexes 1 Définitions
5 avr. 2017 Démonstration : La fonction ln est concave donc : ln. (x1 + ... + xn n. ) ≥ lnx1 n. + ... + lnxn n . q.e.d.. Théorème 2.2 (Inégalité de Hölder) ...
Espaces Lp
Optimiser cette inégalité par rapport à λ et montrer l'inégalité de Hölder : De plus d'après l'inégalité de Minkowski
Les inégalités de Minkowski dégénérées et leurs applications en
Au cours de la démonstration on établit l'inégalité de Schwarz géné- ralisée où a > 1 pour deux nombres aléatoires L
Inégalités de Hölder et Minkowski
Inégalités de Hölder et Minkowski. N. Jacquet. Niveau : Terminale. Difficulté : ??. Durée : 1h30-2h. Rubrique(s) : Analyse (étude de fonctions inégalités
Espaces de Hölder Lp(Rd) - François DE MARÇAY
2. Inégalités de Hölder et de Minkowski. Soit donc un exposant réel p et supposons qu'il est éventuellement égal à l'infini :.
Espaces Lp(?)
1 Inégalités de Young et de Hölder. Exercice 1 Optimiser cette inégalité par rapport à ? et montrer l'inégalité de Hölder : fg1 ? fp gq.
Inégalité de Hölder discrete
Inégalité de Hölder discrete. Exercice 13. 1. Soit I un intervalle et f : I ? R continue et dérivable sur l'intérieur de I. Montrer que si f est.
Chapter 3 Les espaces L
2 mai 2011 3.1 Définition inégalités de Hölder et de Minkowski. Les résultats sont formulés pour un espace mesuré (?
cours 15 le lundi 14 mars 2011 IV.3. Inégalités classiques Inégalité
14 mars 2011 f1g1 dµ??? ? fp gq ce qui termine la démonstration. Remarque. On peut écrire l'inégalité de Hölder sous la forme.
Intégrale de Riemann
2.5.4 Inégalité de Hölder et Minkowski. 2.98 THÉORÈME (INÉGALITÉ DE YOUNG GÉNÉRALISÉE). Soit f : [0 +•[! [0
Une mise en route : Inégalités classiques
Exercice 1 (L'inégalité triangulaire) Montrer que pour tous réels a b
[PDF] Inégalités de Hölder et Minkowski - PAESTEL
1 Montrer par un calcul simple que pour tous nombres réels positifs x et y on a : xy ?
[PDF] Inégalité de Hölder discrete - Licence de mathématiques Lyon 1
Inégalité de Hölder discrete Exercice 13 1 Soit I un intervalle et f : I ? R continue et dérivable sur l'intérieur de I Montrer que si f est
[PDF] Espaces de Hölder Lp(Rd) - Laboratoire de Mathématiques dOrsay
Démonstration Pour ce qui est du cas le plus fréquent 1 < p < ? commençons par généraliser l'inégalité évidente (exercice !) :
[PDF] 1 Inégalité de Hölder et Minkowski dans les espaces `p - Xiffr
On peut en n montrer linégalité de Minkowski pour k kp Soient x; y 2`p Avec l'inégalité de Minkowski pour k k1 on a 8w 2 Sq la majoration : (x+ y)w 1
[PDF] Inégalités de Hölder et Minkowski - Association Tremplin
1) Montrer par un calcul simple que pour tout (x y) ? (R+)2 xy ? 1 1 q Cette dernière inégalité est appelée inégalité de Hölder
[PDF] Inégalités de Hölder et de Minkowski - Complétude de Lp
Inégalités de Hölder et de Minkowski - Complétude de Lp Dans toute la suite X désigne un espace mesuré muni d'une mesure positive µ 1 - Soient p et q ?]1
[PDF] cours 15 le lundi 14 mars 2011 IV3 Inégalités classiques Inégalité
14 mar 2011 · IV 3 Inégalités classiques Inégalité de Hölder On donne un couple (p q) de nombres réels tel que 1
Inégalités de Hölder et de Minkowski - Mathraining
Inégalité de Hölder L'inégalité de Hölder est l'inégalité suivante Inégalité de Hölder Soient pq>1 des nombres réels tels que 1p+1q=1
[PDF] Leçon 5
1 Espace Lp inégalités de Hölder et de Minkowski 2 Espace Lp Les démonstrations de l'inégalité de Hölder sont multiples et variées Par
[PDF] Inégalités de Hölder et Minkowski - MP2 – Chato
Inégalités de Hölder et Minkowski 2020- 2021 Soit p un réel strictement supérieur `a 1 on veut montrer que : ( n ? i=1 (ai + bi)p )1/p
Comment montrer l'inégalité de Holder ?
L'inégalité de Hölder est l'inégalité suivante. ce qui s'écrit, à l'aide des signes somme, n?i=1aibi?(n?i=1api)1p?(n?i=1bqi)1q. De plus, l'égalité a lieu si et seulement si ai=0 pour tout i?{1,…,n} ou s'il existe ??R tel que bqi=?api pour tout i?{1,…,n}.- L'inégalité de Minkowski est l'inégalité suivante. Soit p?R+0 et soient a1,…,an?R+ et b1,…,bn?R+. ce qui s'écrit aussi, à l'aide des signes somme, (n?i=1(ai+bi)p)1p?(n?i=1api)1p+(n?i=1bpi)1p.
IV.3. In´egalit´es classiques
In´egalit´e de H¨older
On donne un couple (p,q) de nombres r´eels, tel que 1< p,q <+∞et tel que 1 p+1q= 1, qu"on appelle uncouple d"exposants conjugu´es, par exemple (2,2) ou (3,3/2). On peut donner plusieurs formes ´equivalentes utiles de cette relation de conjugaison, p+q pq= 1, p+q=pq,qp=q-1, q=p(q-1), p=q(p-1).On note que sia,b≥0, on a
p+bqq, par exemple par la convexit´e de l"exponentielle : siab= 0 c"est clair, sinona,b >0 et on peut poserap= eu,bq= ev, ce qui donne puisque 1/p+ 1/q= 1 p+evq=app+bqq.α+β= 1, alors
Sif?Lp,g?Lq, on en d´eduit quefgest int´egrable, E p? E |f|pdμ+1q? E |g|qdμ <+∞. On ´etend la notion d"exposants conjugu´es aux cas limites (1,+∞) et (+∞,1), pour lesquels on peut encore pr´etendre que 1/1 + 1/(+∞) = 1. et la relation de conjugaison1/p+ 1/q= 1. Sif?Lp(E,F,μ)etg?Lq(E,F,μ), le produitfgest int´egrable et E fgdμ??? Preuve. -Le r´esultat est ´evident pour (1,+∞) ou (+∞,1); sif?L1etg?L∞, on E fgdμ??? E |fg|dμ=? E |f|dμ=?f?1?g?∞. 1 On suppose maintenant que 1< p,q <+∞et?f?p,?g?q>0 (sinon,fougest nulle presque partout,?Efgdμ= 0 et ce cas est clair). On pose
f 1=f ?f?p,g1=g?g?q.Alors?f1?p=?g1?q= 1, et
E f1g1dμ???
E p? E |f1|pdμ+1q? E |g1|qdμ= 1. Par homog´en´eit´e, puisquef=?f?pf1etg=?g?qg1, on obtient que E fgdμ??? =?f?p?g?q???? E f1g1dμ???
ce qui termine la d´emonstration. Remarque.On peut ´ecrire l"in´egalit´e de H¨older sous la forme E E |F|dμ? E |G|dμ? quandα≥0 etα+β= 1. Cas extr´emal de l"in´egalit´e de H¨olderProposition :cas extr´emal de l"in´egalit´e de H¨older.On suppose quep,qr´eels v´erifient
Pourp <+∞, on a
?f?p= max? E fgdμ??? pourp= +∞, et `a condition que tout ensembleA? Fde mesure infinie contienne un ensembleB? Ftel que0< μ(B)<+∞, on a ?f?∞= sup? E fgdμ??? Dans le casp <+∞, on peut dire qu"il existegtelle que ?f?p=? E Il suffit de prendre une fonctiong1qui r´ealise le max du module de l"int´egrale defg, et de multiplierg1par un nombre complexe de module un convenable. Preuve. -L"in´egalit´e de H¨older montre que?f?pest un majorant pour le terme de droite de l"´egalit´e `a prouver. Inversement, sifest dans Lp(E,F,μ), non nulle, posons comme avantf1=?f?-1pf, de norme 1 dans Lp, et d´efinissonsgen posant g(x) =|f1(x)|p/f1(x) 2 sif(x)?= 0 etg(x) = 0 sinon. Alors E |g(x)|qdμ(x) =? E 1 {f?=0}(x)|f1(x)|(p-1)qdμ(x) E 1 {f?=0}(x)|f1(x)|pdμ(x) =? E |f1(x)|pdμ(x) = 1, doncgest dans la boule unit´e de Lqet E f1gdμ=?
E 1 {f?=0}|f1|pdμ= 1, par cons´equent E fgdμ=?f?p. On a donc r´ealis´e le maximum possible avec cette fonctiongde la boule unit´e de Lq.Le cas L
∞est sp´ecial. Si la norme L∞defest M =?f?∞>0, l"ensembleA ={|f|>M-ε} ? F
o`u on a choisi 0< εμ(B)f
qui est de norme un dans L1. Alors
E fgdμ=1μ(B)?
B |f|dμ >M-ε.Remarques.
- La condition pourp= +∞est satisfaite quand la mesureμestσ-finie : on dit que μest unemesureσ-finiesur (E,F) s"il existe une suite (Cn)? F, qu"on peut supposer croissante, telle que E =? nCnet queμ(Cn)<+∞pour toutn. L"exemple typique est la mesure de Lebesgue surR, avec par exemple Cn= [-n,n]. La mesure de comptage surNestσ-finie; en revanche, la mesure de comptage surR(qu"on n"utilisera gu`ere que pour produire des contre-exemples) n"est pasσ-finie. Siμestσ-finie et si A? Fest de mesure infinie, les ensembles Bn= A∩Cnsont de mesure finie maisμ(Bn)→+∞=μ(A); il en r´esulte que pournassez grand, on a B n?A et 0< μ(Bn)<+∞. - Le casp= 2 de l"in´egalit´e de H¨older est un cas particulier de l"in´egalit´e deCauchy-Schwarz des espaces de Hilbert.
- Sip= +∞, sif(x) =xsur E = [0,1], on voit que dans le casp= +∞le sup en la fonction (1-x)g(x) est≥0 sur [0,1] et n"est pas presque partout nulle, donc 01([0,1]). Le sup engde ces int´egrales est ´egal `a 1, mais n"est atteint par aucuneg. Les difficult´es du cas extr´emal quandp= +∞proviennent de l"exemple pathologique qu"on va d´ecrire maintenant. La d´efinition des mesures accepte la mesureμsuivante, sur (R,B) par exemple : on poseraμ(A) = +∞d`es que A n"est pas vide, et on sera bien oblig´e deposer, d"apr`es la d´efinition des mesures,μ(∅) = 0. Alors, l"espace L1(R,B,μ) est r´eduit
`a{0}! Mais l"espace L∞(R,B,μ) contient la fonction constantef=1, et on ne peut pas obtenir la norme 1 =?f?∞comme le sup des int´egrales contre les fonctionsgde L1. Cons´equence :inclusion des espaces en mesure finie. Lorsque la mesureμest finie, les espaces L psont d´ecroissants avecp: on a Lp(μ)?L1(μ) pour toutp≥1, E |f|dμ=? E E1qdμ?
1/q=μ(E)1/q?f?p.
En appliquant cette in´egalit´e `a|f|setp=r/son voit que Lr(μ)?Ls(μ) pour tous L Dans le cas o`uμest une probabilit´e, on a que pour toute fonctionf?Lr(E,F,μ), la fonctionp?[1,r]→ ?f?pest croissante.Dualit´e
Pour toute fonctionf?Lp, d´efinissons une forme lin´eaire?fsur Lqen posant ?g?Lq, ?f(g) =? E fgdμ. cas extr´emal montre que les deux normes sont ´egales (sous une condition sip= +∞, par exemple `a condition queμsoitσ-finie). Proposition :injection isom´etrique dans le dual de Lq.Si(E,F,μ)est un espace mesur´e quelconque et1< p <+∞,1/p+ 1/q= 1, l"applicationjpdeLp(E,F,μ)dans le dual(topologique) deLq(E,F,μ)est une isom´etrie lin´eaire; siμestσ-finie, l"applicationj∞
est une isom´etrie lin´eaire deL∞(E,F,μ)dans le dual (topologique) deL1(E,F,μ). Remarque.Le th´eor`eme de repr´esentation vu dans le cours sur les espaces de Hilbert permet de dire que toute forme lin´eaire continue sur L2peut ˆetre obtenue de la fa¸con
pr´ec´edente, c"est `a dire quej2est une bijection lin´eaire de L2sur le dual topologique de L2. Il faut faire attention `a un petit d´etail dans le cas complexe. Il n"y avait aucune
raison de placer une barre de conjugaison dans la d´efinitionde?f, ce qui fait quej2est C-lin´eairedans le cas complexe. Au contraire, on doit mettre une barre de conjugaison dans le produit scalaire hilbertien, qui fait que l"identification hilbertienneiHg´en´erale entre un Hilbert H et son dual topologique H ?estantilin´eaire,iH(αx) =αiH(x) pour
tout scalaireαet toutx?H. Si?est une forme lin´eaire continue sur l"espace de Hilbert L2, il existe un vecteur F?L2qui repr´esente par produit scalaire cette forme lin´eaire, ?g?L2, ?(g) =?g,F?=? E g(x)F(x)dμ(x).
4 On voit donc que?est l"image parj2de la fonctionf=F?L2, complexe conjugu´ee de la fonction F. On admettra la g´en´eralisation suivante :pour toutptel que1< p <+∞et tout espace mesur´e(E,F,μ), l"applicationjpest une bijection lin´eaire isom´etrique de L p(E,F,μ)sur le dual topologique deLq(E,F,μ), o`u1/p+ 1/q= 1. Si la mesureμestσ-finie, l"applicationj∞est une bijection lin´eaire isom´etrique deL∞(E,F,μ)sur le dual
topologique deL1(E,F,μ). r´egler le casp= 2. Les autres cas peuvent se traiter par le th´eor`eme de Radon-Nikodym, qui peut ˆetre vu en fait comme une autre cons´equence du cas hilbertien.In´egalit´e de Jensen
Quand?est une fonction convexe d´efinie sur un intervalle I, on montre facilement par r´ecurrence, `a partir de la d´efinition de la convexit´e, que n? j=1c jxj? j=1c j?(xj) lorsque lesxjsont des points de I et les (cj) des coefficients≥0 tels que?nj=1cj= 1. La combinaison convexe?nj=1cjxjest une??moyenne??des valeursxj, et l"in´egalit´e dit que la valeur de?`a la moyenne des nombresxjest inf´erieure ou ´egale `a la moyenne des valeurs?(xj). Quand on a une probabilit´eμ, on peut consid´erer que E f(x)dμ(x) est la moyenne des valeurs de la fonctionfd´efinie sur E, et qui sont pond´er´ees par lesmasses infinit´esimales dμ(x). L"in´egalit´e de Jensen g´en´eralise l"in´egalit´e (?) au cas de ces
??moyennes continues??. Proposition.Si?est convexe sur l"intervalleI, sifest r´eelle int´egrable `a valeurs dansI et siμest une probabilit´e sur(E,F), on a E f(x)dμ(x)? E ?(f(x))dμ(x). Il est possible que l"int´egrale de droite soit ´egale `a+∞. La fonction convexe?admet des minorantes affines, de la formet?R→at+b; la fonction?(f) est donc minor´ee par la fonction int´egrableaf+b: la partie n´egative de?(f) a une int´egrale finie, ce qui permet de donner un sens g´en´eralis´e, fini ou ´egal `a +∞,
Preuve. -On posem=?
Efdμ; simminore l"intervalle I, la fonctionf-mest≥0 d"int´egrale nulle, E (f-m)dμ=? E fdμ-mμ(E) =m-m= 0, 5 doncf-mest presque partout nulle; il en r´esulte quef(x) =m μ-presque partout, en particuliermest une valeur def, doncm?I est le minimum de I ; puisquef=m μ-presque partout et quem?I, on a?(f(x)) =?(m) pour presque toutx, donc E ?(f(x))dμ(x) =?(m) =??? E f(x)dμ(x)? on proc`ede de mˆeme simest un majorant de I. On suppose donc maintenant quemest un pointint´erieur`a I ; alors??g(m),??d(m) existent ; siαest la d´eriv´ee (`a droite, `a gauche) de?au pointm, on a ?t?I, ?(t)-?(m)≥α(t-m) doncE??(f(x))-?(m)?dμ(x)≥α?
E?f(x)-m?dμ(x) = 0.
Jensen pour?(t) =|t|pet une mesure finie
On suppose queμest une mesure finie sur (E,F). On consid`ere la probabilit´eνsur (E,F)d´efinie parν= (μ(E))-1μ; sifestF-mesurable≥0, d"int´egrale finie pour commencer,
on peut appliquer directement le r´esultat pr´ec´edent `a la fonction convexet?R→ |t|p,
E fdν? E fpdν.Si l"int´egrale de droite est +∞, l"in´egalit´e est vraie; sinon on trouve des fonctions ´etag´ees
int´egrables qui croissent versfet on g´en´eralise l"in´egalit´e pr´ec´edente `a toutes les fonc-
tions mesurables `a valeurs dans [0,+∞]. En revenant `aμ, on obtient que pour toute fonction mesurable `a valeurs dans [0,+∞], on a E fdμ? E fpdμ valeur +∞admise, et avec la convention (+∞)p= +∞.Retrouver H¨older avec Jensen
On supposef,g≥0, non nulles,g?Lq, on pose B ={g >0}et pour la mesure finiedν=gqdμ, on va appliquer la version de Jensen pourt→ |t|p; l`a o`ug >0, on peut ´ecrire
g=g1-qgq: cette d´ecomposition aura donc un sens sur l"ensemble B. Onobtient E fgdμ? p E f1Bgdμ? p B fgdμ? p B fg1-qgqdμ? p B fg1-qdν? p B fpgp(1-q)dν? =(ν(E))p-1?? B fpg-qdν? E gqdμ? p-1?? B fpg-qgqdμ? =?g?q(p-1)q?? E fp1Bdμ? On a ainsi retrouv´e l"in´egalit´e de H¨older. 6Dual deL2
On se place dans le cas r´eel. On suppose donn´ee une forme lin´eaire continue?sur H = L2(E,F,μ), et on d´efinit une fonction Φ sur H en posant
Φ(f) =?f?2-2?(f).
Cette fonction Φ : H→Rest minor´ee sur H, car Φ(f) +???2=?f?2-2?(f) +???2≥ ?f?2-2????f?+???2= (?f? - ???)2≥0.On posem= inf Φ(H). On note que
?f+h?2+?f-h?2=?E?|f+h|2+|f-h|2?dμ
quotesdbs_dbs12.pdfusesText_18[PDF] courbes isohyètes
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