Trinômes du second degré
Soit f la fonction trinôme dont la forme canonique est f (x) = a(x - )² + . second degré ax2 + bx + c est factorisé lorsqu'on l'écrit sous la forme.
Sans titre
LE SECOND DEGRÉ. I) Une transformation incontournable : la forme canonique. Application 1 : factorisation éventuelle d'une expression du 2nd degré.
PERIODE ENJEUX MATHS0 Portail SV
8 sept. 2022 Identités remarquables développement et factorisation. - Equations de second degré. Forme canonique d'un polynôme de degré 2.
FONCTIONS POLYNÔMES DE DEGRÉ 2 (Partie 2)
La parabole rouge représente alors la fonction g. Méthode : Factoriser une expression du second degré. Vidéo https://youtu.be/FoNm-dlJQLc.
Forme canonique dun trinôme du second degré
Exprimer les coefficients m et n en fonction de a b et c. 2. On pose le discriminant ? = b2. ? 4ac et on suppose ? > 0. Factoriser la forme canonique et
La forme canonique
La plupart des polynômes du second degré peuvent s'écrire sous 3 formes : développée factorisée et canonique. EXEMPLE 1. ( ). 2. 1 . 3.
Le second degré - Lycée dAdultes
La forme canonique d'un trinôme est une forme à partir de laquelle on peut savoir si le trinôme peut se factoriser ou non. Cette forme.
Trinôme du second degré
Forme canonique du trinôme du second degré factorise sous la forme ... Sans utiliser le discriminant factoriser chacun des polynômes suivants et faire ...
SECOND DEGRE (Partie 2)
Définition : Une équation du second degré est une équation de la forme f (x) = ax2 + bx + c peut s'écrire sous sa forme canonique : f (x) = a x ??.
SLCI - Systèmes du second ordre
Mod-C2.3 : Modèles canoniques du second ordre Les systèmes du sont ordre sont régis par une équation différentielle de la forme suivante :.
Second degré Forme canonique d’un trinôme - SFR
Second degré – Forme canonique d’un trinôme du second degré – Exercices corrigés © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 1 Objectifs abordés dans cette fiche : (cliquez sur l’exercice pour un accès direct) Exercice 1 : reconnaître une forme canonique Exercice 2 : trouver la forme canonique d’un trinôme du second degré
Les formes d'écriture de la fonction polynomiale de degré
1 Forme canonique La forme canonique de f est de la forme f(x) = a(x??)2 +? avec ? = ?b 2a Exemple 1 : f est d´e?nie sur R par f(x) = x2 ?6x+5 On a (x?3)2 = x2 ?6x+9 donc f(x) = (x?3)2 ?9+5 = (x?3)2 ?4 (forme canonique avec ? = 3 et ? = ?4) On peut aussi obtenir ? avec les coe?cients a b et c
—Quand on ne sait pas - editions-ellipsesfr
La forme canonique de A est donc : Ax x() ( )=- - +2282 EXERCICE 1 2 On développe d’abord B et on obtient Bx x x()=-+9 36 37 2 On a alors : ab c==- =9 36 37 ce qui permet de calculer les valeurs de ? et de ? On trouve : () 36 2 et 2 1 18 == = = =BB La forme canonique de B est : Bx x() ( )=-+9212
Exercice 1
Enoncé
Exercice 2
Enoncé
Quelle est la différence entre la forme factorisée et la forme canonique?
Passage de la forme factorisée à la forme canonique La forme canonique de la fonction polynomiale de degré 2 Lorsqu’on transforme la forme de base, on obtient une équation avec différents paramètres. La forme canonique informe sur les allongements, les rétrécissements, les réflexions et les translations que subit sa fonction de base.
Qu'est-ce que la factorisation canonique?
La factorisation canonique est une méthode qui permet de factoriser des expressions (trinôme) du type : . Algorithme et exemple avec le trinôme : 1. Si , on factorise par a. Ici , le coefficient devant vaut 1, donc rien à faire. 2. On cherche à écrire les 2 premiers termes ( ) sous forme de carré.
Comment calculer la forme canonique ?
Forme canonique La forme canonique defest de la formef(x) =a(x??)2+?.?bavec?=. Calcul des coordonn´ees du sommet et tableau de variation Tableau de variation: La courbe repr´esentative defest une parabole de sommet S admettant la droite?bd’´equationx=pour axe de sym´etrie.
Quel est l’intérêt de la forme canonique?
INTÉRÊT DE LAFORME CANONIQUE : VARIATIONS DE LA FONCTION TRINÔME La forme canoniquepermet d’obtenir le tableau de variationsde la fonction polynôme du second degré.
Trinômes du second degré
A. Fonctions trinômes du second degré
On appelle fonction trinôme une fonction qui à tout réel x associe ax2 + bx + c, avec a, b et c réels et
a non nul. ax2 + bx + c est la forme développée du trinôme.1. Forme canonique
Tout trinôme du second degré ax2 + bx + c peut s'écrire sous la forme a(x - )² +
avec α=-b2a et β=c-b2
4a.Démonstration
Vérifions :
a(x-α)2+β=a(x+b 2a)2 +c-b24a=a(x2+b
ax+b24a2)+c-b2
4a=ax2+bx+b2
4a+c-b2
4a =ax2+bc+c2. Variations
Le tableau de variations d'une fonction trinôme dépend du signe de a.Si a > 0Si a < 0
Démonstration
Soit f la fonction trinôme dont la forme canonique est f (x) = a(x - )² + .On se place dans le cas a > 0.
KB 1 sur 5x
a(x - )² + x a(x - )² + Considérons 2 réels u et v de l'intervalle ]-∞ ; ] tels que u < v. On a alors u - < v - , ajouter - ne change pas l'ordre des nombres.Comme u et v sont dans l'intervalle ]-∞ ; ] , u - et v - sont négatifs, or la fonction carré est
décroissante dans ℝ-, on a donc (u - )² > (v - )². Multiplier par a > 0 et ajouter ne change pas l'ordre des nombres, donca(u - )² + > a(v - )² + et f (u) > f (v). f a changé l'ordre de u et v, donc f est décroissante
sur ]-∞ ; ]. On démontre de même que f est croissante sur [ ; +∞[.Remarques
1) Dans tous les cas on a un extremum égal à pour x = .
Si a > 0, il s'agit d'un minimum et si a < 0, il s'agit d'un maximum.2) La courbe représentative d'une fonction trinôme est toujours une parabole.
Si a > 0 elle est tournée vers le haut et si a < 0, elle est tournée vers le bas.3. Forme factorisée
Un trinôme du second degré ax2 + bx + c, est factorisé lorsqu'on l'écrit sous la forme a(x - x1)(x - x2).Si un trinôme ax2 + bx + c peut être factorisé, alors l'équation ax2 + bx + c = 0 a au moins une
solution car on a a(x - x1)(x - x2) = 0 pour x = x1 ou x = x2. (x1 et x2 sont alors appelées les racines du
trinôme)Cela signifie que si l'équation ax2 + bx + c = 0 n'a pas de solutions, alors le trinôme ax2 + bx + c ne
peut pas être factorisé.B. Équations du second degré
On considère l'équation ax² + bx + c = 0 avec a ≠ 0. La forme canonique du trinôme ax² + bx + c est a(x - )² + .L'équation proposée est donc équivalente à a(x - )² + = 0, soit a(x - )² = - et finalement
(x-α)2=-β a.On sait que α=-b
2a et β=c-b2
4a, donc -β
a=-c a+b24a2=b2-4ac
4a2. En posant = b² - 4ac, on
obtient l'équation : (x+b 2a)24a2. Le nombre est appelé discriminant du trinôme. On peut
alors distinguer plusieurs cas : -si < 0, alors l'équation n'a pas de solution car un carré est toujours positif. -si = 0, alors l'équation devient (x+b 2a)2 =0 et elle a une solution unique x=-b 2a. -si > 0, on a 2 possibilités : soit x+b 4a2=2asoit x+b
2a=- 4a2=-2aKB 2 sur 5
Théorème 1
On considère l'équation ax² + bx + c = 0 avec a ≠ 0. On appelle discriminant de cette équation le réel = b² - 4ac. 2a. •Si = 0, l'équation a une seule solution x0=-b 2a. •Si < 0, l'équation n'a pas de solution réelle. Les solutions de l'équation ax² + bx + c = 0 sont appelées racines du trinôme.Théorème 2 (factorisation)
On considère le trinôme ax² + bx + c (avec a ≠ 0) et son discriminant = b² - 4ac.
•Si > 0, le trinôme a deux racines distinctes x1 et x2 et admet la factorisation ax² + bx + c = a(x - x1)(x - x2).•Si = 0, le trinôme a une seule racine x0 et admet la factorisation ax² + bx + c = a(x - x0)².
On dit alors que x0 est une racine double.
•Si < 0, le trinôme n'a pas de racine et ne peut pas être factorisé.Exemples
1) Résoudre x² - 5x + 6 = 0.
On a = (-5)² - 4 × 1 × 6 = 25 - 24 = 1. Il ya donc deux solutions qui sont : x1 =5 - 1 2 =42 =2 et x2 =5 1
2 =6 2 =3. On a la factorisation x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3).2) Résoudre 4x² - 4x + 1= 0.
On a = (- 4)² - 4 × 4 × 1 = 16 - 16 = 0. Il a donc une seule solution x1 =4 8 =1 2.On a la factorisation 4x² - 4x + 1= 4
x-12 2
3) Résoudre x² + x + 1 = 0.
On a = 1² - 4 × 1 × 1 = 1 - 4 = - 3. Il n'y a donc pas de solution réelle. Le trinôme x² + x + 1
ne peut pas être factorisé.C. Signe du trinôme
On considère la fonction trinôme définie par f (x) = ax² + bx + c et son discriminant .
Le signe du trinôme va dépendre de l'existence d'éventuelles racines. •Si > 0, l'équation f (x) = 0 a deux solutions x1 et x2 et f (x) = a(x - x1)(x - x2).KB 3 sur 5
On a alors le tableau de signe suivant :
ax² + bx + c est du signe de a à l'extérieur des racines et du signe de - a entre les racines.
•Si = 0, l'équation f (x) = 0 a une seule solution x1. On a alors la factorisation f (x) = a(x - x1)². ax² + bx + c est du signe de a.•Si < 0, l'équation f (x) = 0 n'a pas de solutions, le trinôme ne peut pas être factorisé en un
produit de facteurs du premier degré. ax² + bx + c est du signe de a.En résumé :
ax² + bx + c est toujours du signe de a sauf entre les racines lorsqu'elles existent.Exemples
1) Étudier le signe de x² - 5x + 6.
L'équation x² - 5x + 6 = 0 a deux solutions x1 = 2 et x2 = 3. On en déduit le tableau de signes
suivant : x² - 5x + 6 est positif sauf si x est entre 2 et 3.2) Étudier le signe de 4x² - 4x + 1.
L'équation 4x² - 4x + 1 = 0 a une solution unique x1 =12. On en déduit que 4x² - 4x + 1 est
toujours positif.3) Étudier le signe de x² + x + 1
L'équation x² + x + 1 = 0 n'a pas de solutions, x² + x + 1 est donc toujours positif.Représentation graphique
La représentation graphique d'une fonction trinôme est une parabole.Le signe de a indique le sens de la parabole.
Le signe de indique le nombre de racines, donc le nombre de points d'intersection avec l'axe des abscisses.KB 4 sur 5x
x - x1 x - x2 a(x-x1)(x-x2)x1x2 0 0 00++ signe de asigne de asigne de -a x x²-5x+623 00++- a > 0a < 0 > 0 = 0 < 0KB 5 sur 5
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