[PDF] Chapitre 2 - Intégrales généralisées (ou impropres)





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2.2 Quelques propriétés des intégrales définies

f(x)dx a et b sont les bornes d'intégration



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Définition 3.2. (fonction en escalier sur un rectangle fermé) Soit R = [a b] × [c



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Si f est une fonction d'une variable l'intégrale de f sur un intervalle [a



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METHODES SUR LE CALCUL INTEGRAL ET LES EQUATIONS DIFFERENTIELLES Il va être question dans ce chapitre de calcul intégral et d'équations

:

Chapitre2

impropres) Vousavezd ´efinienS3l'i nt´egraledeRiemannd' unefonc tioncont inueparmorceauxsurun intervalle[a,b],not´e e b a f(t)dt,com mel'aire(ave cunsignepositifoun ´egatif,selonlesi gnede lafonct ion)delacourberepr´ese ntativ edelaf onction`aint´egrer surcetintervalle. Onsouhai tedanscechapitredonn erunsens` adesin t´egralesdutype b a f(t)dtlorsquelafonction

fn'estplusd´efini esurl'inter valle[a,b]tou tentierou lorsqu'onsouhaitecalcul er uneint´egralesur

uninte rvalledelongueurinfinie(cequie stfr´e quentenphysiqueoue nprobabilit´es). Onsouhai teparexemplesavoirs ionpeut donnerunsensauxint´egral es 1 0 1 t dt, 1 0 1 t 2 dtou 1 1 t 2 dt.

2.1D´efinit ionetexemplesd'int´egrale simpropr es

continue(parmorceaux). Lafon ctionfestcontinu esur[a,x]pou rtoutxD´efinition2.1.1 L'int´egraledefsur[a,b[estditecon vergente(onnot e b a fconverge)siFadmetunelimit efinie enb.Dan scecasonpos e b a f(t)dt=lim x→b- F(x). b a festbiend ´e finiesi lim x→a+ b x f(t)dtexiste. Enfin,sifestd´ efiniesur]a,b[,l'int´egraledefentreaetbestditec onvergentesi lim x→a+,y→b- y x f(t)dtexiste. Lorsqu'onsaitcalculerex plicitem entuneprimitive,unep remi`eremani`eredev´erifierqu'une int´egraleimpropreestconver genteestdoncd'examinerl alimitede laprimitiveau"point`aprobl`em e". 9

AnalyseM41-Universi t´eBou rgogne -2013/201410

Onpeut ´egalementuti liserlad´efinitions´equen tielledelalimited'unefon ctionet lecrit`erede

Cauchypourexprim erqu'unei nt´egraleimpropreestbiend´ efinie(convergente).

2.1.1Exemples

Int´egrale

1 0 t -1/2 dt

Lafon ctionf:]0,1]→Rtellequef(t)=1/

testcontinu eetpourx?]0,1], F(x)= 1 x t -1/2 dt= 2t 1/2 1 x =2(1 - x). Lafon ctionF(x)adm etdoncunelimi telorsque x→0aveclim x→0+

F(x)=2.L'int´egrale

1 0 t -1/2 dt convergeetvaut2.

Int´egrale

0 cos(t)dt Lafon ctiont?→cos(t)es tcontinue etuneprimitiveestsin (t).Parcon s´equ ent,pourx≥0, x 0 cos(t)dt=sin(x).

L'int´egrale

0 cos(t)dtestdiver gente,puisquelafonctionsin(x)ne conver gepaslorsquextend versl'infin i.

Int´egrale

0 exp(-t)dt Lafon ctiont?→exp(t)es tcontinues urRetuneprimitiv edef(t)=exp(-t)estF(t)=-exp(-t).

Onadonc

x 0 exp(-t)dt=1-exp(-x) quiconver gevers1quandx→+∞etona 0 exp(-t)dt=1.

Int´egrale

1 dt t

Lafon ctionf:[1,+∞[→Rtellequef(t)=1/

testcontin ueetF(x)=2( x-1)n' apasde limitefinieenplusl' infini.L'int´ egraleim proprediverge .

Int´egrale

1 0 dt 1-t 2

Lafon ctionf(t)=(

1-t 2 -1 estcontin uesur[0,1[.Elleapourpri mit iveF(x)= x 0 dt 1-t 2 arcsin(x)-arcsin(0)=arcsin(x)qu iapourlimi teπ/2lor squex→1 .L'int´egraleestdoncconver- genteet 1 0 dt 1-t 2 2

Int´egrale

2 1 dt t 2 -1

Lafon ctionf(t)=(

t 2 -1) -1 estcontin uesur]1,2].Lafon ctionF(x)= 2 x dt t 2 -1 =arg cosh(2)- argcosh(x)ap ourl imiteargcos h(2)=ln(2+

3)lor squex→1

.L'i nt´egraleestdoncconvergente.

AnalyseM41-Universi t´eBou rgogne -2013/201411

Int´egrale

dt 1+t 2 Avantdetrait ercete xemple,enon¸consler ´esultatsu ivant.Soitfunefonction continuesur]a,b[

Th´eor`eme2.1.1

(relationdeChaslespourle sint´e gralesimpropres) Soitfunefoncti oncontinue[a,b[?→Retsoitc?]a,b[.L'i nt´egrale b a f(t)dtconvergesietseulemen t silesi nt´egrales c a f(t)dtet b c f(t)dtconvergent.

S'ilyaconver genc e,al ors

b a f(t)= c a f(t)dt+ b c f(t)dt etler´ esult atned´ependpasdupointcchoisi.

Preuve

Lapr euveestunecons´equ encedirec tedelarel ationdeChaslespourlesint´egralesd´efin ies.Onaen

e ff et,pourtout c?]a,b[,ettoutx?]a,b[ x a f(t)dt= c a f(t)dt+ x c f(t)dtint´egraledeRiemann etdoncl 'int´egral econverge b a f(t)dtssilim x→b x c f(t)dtexiste,d'o`uler´esul tatannonc´e.?

Appliquonsleth´eor`emepr´e c´eden tavecc=0e t´e tudions laconvergencedesint´egrales impropr es

0 dt 1+t 2 et 0 dt 1+t 2

Lapr imitiveF(x)=

x 0 dt 1+t 2 =arc tanxetlim x→+∞

F(x)=π/2.Onadonc

0 dt 1+t 2 2

Demˆem e,pourx<0,G(x)=

0 x dt 1+t 2 =-arctan(x)etlim x→-∞

G(x)=π/2.Par cons´eq uent

l'int´egrale dt 1+t 2 estconverge nteetvautπ.

Int´egrale

tdt

Appliquonsdenouveauleth´eor` emepr´ ec´edentpourv´e rifierl 'existencedecetteint´egrale. Ona

x 0 tdt=x 2 /2et donc 0 tdtdiverge.

Attention,ona pou rtan tbien

+x -x tdt=0m aisc ecin'assur epaslaconverge nced'uneint´egrale g´en´eralis´ee:laconvergencedoitavoirlieup ourt outesle ssuites(y n )et(x n )quitendentversaetb.

Int´egrale

+1 -1 t -1 dt

Lafon ctionf:t?→t

-1 estcontinu esur]-∞,0[et ]0,+∞[.Etudionss´epar´ementle sdeux int´egralesimpropres 0 -1 t -1 dtet +1 0 t -1 dt. Pourlapre mi`ere int´egraleimpropre,uneprimiti veestF(x)= x -1 t -1 dt=ln|x|.Onalim x→0 F(x)=

-∞.Par cons´eq uentl'int´egraledivergemˆemesiun raisonnementtroprapideauraitpunousfai re

penserqu'ellevalait 0.

2.2Calculdes int´egrales impropre s

Nous´enon ¸conslespropri´et´essuivan tesquimon trentquelesint´egralesimpropres(conv ergentes)

poss`edentlesmˆemespropri´et ´esdelin´ earit´e,d'additivit ´eetdecroissancequelesint´egralesdeR iemann.

Propri´et´e2.2.1

AnalyseM41-Universi t´eBou rgogne -2013/201412

Lin´earit´e.Sifetgontdesi nt´egralesc onvergentessur]a,b[alors?(α,β)?R 2 b a f+βg convergeet b a f+βg=α b a f+β b a g.

Croissance.Sifestpositi vesur[a,b[etsi

b a fconvergealors b a f≥0.

Lapr euveestdirecteetre posesurle spropri´et´esdelin´ear it´eet decroissancedel' int´egraled e

Riemannetunpassage`ala limit e.

Leschange mentsdevariableetl'int´egration parparti esdoiventˆetree ff ectu´esavecpr´ecaution .On consid´ereratoujoursdesint´egralesdeR iemannenfaisanttendr e"x"versle point`aprobl`eme.

Th´eor`eme2.2.2

(changementdevariables) 1 etbije ctivealors b a f(x)dxet f◦?(t)? (t)dt sontdeuxi nt´egralesimpr opresdemˆemenatureetsiellesc onvergent b a f(x)dx= f◦?(t)|? (t)|dt

Preuve

Lapr euveestsimilaire`al apreuved uchangementdevariablepourles int´egr alesdeR iemannavecen plusunpassage` alalim ite.Lefaitque?soitbiject ivepermetd'assurerl'´equival ence"uneint´egrale converge"??"l"autreint´egraleco nverge".Lavaleurabsoluepermet decompenserl'interversion deslimit esd'int´egrationlorsquela fonction?estd´ecroi ssante.?

Exempledechangementdev ariable

Calculdel'int´egr ale

1 dt t(1+(ln t) 2

Lafon ctionf(t)=

1 t(1+(lnt) 2 estcontinu esur[1+∞[.Parcom paraisona veclesint´egrales deBert rand,onremarquequel'int´egr ale estconvergente.Onconsid` erelechan gementdevariable x=?(t)=ln(t).Lafon ction?:[1+∞[→[0,+∞[estC 1 etcrois sante,? (t)=t -1 etonobti ent donc 1 dt t(1+(ln t) 2

0=?(1)

1 1+x 2 dx=lim u→+∞ [arctan(u)] u 0 2 Uneautre techniqueclas siqueestl'int´egrationparparti es(utileparexemplelorsque lafonction `aint´ egrerestunproduitdefoncti onsexpoutr igoetde polynˆomes).

Th´eor`eme2.2.3

(int´egrationparparties)

Soientfetgdeuxfonctions C

1 sur]a,b[.

Silafon ctionfgadeslimitesfiniesenaetenbalors

b a f (t)g(t)dtet b a f(t)g (t)dt

AnalyseM41-Universi t´eBou rgogne -2013/201413

sontdemˆe menatur eetsiellesconver gent b a f(t)g (t)dt=lim b fg-lim a fg- b aquotesdbs_dbs20.pdfusesText_26
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