Corrigé du baccalauréat Terminale ES Liban 5 juin 2017
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[Corrigé du baccalauréat Terminale ES Liban 5 juin 2017 Exercice 1 3 points Commun à tous les candidats 1 Onconsidère lafonction g dé?nie sur ]0 ; +?[par g(x)= 2 x Lavaleurmoyennedelafonctiong surl’intervalle[1;e]secalculeaveclaformule: 1 e?1 Z e 1 g(x)dx Une primitive dela fonction g sur l’intervalle ]0 ; +?[est la
5 juin 2017 - APMEP
[Baccalauréat S Liban 5 juin 2017 Exercice 1 6 points Commun à tous les candidats APMEP Subject: TS Liban Created Date: 5/28/2018 10:17:04 PM
L"intégrale d"avril à novembre 2017
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bleusPondichéry 26 avril 2017
Amérique du Nord 2 juin 2017
..................................10Liban 5 juin 2017
Centres étrangers 13 juin 2017
.................................21Polynésie 14 juin 2017
Antilles-Guyane16 juin 2017
...................................32Métropole 21 juin 2017
Asie 22 juin 2017
Polynésie 5 septembre 2017
....................................52Antilles-Guyane7 septembre 2017
.............................56Métropole 12 septembre 2017
..................................60Amérique du Sud 21 novembre 2017
............................67Nouvelle-Calédonie 19 novembre 2017
........................73Nouvelle-Calédonie 5 mars 2018
...............................78À la fin index des notions abordées
À la fin de chaque exercice cliquer sur*pour aller à l"index Baccalauréat S : l"intégrale 2017A. P. M. E. P. 2Durée : 4 heures
?Baccalauréat S Pondichéry 26 avril 2017?EXERCICE15 points
Commun à tous les candidats
Les partiesA,BetCpeuvent être traitées de façon indépendante. Dans tout l"exercice, les résultats seront arrondis, si nécessaire, au millième. Lachocolaterie "Choc"o»fabriquedestablettes dechocolat noir, de100 grammes, dontlateneur en cacao annoncée est de 85%.PartieA
À l"issue de la fabrication, la chocolaterie considère que certaines tablettes ne sont pas commer-
cialisables : tablettes cassées, mal emballées, mal calibrées, etc. La chocolaterie dispose de deux chaînes de fabrication :la chaîne A, lente, pour laquelle la probabilité qu"une tablette de chocolat soit commercia-
lisable est égale à 0,98. la chaîne B, rapide, pour laquelle la probabilité qu"une tablette de chocolat soit commer- cialisable est 0,95. À la fin d"une journée de fabrication, on prélève au hasard unetablette et on note : Al" évènement : "la tablette de chocolat provient de la chaînede fabrication A»; Cl"évènement : "la tablette de chocolat est commercialisable». On notexla probabilité qu"une tablette de chocolat provienne de la chaîne A.1.Montrer queP(C)=0,03x+0,95.
2.À l"issue de la production, on constate que 96% des tablettessont commercialisables et on
retient cette valeur pour modéliser la probabilité qu"une tablette soit commercialisable. Justifier quela probabilitéquelatablette provienne delachaîne Best deuxfois égaleàcelle que la tablette provienne de la chaîne A.PartieB
Une machine électronique mesure la teneur en cacao d"une tablette de chocolat. Sa durée devie, en années, peut être modélisée par une variable aléatoireZsuivant une loi exponentielle de
paramètreλ.1.La durée de vie moyenne de ce type de machine est de 5 ans.Déterminer le paramètreλde la loi exponentielle.
2.CalculerP(Z>2).
3.Sachant que la machine de l"atelier a déjà fonctionné pendant 3 ans, quelle est la probabi-
lité que sa durée de vie dépasse 5 ans?PartieC
On noteXla variable aléatoire donnant la teneur en cacao, exprimée en pourcentage, d"une ta- blette de 100 g de chocolat commercialisable. On admet que X suit la loi normale d"espéranceμ=85 et d"écart typeσ=2.
1.CalculerP(83 Quelle est la probabilité que la teneur en cacao soit différente de plus de 2% du pourcen- tage annoncé sur l"emballage? 2.Déterminer une valeur approchée au centième du réelatel que :
P(85-a Interpréter le résultat dans le contexte de l"exercice. Baccalauréat S : l"intégrale 2017A. P. M. E. P. 3.La chocolaterie vend un lot de 10000 tablettes de chocolat à une enseigne de la grande
distribution. Elle affirme au responsable achat de l"enseigne que, dans ce lot, 90% des ta- blettes ont un pourcentage de cacao appartenant à l"intervalle [81,7; 88,3]. Afin de vérifier si cette affirmation n"est pas mensongère, le responsable achat fait prélever
550 tablettes au hasard dans le lot et constate que, sur cet échantillon, 80 ne répondent pas
au critère. Au vu de l"échantillon prélevé, que peut-on conclure quant àl"affirmation de la chocolate-
rie? EXERCICE23 points
Commun à tous les candidats
On munit le plan complexe d"un repère orthonormé direct? O,-→u,-→v?
1.On considère l"équation
(E):z2-6z+c=0 oùcest un réel strictement supérieur à 9. a.Justifier que (E) admet deux solutions complexes non réelles. b.Justifier que les solutions de (E) sontzA=3+i? c-9 etzB=3-i?c-9. 2.On note A et B les points d"affixes respectiveszAetzB.
Justifier que le triangle OAB est isocèle en O. 3.Démontrer qu"il existe une valeur du réelcpour laquelle le triangle OAB est rectangle et
déterminer cette valeur. EXERCICE34 points
Commun à tous les candidats
à flanc de montagne.
Après étude géologique, l"entreprise représente dans le plan la situation de la façon suivante :
dans un repèreorthonormal, d"unité 2 m, la zonede creusement est la surface délimitée par l"axe
des abscisses et la courbeC. montagne zone de creusement C O -→u-→ v On admet queCest la courbe représentative de la fonctionfdéfinie sur l"intervalle [-2,5 ; 2,5] par : f(x)=ln?-2x2+13,5?. Pondichéry426 avril 2017
Baccalauréat S : l"intégrale 2017A. P. M. E. P. L"objectif est de déterminer une valeur approchée, au mètrecarré près, de l"aire de la zone de
creusement. PartieA : Étude de la fonctionf
1.Calculerf?(x) pourx?[-2,5 ; 2,5].
2.Dresser, en justifiant, le tableau de variation de la fonctionfsur [-2,5 ; 2,5].
En déduire le signe defsur [-2,5 ; 2,5].
PartieB : Aire de la zonede creusement
On admet que la courbeCest symétrique par rapport à l"axe des ordonnées du repère. 1.La courbeCest-elle un arc de cercle de centre O? Justifier la réponse.
2.Justifier que l"aire, en mètre carré, de la zone de creusementest
A=8? 2,5 0 f(x)dx. 3.L"algorithme, donné en annexe, permet de calculer une valeur approchée par défaut de
I=? 2,5 0 f(x)dx, notéea. On admet que :a?I?a+f(0)-f(2,5)
n×2,5. a.Le tableau fourni en annexe, donne différentes valeurs obtenues pourRetSlors de l"exécution de l"algorithme pourn=50. Compléter ce tableau en calculant les six valeurs manquantes. b.En déduire une valeur approchée, au mètre carré près, de l"aire de la zone de creuse-
ment. EXERCICE45 points
Candidatsn"ayantpas suivi l"enseignementde spécialité On considère deux suites
(un)et(vn): la suite(un)définie paru0=1 et pour tout entier naturel n:un+1=2un-n+3; la suite(vn)définie, pour tout entier natureln, parvn=2n. PartieA : Conjectures
Florent a calculé les premiers termes de ces deux suites à l"aide d"un tableur. Une copie d"écran est donnée ci-dessous.
ABC 1rangntermeuntermevn
2011
3152
42124
53258
645016
1.Quelles formules ont été entrées dans les cellules B3 et C3 pour obtenir par copie vers le
bas les termes des deux suites? 2.Pour les termes de rang 10, 11, 12 et 13 Florent obtient les résultats suivants :
Pondichéry526 avril 2017
Baccalauréat S : l"intégrale 2017A. P. M. E. P. 121030801024
131161532048
1412122984096
15l3245878192
Conjecturer les limites des suites(un)et?unvn?
PartieB : Étude de la suite
(un) 1.Démontrer par récurrence que, pour tout entier natureln, on a
u n=3×2n+n-2. 2.Déterminer la limite de la suite(un).
3.Déterminer le rang du premier terme de la suite supérieur à 1 million.
PartieC : Étude de la suite
?un vn? 1.Démontrer que la suite?un
vn? est décroissante à partir du rang 3. 2.On admet que, pour tout entiernsupérieur ou égal à 4, on a : 0 2n?1n.
Déterminer la limite de la suite
?un vn? EXERCICE45 points
Candidatsayantsuivi l"enseignementde spécialité On définit les suites
(un)et(vn)par : u 0=v0=1et, pour tout entier natureln,un+1=2un+3vnetvn+1=2un+vn.
On admettra que les termes de ces suites sont des entiers naturels non nuls. PartieA : Conjectures
Flore a calculé les premiers termes des suites à l"aide d"un tableur. Une copie d"écran est donnée ci-dessous.
ABC 1rangntermeuntermevn
2011
3153
421913
537751
64307205
1.Quelles formules ont été entrées dans les cellules B3 et C3 pour obtenir par copie vers le
bas les termes des suites? 2.Soitnun entier naturel.
Conjecturer la valeur de PGCD
(un;vn). Aucune justification n"est demandée. 3.Pour les termes de rang 10, 11, 12 et 13 Flore obtient les résultats suivants :
12101258291838861
13Il50331653355443
14122013265913421773
15138053063753687091
Pondichéry626 avril 2017
Baccalauréat S : l"intégrale 2017A. P. M. E. P. Elle émet la conjecture : "la suite?unvn?
converge». Qu"en penser?
PartieB : Étude arithmétique
1.Démontrer par récurrence que, pour tout entier natureln, on a :
2un-3vn=(-1)n+1.
2.Soitnun entier naturel.
Déduire de la question précédente la valeur de PGCD (un;vn). PartieC : Étude matricielle
Pour tout entier natureln, on définit :
la matrice colonneXn=?un
v n? les matrices carréesP=?1 3
-1 2? etQn=?(-1)n3×22n (-1)n+122n+1? 1. a.Montrer que la matrice1
quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28
2.Déterminer une valeur approchée au centième du réelatel que :
P(85-a Interpréter le résultat dans le contexte de l"exercice. Baccalauréat S : l"intégrale 2017A. P. M. E. P. 3.La chocolaterie vend un lot de 10000 tablettes de chocolat à une enseigne de la grande
distribution. Elle affirme au responsable achat de l"enseigne que, dans ce lot, 90% des ta- blettes ont un pourcentage de cacao appartenant à l"intervalle [81,7; 88,3]. Afin de vérifier si cette affirmation n"est pas mensongère, le responsable achat fait prélever
550 tablettes au hasard dans le lot et constate que, sur cet échantillon, 80 ne répondent pas
au critère. Au vu de l"échantillon prélevé, que peut-on conclure quant àl"affirmation de la chocolate-
rie? EXERCICE23 points
Commun à tous les candidats
On munit le plan complexe d"un repère orthonormé direct? O,-→u,-→v?
1.On considère l"équation
(E):z2-6z+c=0 oùcest un réel strictement supérieur à 9. a.Justifier que (E) admet deux solutions complexes non réelles. b.Justifier que les solutions de (E) sontzA=3+i? c-9 etzB=3-i?c-9. 2.On note A et B les points d"affixes respectiveszAetzB.
Justifier que le triangle OAB est isocèle en O. 3.Démontrer qu"il existe une valeur du réelcpour laquelle le triangle OAB est rectangle et
déterminer cette valeur. EXERCICE34 points
Commun à tous les candidats
à flanc de montagne.
Après étude géologique, l"entreprise représente dans le plan la situation de la façon suivante :
dans un repèreorthonormal, d"unité 2 m, la zonede creusement est la surface délimitée par l"axe
des abscisses et la courbeC. montagne zone de creusement C O -→u-→ v On admet queCest la courbe représentative de la fonctionfdéfinie sur l"intervalle [-2,5 ; 2,5] par : f(x)=ln?-2x2+13,5?. Pondichéry426 avril 2017
Baccalauréat S : l"intégrale 2017A. P. M. E. P. L"objectif est de déterminer une valeur approchée, au mètrecarré près, de l"aire de la zone de
creusement. PartieA : Étude de la fonctionf
1.Calculerf?(x) pourx?[-2,5 ; 2,5].
2.Dresser, en justifiant, le tableau de variation de la fonctionfsur [-2,5 ; 2,5].
En déduire le signe defsur [-2,5 ; 2,5].
PartieB : Aire de la zonede creusement
On admet que la courbeCest symétrique par rapport à l"axe des ordonnées du repère. 1.La courbeCest-elle un arc de cercle de centre O? Justifier la réponse.
2.Justifier que l"aire, en mètre carré, de la zone de creusementest
A=8? 2,5 0 f(x)dx. 3.L"algorithme, donné en annexe, permet de calculer une valeur approchée par défaut de
I=? 2,5 0 f(x)dx, notéea. On admet que :a?I?a+f(0)-f(2,5)
n×2,5. a.Le tableau fourni en annexe, donne différentes valeurs obtenues pourRetSlors de l"exécution de l"algorithme pourn=50. Compléter ce tableau en calculant les six valeurs manquantes. b.En déduire une valeur approchée, au mètre carré près, de l"aire de la zone de creuse-
ment. EXERCICE45 points
Candidatsn"ayantpas suivi l"enseignementde spécialité On considère deux suites
(un)et(vn): la suite(un)définie paru0=1 et pour tout entier naturel n:un+1=2un-n+3; la suite(vn)définie, pour tout entier natureln, parvn=2n. PartieA : Conjectures
Florent a calculé les premiers termes de ces deux suites à l"aide d"un tableur. Une copie d"écran est donnée ci-dessous.
ABC 1rangntermeuntermevn
2011
3152
42124
53258
645016
1.Quelles formules ont été entrées dans les cellules B3 et C3 pour obtenir par copie vers le
bas les termes des deux suites? 2.Pour les termes de rang 10, 11, 12 et 13 Florent obtient les résultats suivants :
Pondichéry526 avril 2017
Baccalauréat S : l"intégrale 2017A. P. M. E. P. 121030801024
131161532048
1412122984096
15l3245878192
Conjecturer les limites des suites(un)et?unvn?
PartieB : Étude de la suite
(un) 1.Démontrer par récurrence que, pour tout entier natureln, on a
u n=3×2n+n-2. 2.Déterminer la limite de la suite(un).
3.Déterminer le rang du premier terme de la suite supérieur à 1 million.
PartieC : Étude de la suite
?un vn? 1.Démontrer que la suite?un
vn? est décroissante à partir du rang 3. 2.On admet que, pour tout entiernsupérieur ou égal à 4, on a : 0 2n?1n.
Déterminer la limite de la suite
?un vn? EXERCICE45 points
Candidatsayantsuivi l"enseignementde spécialité On définit les suites
(un)et(vn)par : u 0=v0=1et, pour tout entier natureln,un+1=2un+3vnetvn+1=2un+vn.
On admettra que les termes de ces suites sont des entiers naturels non nuls. PartieA : Conjectures
Flore a calculé les premiers termes des suites à l"aide d"un tableur. Une copie d"écran est donnée ci-dessous.
ABC 1rangntermeuntermevn
2011
3153
421913
537751
64307205
1.Quelles formules ont été entrées dans les cellules B3 et C3 pour obtenir par copie vers le
bas les termes des suites? 2.Soitnun entier naturel.
Conjecturer la valeur de PGCD
(un;vn). Aucune justification n"est demandée. 3.Pour les termes de rang 10, 11, 12 et 13 Flore obtient les résultats suivants :
12101258291838861
13Il50331653355443
14122013265913421773
15138053063753687091
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Baccalauréat S : l"intégrale 2017A. P. M. E. P. Elle émet la conjecture : "la suite?unvn?
converge». Qu"en penser?
PartieB : Étude arithmétique
1.Démontrer par récurrence que, pour tout entier natureln, on a :
2un-3vn=(-1)n+1.
2.Soitnun entier naturel.
Déduire de la question précédente la valeur de PGCD (un;vn). PartieC : Étude matricielle
Pour tout entier natureln, on définit :
la matrice colonneXn=?un
v n? les matrices carréesP=?1 3
-1 2? etQn=?(-1)n3×22n (-1)n+122n+1? 1. a.Montrer que la matrice1
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3.La chocolaterie vend un lot de 10000 tablettes de chocolat à une enseigne de la grande
distribution. Elle affirme au responsable achat de l"enseigne que, dans ce lot, 90% des ta- blettes ont un pourcentage de cacao appartenant à l"intervalle [81,7; 88,3].Afin de vérifier si cette affirmation n"est pas mensongère, le responsable achat fait prélever
550 tablettes au hasard dans le lot et constate que, sur cet échantillon, 80 ne répondent pas
au critère.Au vu de l"échantillon prélevé, que peut-on conclure quant àl"affirmation de la chocolate-
rie?EXERCICE23 points
Commun à tous les candidats
On munit le plan complexe d"un repère orthonormé direct?O,-→u,-→v?
1.On considère l"équation
(E):z2-6z+c=0 oùcest un réel strictement supérieur à 9. a.Justifier que (E) admet deux solutions complexes non réelles. b.Justifier que les solutions de (E) sontzA=3+i? c-9 etzB=3-i?c-9.2.On note A et B les points d"affixes respectiveszAetzB.
Justifier que le triangle OAB est isocèle en O.3.Démontrer qu"il existe une valeur du réelcpour laquelle le triangle OAB est rectangle et
déterminer cette valeur.EXERCICE34 points
Commun à tous les candidats
à flanc de montagne.
Après étude géologique, l"entreprise représente dans le plan la situation de la façon suivante :
dans un repèreorthonormal, d"unité 2 m, la zonede creusement est la surface délimitée par l"axe
des abscisses et la courbeC. montagne zone de creusement C O -→u-→ v On admet queCest la courbe représentative de la fonctionfdéfinie sur l"intervalle [-2,5 ; 2,5] par : f(x)=ln?-2x2+13,5?.Pondichéry426 avril 2017
Baccalauréat S : l"intégrale 2017A. P. M. E. P.L"objectif est de déterminer une valeur approchée, au mètrecarré près, de l"aire de la zone de
creusement.PartieA : Étude de la fonctionf
1.Calculerf?(x) pourx?[-2,5 ; 2,5].
2.Dresser, en justifiant, le tableau de variation de la fonctionfsur [-2,5 ; 2,5].
En déduire le signe defsur [-2,5 ; 2,5].
PartieB : Aire de la zonede creusement
On admet que la courbeCest symétrique par rapport à l"axe des ordonnées du repère.1.La courbeCest-elle un arc de cercle de centre O? Justifier la réponse.
2.Justifier que l"aire, en mètre carré, de la zone de creusementest
A=8? 2,5 0 f(x)dx.3.L"algorithme, donné en annexe, permet de calculer une valeur approchée par défaut de
I=? 2,5 0 f(x)dx, notéea.On admet que :a?I?a+f(0)-f(2,5)
n×2,5. a.Le tableau fourni en annexe, donne différentes valeurs obtenues pourRetSlors de l"exécution de l"algorithme pourn=50. Compléter ce tableau en calculant les six valeurs manquantes.b.En déduire une valeur approchée, au mètre carré près, de l"aire de la zone de creuse-
ment.EXERCICE45 points
Candidatsn"ayantpas suivi l"enseignementde spécialitéOn considère deux suites
(un)et(vn): la suite(un)définie paru0=1 et pour tout entier naturel n:un+1=2un-n+3; la suite(vn)définie, pour tout entier natureln, parvn=2n.PartieA : Conjectures
Florent a calculé les premiers termes de ces deux suites à l"aide d"un tableur.Une copie d"écran est donnée ci-dessous.
ABC1rangntermeuntermevn
20113152
42124
53258
645016
1.Quelles formules ont été entrées dans les cellules B3 et C3 pour obtenir par copie vers le
bas les termes des deux suites?2.Pour les termes de rang 10, 11, 12 et 13 Florent obtient les résultats suivants :
Pondichéry526 avril 2017
Baccalauréat S : l"intégrale 2017A. P. M. E. P.121030801024
131161532048
1412122984096
15l3245878192
Conjecturer les limites des suites(un)et?unvn?
PartieB : Étude de la suite
(un)1.Démontrer par récurrence que, pour tout entier natureln, on a
u n=3×2n+n-2.2.Déterminer la limite de la suite(un).
3.Déterminer le rang du premier terme de la suite supérieur à 1 million.
PartieC : Étude de la suite
?un vn?1.Démontrer que la suite?un
vn? est décroissante à partir du rang 3.2.On admet que, pour tout entiernsupérieur ou égal à 4, on a : 0 2n?1n.
Déterminer la limite de la suite
?un vn? EXERCICE45 points
Candidatsayantsuivi l"enseignementde spécialité On définit les suites
(un)et(vn)par : u 0=v0=1et, pour tout entier natureln,un+1=2un+3vnetvn+1=2un+vn.
On admettra que les termes de ces suites sont des entiers naturels non nuls. PartieA : Conjectures
Flore a calculé les premiers termes des suites à l"aide d"un tableur. Une copie d"écran est donnée ci-dessous.
ABC 1rangntermeuntermevn
2011
3153
421913
537751
64307205
1.Quelles formules ont été entrées dans les cellules B3 et C3 pour obtenir par copie vers le
bas les termes des suites? 2.Soitnun entier naturel.
Conjecturer la valeur de PGCD
(un;vn). Aucune justification n"est demandée. 3.Pour les termes de rang 10, 11, 12 et 13 Flore obtient les résultats suivants :
12101258291838861
13Il50331653355443
14122013265913421773
15138053063753687091
Pondichéry626 avril 2017
Baccalauréat S : l"intégrale 2017A. P. M. E. P. Elle émet la conjecture : "la suite?unvn?
converge». Qu"en penser?
PartieB : Étude arithmétique
1.Démontrer par récurrence que, pour tout entier natureln, on a :
2un-3vn=(-1)n+1.
2.Soitnun entier naturel.
Déduire de la question précédente la valeur de PGCD (un;vn). PartieC : Étude matricielle
Pour tout entier natureln, on définit :
la matrice colonneXn=?un
v n? les matrices carréesP=?1 3
-1 2? etQn=?(-1)n3×22n (-1)n+122n+1? 1. a.Montrer que la matrice1
quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28
2n?1n.
Déterminer la limite de la suite
?un vn?EXERCICE45 points
Candidatsayantsuivi l"enseignementde spécialitéOn définit les suites
(un)et(vn)par : u0=v0=1et, pour tout entier natureln,un+1=2un+3vnetvn+1=2un+vn.
On admettra que les termes de ces suites sont des entiers naturels non nuls.PartieA : Conjectures
Flore a calculé les premiers termes des suites à l"aide d"un tableur.Une copie d"écran est donnée ci-dessous.
ABC1rangntermeuntermevn
20113153
421913
537751
64307205
1.Quelles formules ont été entrées dans les cellules B3 et C3 pour obtenir par copie vers le
bas les termes des suites?2.Soitnun entier naturel.
Conjecturer la valeur de PGCD
(un;vn). Aucune justification n"est demandée.3.Pour les termes de rang 10, 11, 12 et 13 Flore obtient les résultats suivants :
12101258291838861
13Il50331653355443
14122013265913421773
15138053063753687091
Pondichéry626 avril 2017
Baccalauréat S : l"intégrale 2017A. P. M. E. P.Elle émet la conjecture : "la suite?unvn?
converge».Qu"en penser?
PartieB : Étude arithmétique
1.Démontrer par récurrence que, pour tout entier natureln, on a :
2un-3vn=(-1)n+1.
2.Soitnun entier naturel.
Déduire de la question précédente la valeur de PGCD (un;vn).PartieC : Étude matricielle
Pour tout entier natureln, on définit :
la matrice colonneXn=?un
v n?les matrices carréesP=?1 3
-1 2? etQn=?(-1)n3×22n (-1)n+122n+1?1. a.Montrer que la matrice1
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