2.2 Quelques propriétés des intégrales définies
f(x)dx a et b sont les bornes d'intégration
Chapitre 3 Intégrale double
Définition 3.2. (fonction en escalier sur un rectangle fermé) Soit R = [a b] × [c
Intégrales de fonctions de plusieurs variables
Si f est une fonction d'une variable l'intégrale de f sur un intervalle [a
Calculs dintégrales et de primitives
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Intégrales convergentes
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A.4 Table dintégrales indéfinies
Attention! À l'exception de u qui désigne une variable et de f et g qui désignent des fonctions les autres lettres désignent des constantes.
Intégrale de Riemann
1 sept. 2022 5.3 Quelques inconvénients de l'intégrale de Riemann . ... En effet c'est stable par multiplication par un scalaire par exemple.
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Faire le calcul de l'intégrale double I = ? ?D f(x y)dxdy dans l'exemple 3 14 pour la fonction f définie par f(x y) = x ? y Correction: On a I1 = ? ?D1f
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Pour calculer cette intégrale il suffit de trouver une primitive de f c'est-`a-dire une fonction F dont la dérivée est égale `a f ; on a alors ?
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4 3 V R = ? On peut aussi calculer le volume d'une demi-boule et multiplier le résultat par 2 (N B : aire de la sphère 2 d 4 d V
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METHODES SUR LE CALCUL INTEGRAL ET LES EQUATIONS DIFFERENTIELLES Il va être question dans ce chapitre de calcul intégral et d'équations
Chapitre3
Intégraledouble
Nousallons supposerleplanusu elR
2 munid'unr epèreorthono rmé(O,i,j).3.1Aperçudeladéfinition for mellede l'intégraledouble
2 dontlescôt éssontpar allèlesauxaxes deco ordonnées.Pardéfin ition,R=
(x,y)?R 2 /a?x?b,c?y?d Définition3.1.(Quadrillag edurectangl eR=[a,b]×[c,d](a1?i?n,1?j?m k ij (x i -x i-1 )(y j -y j-1 estappel éintégrabledoubledefsurRetes tnoté R f(x,y)dxdy. Définition3.4.SoitR=[a,b]×[c,d](a1?i?n,1?j?m k ij (x i -x i-1 )(y j -y j-1Alors,lorsquemetntendentvers+∞,V
nm admetunelimi tedansR. Cettelimitee stappeléeintégrale doublede fsurRetno tée R f(x,y)dxdy.Nousadmettro nslethéorèmesuivant.
Théorème3.6.SoitR=[a,b]×[c,d](aUnelist edepropriétésà connaî tre:1.S oientfetgdeuxfonct ionsintégrablessurunrecta ngleferméRalors
R (f+g)(x,y)dxdy= R f(x,y)dxdy+ R g(x,y)dxdy.2.So ientfunefo nctionintégrablesurunrect angleferméRetλ?R,alors
Rλf(x,y)dxdy=λ
R f(x,y)dxdy.3.So ientfetgdeuxfonct ionsintégrablessurunrect angleferméRtellesque?(x,y )?R,f(x,y )?
g(x,y),alors: R f(x,y)dxdy? R g(x,y)dxdy4.S ifestunef onctionin tégrablesurunrectanglef erméR,alorslafonction|f|estint égrablesur
Reton al'inég ali té
R f(x,y)dxdy R |f(x,y)|dxdy.20Intégraledouble
3.2Successiond'intégralessi mples-ThéorèmedeFubini
SoitR=[a,b]×[c,d](aPourx?[a,b]fixé,lafonct ionf(x,•):[c,d]Rdéfinieparf(x,•)(y)=f(x,y)estintég rablesur[c,d].Leno mbre
c d A(x)= c d f(x,t)dt. Enin tégrantlafonctionAsurl'in tervalle[a,b],onalaformule a bA(x)dx=
a b c d f(x,y)dy dx.Définition3.7.Dansl'exp ression
a b c d f(x,y)dy dxdela formul e(?)ci-dessus,onditque l'onad'abordintégré parrapportày,etensuiteparrapportàx.Dema nièreanalogue,dansl' expression
c d a b f(x,y )dx dy,onditquel'onintègred'abordpar rapportàx,puisparrapportày. 2 (1?x?2,0?y?3)etlafonctionf définiesurRparf(x,y)=xy+y 2 +1.Ici,a=1,b=2,c=0etd=3. •ona c d f(x,y)dy= 0 3 (xy+y 2 +1)dy= 1 2 xy 2 1 3 y 3 +y y=0 y=3 9 2 x+12,enin tégrantd'abord parrapp ortày; •intégrantmaintenantlerés ultatprécédentparrapportàx,onobtient: a b 0 3 (xy+y 2 +1)dy dx= 1 2 9 2 x+12 dx= 9 4 x 2 +12x 1 2 =33-12- 9 4 754 intégrantparrapportày: -ona a b f(x,y)dx= 1 2 (xy+y 2 +1)dx= 1 2 x 2 y+(y 2 +1)x x=1 x=2 =y 2 3 2 y+1,enintégrant d'abordparrapportàx; -enin tégrantlerésultatci-dessu sparra pportày,onobtient: 0 3 1 2 (xy+y 2 +1)dx dy= 0 3 y 2 3 2 y+1 dy= 1 3 y 3 3 4 y 2 +y 0 3 =12+ 27
4 75
4 Dansl'exem ple3.8nousremarquonsqueles deuxintég rationssuccessivesdonnentlemêmerésultat. Cecin'estp aslefaitduhasar dmaisest dûauth éorèmesuivan tquenousadmettrons. Théorème3.9.(Théorèmed eFubinipour lesrectanglesfermés) SoitR=[a,b]×[c,d](aExemple3.10.SoitR=[1,2]×[0,2]?R 2 etf:RRdéfinieparf(x,y)=ye xy
CalculonsI=
R f(x,y)dxdy.D'aprèslethéorèmede Fubini ,onaI=
0 2 1 2 (ye xy )dx dy. Or 1 2 (ye xy )dx= e xy x=1 x=2 =e 2y -e yOnen déduit I=
0 2 (e 2y -e y )dy= 1 2 e 2y -e y 0 2 1 2 e 4 -e 2 1 2 Note:Enint égrantd'abordparrapportàx,leprécédentcalculnousaprisjustedeuxlignes.Sinouscommençonsparintégrerd'abordpa rrapport ày,nousnousrendonsvitecomptequelecalculestmoinsévi-
dent.Eneffet 0 2 (ye xy )dynéc essiteuneintégrationpar part ies. 0 2 (ye xy )dy= y x e xy 1 x 2 e xy y=0 y=2 =e 2x 2 x 1 x 2 1 x 2 .L'intégrationdecettedernière expressionnécessitemanifestem entencoreuneintégratio nparparties:3.2Successiond'intégralessimpl es-ThéorèmedeFubini21
1 2 e 2x 2 x 1 x 2 1 x 2 dx= 1 2 1 x×2e
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