2.2 Quelques propriétés des intégrales définies
f(x)dx a et b sont les bornes d'intégration
Chapitre 3 Intégrale double
Définition 3.2. (fonction en escalier sur un rectangle fermé) Soit R = [a b] × [c
Intégrales de fonctions de plusieurs variables
Si f est une fonction d'une variable l'intégrale de f sur un intervalle [a
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Intégrales convergentes
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Opérateurs de multiplication ponctuelle entre espace de Sobolev
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A.4 Table dintégrales indéfinies
Attention! À l'exception de u qui désigne une variable et de f et g qui désignent des fonctions les autres lettres désignent des constantes.
Intégrale de Riemann
1 sept. 2022 5.3 Quelques inconvénients de l'intégrale de Riemann . ... En effet c'est stable par multiplication par un scalaire par exemple.
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Faire le calcul de l'intégrale double I = ? ?D f(x y)dxdy dans l'exemple 3 14 pour la fonction f définie par f(x y) = x ? y Correction: On a I1 = ? ?D1f
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4 3 V R = ? On peut aussi calculer le volume d'une demi-boule et multiplier le résultat par 2 (N B : aire de la sphère 2 d 4 d V
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[PDF] Chapitre 4 METHODES SUR LE CALCUL INTEGRAL ET LES
METHODES SUR LE CALCUL INTEGRAL ET LES EQUATIONS DIFFERENTIELLES Il va être question dans ce chapitre de calcul intégral et d'équations
Chapitre2
impropres) Vousavezd ´efinienS3l'i nt´egraledeRiemannd' unefonc tioncont inueparmorceauxsurun intervalle[a,b],not´e e b a f(t)dt,com mel'aire(ave cunsignepositifoun ´egatif,selonlesi gnede lafonct ion)delacourberepr´ese ntativ edelaf onction`aint´egrer surcetintervalle. Onsouhai tedanscechapitredonn erunsens` adesin t´egralesdutype b a f(t)dtlorsquelafonctionfn'estplusd´efini esurl'inter valle[a,b]tou tentierou lorsqu'onsouhaitecalcul er uneint´egralesur
uninte rvalledelongueurinfinie(cequie stfr´e quentenphysiqueoue nprobabilit´es). Onsouhai teparexemplesavoirs ionpeut donnerunsensauxint´egral es 1 0 1 t dt, 1 0 1 t 2 dtou 1 1 t 2 dt.2.1D´efinit ionetexemplesd'int´egrale simpropr es
continue(parmorceaux). Lafon ctionfestcontinu esur[a,x]pou rtoutxAnalyseM41-Universi t´eBou rgogne -2013/201410
Onpeut ´egalementuti liserlad´efinitions´equen tielledelalimited'unefon ctionet lecrit`erede
Cauchypourexprim erqu'unei nt´egraleimpropreestbiend´ efinie(convergente).2.1.1Exemples
Int´egrale
1 0 t -1/2 dtLafon ctionf:]0,1]→Rtellequef(t)=1/
testcontinu eetpourx?]0,1], F(x)= 1 x t -1/2 dt= 2t 1/2 1 x =2(1 - x). Lafon ctionF(x)adm etdoncunelimi telorsque x→0aveclim x→0+F(x)=2.L'int´egrale
1 0 t -1/2 dt convergeetvaut2.Int´egrale
0 cos(t)dt Lafon ctiont?→cos(t)es tcontinue etuneprimitiveestsin (t).Parcon s´equ ent,pourx≥0, x 0 cos(t)dt=sin(x).L'int´egrale
0 cos(t)dtestdiver gente,puisquelafonctionsin(x)ne conver gepaslorsquextend versl'infin i.Int´egrale
0 exp(-t)dt Lafon ctiont?→exp(t)es tcontinues urRetuneprimitiv edef(t)=exp(-t)estF(t)=-exp(-t).Onadonc
x 0 exp(-t)dt=1-exp(-x) quiconver gevers1quandx→+∞etona 0 exp(-t)dt=1.Int´egrale
1 dt tLafon ctionf:[1,+∞[→Rtellequef(t)=1/
testcontin ueetF(x)=2( x-1)n' apasde limitefinieenplusl' infini.L'int´ egraleim proprediverge .Int´egrale
1 0 dt 1-t 2Lafon ctionf(t)=(
1-t 2 -1 estcontin uesur[0,1[.Elleapourpri mit iveF(x)= x 0 dt 1-t 2 arcsin(x)-arcsin(0)=arcsin(x)qu iapourlimi teπ/2lor squex→1 .L'int´egraleestdoncconver- genteet 1 0 dt 1-t 2 2Int´egrale
2 1 dt t 2 -1Lafon ctionf(t)=(
t 2 -1) -1 estcontin uesur]1,2].Lafon ctionF(x)= 2 x dt t 2 -1 =arg cosh(2)- argcosh(x)ap ourl imiteargcos h(2)=ln(2+3)lor squex→1
.L'i nt´egraleestdoncconvergente.AnalyseM41-Universi t´eBou rgogne -2013/201411
Int´egrale
dt 1+t 2 Avantdetrait ercete xemple,enon¸consler ´esultatsu ivant.Soitfunefonction continuesur]a,b[Th´eor`eme2.1.1
(relationdeChaslespourle sint´e gralesimpropres) Soitfunefoncti oncontinue[a,b[?→Retsoitc?]a,b[.L'i nt´egrale b a f(t)dtconvergesietseulemen t silesi nt´egrales c a f(t)dtet b c f(t)dtconvergent.S'ilyaconver genc e,al ors
b a f(t)= c a f(t)dt+ b c f(t)dt etler´ esult atned´ependpasdupointcchoisi.Preuve
Lapr euveestunecons´equ encedirec tedelarel ationdeChaslespourlesint´egralesd´efin ies.Onaen
e ff et,pourtout c?]a,b[,ettoutx?]a,b[ x a f(t)dt= c a f(t)dt+ x c f(t)dtint´egraledeRiemann etdoncl 'int´egral econverge b a f(t)dtssilim x→b x c f(t)dtexiste,d'o`uler´esul tatannonc´e.?Appliquonsleth´eor`emepr´e c´eden tavecc=0e t´e tudions laconvergencedesint´egrales impropr es
0 dt 1+t 2 et 0 dt 1+t 2Lapr imitiveF(x)=
x 0 dt 1+t 2 =arc tanxetlim x→+∞F(x)=π/2.Onadonc
0 dt 1+t 2 2Demˆem e,pourx<0,G(x)=
0 x dt 1+t 2 =-arctan(x)etlim x→-∞G(x)=π/2.Par cons´eq uent
l'int´egrale dt 1+t 2 estconverge nteetvautπ.Int´egrale
tdtAppliquonsdenouveauleth´eor` emepr´ ec´edentpourv´e rifierl 'existencedecetteint´egrale. Ona
x 0 tdt=x 2 /2et donc 0 tdtdiverge.Attention,ona pou rtan tbien
+x -x tdt=0m aisc ecin'assur epaslaconverge nced'uneint´egrale g´en´eralis´ee:laconvergencedoitavoirlieup ourt outesle ssuites(y n )et(x n )quitendentversaetb.Int´egrale
+1 -1 t -1 dtLafon ctionf:t?→t
-1 estcontinu esur]-∞,0[et ]0,+∞[.Etudionss´epar´ementle sdeux int´egralesimpropres 0 -1 t -1 dtet +1 0 t -1 dt. Pourlapre mi`ere int´egraleimpropre,uneprimiti veestF(x)= x -1 t -1 dt=ln|x|.Onalim x→0 F(x)=-∞.Par cons´eq uentl'int´egraledivergemˆemesiun raisonnementtroprapideauraitpunousfai re
penserqu'ellevalait 0.2.2Calculdes int´egrales impropre s
Nous´enon ¸conslespropri´et´essuivan tesquimon trentquelesint´egralesimpropres(conv ergentes)
poss`edentlesmˆemespropri´et ´esdelin´ earit´e,d'additivit ´eetdecroissancequelesint´egralesdeR iemann.
Propri´et´e2.2.1
AnalyseM41-Universi t´eBou rgogne -2013/201412
Lin´earit´e.Sifetgontdesi nt´egralesc onvergentessur]a,b[alors?(α,β)?R 2 b a f+βg convergeet b a f+βg=α b a f+β b a g.Croissance.Sifestpositi vesur[a,b[etsi
b a fconvergealors b a f≥0.Lapr euveestdirecteetre posesurle spropri´et´esdelin´ear it´eet decroissancedel' int´egraled e
Riemannetunpassage`ala limit e.
Leschange mentsdevariableetl'int´egration parparti esdoiventˆetree ff ectu´esavecpr´ecaution .On consid´ereratoujoursdesint´egralesdeR iemannenfaisanttendr e"x"versle point`aprobl`eme.Th´eor`eme2.2.2
(changementdevariables) 1 etbije ctivealors b a f(x)dxet f◦?(t)? (t)dt sontdeuxi nt´egralesimpr opresdemˆemenatureetsiellesc onvergent b a f(x)dx= f◦?(t)|? (t)|dtPreuve
Lapr euveestsimilaire`al apreuved uchangementdevariablepourles int´egr alesdeR iemannavecen plusunpassage` alalim ite.Lefaitque?soitbiject ivepermetd'assurerl'´equival ence"uneint´egrale converge"??"l"autreint´egraleco nverge".Lavaleurabsoluepermet decompenserl'interversion deslimit esd'int´egrationlorsquela fonction?estd´ecroi ssante.?Exempledechangementdev ariable
Calculdel'int´egr ale
1 dt t(1+(ln t) 2Lafon ctionf(t)=
1 t(1+(lnt) 2 estcontinu esur[1+∞[.Parcom paraisona veclesint´egrales deBert rand,onremarquequel'int´egr ale estconvergente.Onconsid` erelechan gementdevariable x=?(t)=ln(t).Lafon ction?:[1+∞[→[0,+∞[estC 1 etcrois sante,? (t)=t -1 etonobti ent donc 1 dt t(1+(ln t) 20=?(1)
1 1+x 2 dx=lim u→+∞ [arctan(u)] u 0 2 Uneautre techniqueclas siqueestl'int´egrationparparti es(utileparexemplelorsque lafonction `aint´ egrerestunproduitdefoncti onsexpoutr igoetde polynˆomes).Th´eor`eme2.2.3
(int´egrationparparties)Soientfetgdeuxfonctions C
1 sur]a,b[.Silafon ctionfgadeslimitesfiniesenaetenbalors
b a f (t)g(t)dtet b a f(t)g (t)dtAnalyseM41-Universi t´eBou rgogne -2013/201413
sontdemˆe menatur eetsiellesconver gent b a f(t)g (t)dt=lim b fg-lim a fg- b aquotesdbs_dbs20.pdfusesText_26[PDF] pme au maroc pdf
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