[PDF] Baccalauréat S - septembre 2016

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?Baccalauréat S (spécialité) Antilles-Guyaneseptembre 2016?

EXERCICE16points

Commun à tous les candidats

Le plan est muni d"un repère orthonormal?

O ;-→ı,-→??

réelsRpar f n(x)=e-(n-1)x 1+ex. On désigne parCnla courbe représentative defndans le repère?

O ;-→ı,-→??

On a représenté ci-dessous les courbesCnpour différentes valeurs den.

Soit la suite

(un)définie pour tout entier naturelnpar : u n=? 1 0 fn(x)dx.

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1-0,10,1

0,20,30,40,50,60,70 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,100,10,20,30,40,50,60,7

C0 C1 C2 C3 C4

C10C50

PartieA - Étude graphique

1.Donner une interprétation graphique deun.

2.Quelles conjectures peut-on faire concernant les variations et la convergence de la suite(un)?

3.Proposer, à l"aide du graphique et en expliquant la démarche, un encadrement deu4d"ampli-

tude 0,05.

PartieB - Étude théorique

1.Montrer queu0=ln?1+e

2?.

2.Montrer queu0+u1=1 puis en déduireu1.

3.Montrer que, pour tout entier natureln,un?0.

4.On pose pour tout entier naturelnet pour toutxréel,dn(x)=fn+1(x)-fn(x).

a.Montrer que, pour tout nombre réelx,dn(x)=e-nx1-ex 1+ex. b.Étudier le signe de la fonctiondnsur l"intervalle [0; 1].

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

5.En déduire que la suite(un)est convergente.

6.On note?la limite de la suite(un).

a.Montrer que, pour tout entiernsupérieur ou égal à 1, on a : u n+un+1=1-e-n n. b.En déduire la valeur de?. c.On souhaite construire un algorithme qui affiche la valeur deuNpour un entier naturelN non nul donné. Recopier et compléter les quatre lignes de la partieTraitementde l"algorithme suivant.

Entrée:Nest un entier naturel non nul

Variables:Uest un nombre réel

Kest un entier naturel

Initialisation:Affecter 1 àK

Affecter 1-ln?1+e2?àUDemander à l"utilisateur la valeur deN

Traitement:Tant queK

Affecter .........àU

Affecter .........àK

Fin Tant que

Sortie:AfficherU

EXERCICE25points

Commun à tous les candidats

On considère un cube ABCDEFGH de côté 1.

AB C DE F G H

On se place dans le repère orthonormé

B ;--→BA,--→BC,-→BF?

septembre 20162Antilles-Guyane

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

1.Déterminer une représentation paramétrique de la droite (BH).

2.Démontrer que la droite (BH) est perpendiculaire au plan (DEG).

3.Déterminer une équation cartésienne du plan (DEG).

4.On note P le point d"intersection du plan (DEG) et de la droite(BH).

Déduire des questions précédentes les coordonnées du pointP.

5.Que représente le point P pour le triangle DEG? Justifier la réponse.

EXERCICE34points

Commun à tous les candidats

Pour chacune des quatre questions, une seule des quatre propositions est exacte. Le candidat indiquera

sur la copie le numéro de la question et recopierala réponse choisie. Aucune justification n"est deman-

dée. Il seraattribué un point si la réponse est exacte, zéro sinon.

1.On noteCl"ensemble des nombres complexes et (E) l"équation d"inconnue complexez

(E):z2+2az+a2+1=0, oùadésigne un nombre réel quelconque. •Pour toute valeur dea, (E) n"a pas de solution dansC. •Pour toute valeur dea, les solutions de (E)dansCne sont pas réelles et leurs modules sont distincts. •Pour toute valeur dea, les solutions de (E)dansCne sont pas réelles et leurs modules sont

égaux.

•Il existe une valeur deapour laquelle (E) admet au moins une solution réelle.

2.Soitθun nombre réel dans l"intervalle ]0 ;π[ etzle nombre complexe

z=1+eiθ. Pour tout réelθdans l"intervalle ]0 ;π[ :

•Le nombrezest un réel positif.

•Le nombrezest égal à 1.

•Un argument dezestθ.

•Un argument dezestθ

2.

3.Soit la fonctionfdéfinie et dérivable pour tout nombre réelxpar

f(x)=e-xsinx. •La fonctionfest décroissante sur l"intervalle?π

4;+∞?.

•Soitf?la fonction dérivée def. On af??π 4?=0. •La fonctionfest positive sur l"intervalle ]0 ;+∞[. •SoitFla fonction définie, pour tout réelx, parF(x)=e-x(cosx-sinx).

La fonctionFest une primitive de la fonctionf.

4.SoitXune variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre 0,02.

0,45 est une valeur approchée à 10

-2près de :

•P(X=30)

•P(X?60)

•P(X?30)

•P(30?X?40)

EXERCICE45points

Candidatsayantsuivi l"enseignementde spécialité septembre 20163Antilles-Guyane

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

Parmi les ordinateurs d"un parc informatique, 60% présentent des failles de sécurité. Afin de pallier

ce problème, on demande à un technicien d"intervenir chaquejour pour traiter les défaillances.

On estime que chaque jour, il remet en état 7% des ordinateursdéfaillants, tandis que de nouvelles

failles apparaissent chez 3% des ordinateurs sains. On suppose de plus que le nombre d"ordinateurs est constant sur la période étudiée. Pour tout entier natureln, on noteanla proportion d"ordinateurs sains de ce parc informatique au bout denjours d"intervention, etbnla proportion d"ordinateurs défaillants au bout denjours.

Ainsia0=0,4 etb0=0,6.

PartieA

1.Décrire la situation précédente à l"aide d"un graphe ou d"unarbre pondéré.

2.Déterminera1etb1.

3.Pour tout entier natureln, exprimeran+1etbn+1en fonction deanetbn.

4.Soit la matriceA=?0,97 0,070,03 0,93?

. On poseXn=?an b n? a.Justifier que pour tout entier natureln,Xn+1=AXn. b.Montrer, par récurrence, que pour tout entier natureln,Xn=AnX0.

c.Calculer, à l"aide de la calculatrice,X30. En donner une interprétation concrète (les coeffi-

cients seront arrondis au millième).

PartieB

1.On poseD=?0,9 0

0 0,9?

etB=?0,070,03? a.Justifier que, pour tout entier natureln,an+1+bn+1=1. b.Montrer que, pour tout entier natureln, X n+1=DXn+B.

2.On pose, pour tout entier natureln,Yn=Xn-10B.

a.Montrer que pour tout entier natureln,Yn+1=DYn. b.On admet que pour tout entier natureln,Yn=DnY0. En déduire que pour tout entier natureln,Xn=Dn(X0-10B)+10B. c.Donner l"expression deDnpuis en déduirean+1etbn+1en fonction den. septembre 20164Antilles-Guyanequotesdbs_dbs49.pdfusesText_49

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