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Équations aux dérivées partielles elliptiques

Pierron Théo

ENS Ker Lann

2

Table des matières

1 Introduction1

1.1 Équations aux dérivées partielles. . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Un peu de modélisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.3 Un exemple simple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3.1 Sans terme d"ordre 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3.2 Méthode de tir. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3.3 Vers la formulation variationnelle. . . . . . . . . . . . 5

2 Espaces de Sobolev et distributions7

2.1 Éléments de distributions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.1 Définitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.2 Exemples importants. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.1.3 Convergence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.1.4 Dérivation des distributions. . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2 L"espace de SobolevH1(Ω). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2.1 Définition et structure. . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2.2 Le casH1(Rn). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2.3 L"espaceH10(Ω). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3 Traces des fonctionsH1(Ω). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3.1 Le cas Ω =R+n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3.2 Ω borné régulier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.4 Compacité, inégalité de Poincaré. . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.4.1 Théorème de prolongement. . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.4.2 Compacité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.4.3 Inégalité de Poincaré. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3 Problèmes elliptiques linéaires21

3.1 Un problème de minimisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.2 Solutions faibles pour le problème de Dirichlet. . . . . . . . . 23

3.2.1 Équation de Laplace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2.2 Problèmes elliptiques d"ordre 2. . . . . . . . . . . . . 26

i iiTABLE DES MATIÈRES

3.2.3 RégularitéH2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.3 Autres conditions aux limites. . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.3.1 Condition de Dirichlet non homogène. . . . . . . . . . 30

3.3.2 Le problème de Neumann pour le laplacien. . . . . . . 31

3.4 Approximation variationnelle et introduction aux éléments finis32

3.4.1 Approximation interne d"un problème variationnel. . . 32

3.4.2 La méthode des éléments finis. . . . . . . . . . . . . . 33

Chapitre 1Introduction1.1 Équations aux dérivées partielles Une EDP est une équations dont l"inconnue est une fonction etfait in- tervenir les dérivées partielles de cette fonction. L"ordre de l"EDP est l"ordre maximal de dérivation de la fonction. En première approche,on peut classifier les EDP en trois grandes familles : •les EDP elliptiques, dont le prototype est l"équation de Laplace :f= -?u. •les EDP hyperboliques, dont les prototypes sont l"équationde transport ∂u ∂t+n? i=1a i∂u∂xi= 0 et l"équation des ondes 2u ∂t2=δu •les EDP paraboliques, dont le prototype est l"équation de lachaleur

δu=∂u

∂t

1.2 Un peu de modélisation

L"équation type qui va nous intéresser est l"équation de Laplace dans un domaine Ω?Rn. Cette équation ne sera jamais examinée seule (sinon on n"a aucune chance d"avoir l"unicité) mais on lui adjoindra une condition aux limités au bord∂Ω de Ω. La conditionu=u0sur∂Ω s"appelle condition de Dirichlet. Siu0= 0, on dit qu"on impose la condition de Dirichlet homogène. 1

CHAPITRE 1. INTRODUCTION

La condition aux limites∂u∂ν=u1où∂u∂ν=n? i=1∂u∂xiν ietν(x) est le vecteur normal sortant à∂Ω au pointx?∂Ω s"appelle condition de Von Neumann. Du point de vue de la modélisation les EDPE décrivent des phénomènes stationnaires, des situations d"équilibres indépendantes du temps. En thermique, pour décrire la température à l"équilibre dans un corps Ω thermiquement conducteur,f=-Δuavecu=u0sur∂Ω. Ici,udésigne la température,fles sources etu0les thermostats au bord. Si on pose une condition de Neumann, c"est le flux de chaleur qu"on fixe. Si on la fixe à 0, le flux est nul signifiant une isolation parfaite. En mécanique du solide, l"équation de Laplace intervient pour modéliser la position d"équilibre d"une membrane élastique. Sin= 2udésigne le dé- placement vertical de la membrane.fdésigne les forces verticales exercées sur la membrane etu0représente le fait que la membrane est fixée au bord. En mécanique des fluides,udésigne la fonction courant ou le potentiel des vitesses. En électrostatique,udésigne le potentiel,fla densité des charges, la condition de Dirichlet décrit une interface avec un conducteur parfait et la condition de Neumann un champ électrique dont la composantenormale est imposée. Un modèle plus généraliste consiste à remplacer le Laplacien par une somme de dérivées partielles secondes :Lu=foù

Lu=-n?

i=1n j=1a i,j∂2u ∂xi∂xj=f où les fonctionsai,jsont données, avec des conditions aux limites.

Définition 1.1

L"équation précédente est dire (uniformément) elliptique dans l"ouvert Ω?Rnssi il existe une constanteα >0 telle que ?x?Ω,?ξ?Rn,n? i=1n j=1a i,jξiξj?α?ξ?22 Exemple 1.1AvecL=-Δ, on aai,j=δi,jdonc clairement coercif.

SiLu=-Δu-ε∂2u

∂x1∂x2, on a n i=1n j=1a i,j=?ξ?22+εξ1ξ2 avec (1-ε

2)?ξ?22?|ξ1ξ2|?ξ21+ξ222. Donc on garde une équation elliptique

pourε <2.

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1.3. UN EXEMPLE SIMPLE

1.3 Un exemple simple

1.3.1 Sans terme d"ordre 0

On se place en dimension 1, on prendu: [0,1]→Rl"inconnue,f: ]0,1[→Rla donnée et on considère f=-u??avecu(0) =u(1) = 0 Proposition 1.1Cette équation admet une unique solutionC2donnée par u(x) =? 1

0G(x,y)f(y)dyoùG(x,y) =???y(1-x) si 0?y?x

x(1-y) sinon est la fonction de Green. Démonstration.Pour l"existence on vérifie que ça marche. Soientu1etu2 deux solutions. Posonsv=u1-u2.

On av??= 0 doncv(x) =ax+bdonca=b= 0 etu1=u2.

De cette expression, on peut tirer plusieurs propriétés qualitatives : •La solution dépend de façon continue def. (On peut majorer la norme def?→u(linéaire) par7 2)

•Principe du maximum faible : sif?0 alorsu?0.

•Principe du maximum fort : sif?0 etf?= 0 alorsu >0. Ces propriétés sont en fait très générales pour les problèmes elliptiques. On ne disposera que très rarement d"une formule explicite pourles montrer.

1.3.2 Méthode de tir

On veut résoudre

f=-u??+bu avecu(0) =u(1) = 0. Proposition 1.2On supposefetbcontinues avecb?0. Il existe une unique solution. On va résoudre le problème annexe donné en remplaçantu(1) = 0 par u ?(0) =α. Par Cauchy-Lipschitz, on a une unique solution pour toutα.

Lemme 1.0.1

u αest solution du système de départ ssiuα(1) = 0. L"applicationα→uα(x) est continue et strictement croissante. De plus u

β(x)?uα(x) + (β-α)x

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CHAPITRE 1. INTRODUCTION

Démonstration.On au??β-u??α=b(uβ-uα),uβ(0)-uα(0) = 0 etu?β(0)- u

α(0) =β-α >0.

La fonctionuβ-uαest positive dans un voisinage de 0 épointé. Comme b?0,u??β-u??α?0 doncu?β-u?α?β-α >0 et on a le résultat. La continuité découle des théorèmes de continuité d"une solution d"une

équation à paramètres.

Corollaire 1.1Il existe un uniqueαtel queuα(1) = 0et donc notre problème admet une unique solutionu?C2([0,1]). Démonstration.α?→uα(1) est continue strictement croissante avec l"inéga- lité, on trouve u

β(1)?u0(0) +βpourα= 0

u

α(1)?u0(1) +αpourβ= 0

Donc lim

β→±∞uβ(1) =±∞doncα?→uα(1) est une bijection deR→R.

0 admet donc un unique antécédent.

Remarque 1.1

•Pour ce problème elliptique en dimension1, on n"a pas besoin de mé- thodes sophistiquées, les théorèmes classiques d"EDO suffisent. •La méthode en paramétrant le problème paru?(0)(dite méthode de tir) fournit une méthode numérique de calcul d"une approximation de la solution implémentable sur ordinateur. •La méthode ne se généralise pas à la dimension supérieure. Ona utilisé ici que le problème de Cauchy était bien posé. Exemple 1.2 Problème mal poséOn considère-Δu= 0 sur Ω =]0,π[2 avecu(0,y) =u(π,y) = 0,u(x,0) =u0(x) et∂u ∂y(x,0) =u1(x,0). Il n"existe pas d"application (u0,u1)?→ucontinue. Prenons (au hasard!)u0(x) = sin(kx) etu1(x) = 0 aveck?N. Le problème admet une unique solution de la formeu(x,y) =A(y)B(x). Les conditions initiales eny= 0 permettent de prendreB(x) = sin(kx), A(0) = 1 etA?(0) = 0. On trouve alorsA(y) = ch(ky) et enfin u(x,y) = ch(ky)sin(kx) On a donc une application Φ :u0,u1→uqui est linéaire et elle est continue ssi il existec >0 tel que?u??c?u0?. Or?u0?= 1 et?u?= ch(kπ)→ ∞. Le problème est donc mal posé. En conséquence, il existera des suitesun0qui convergent ettelles que Φ(un0) ne convergent pas et même des données initiales pour lesquelles le problème

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1.3. UN EXEMPLE SIMPLE

n"a pas de solution. Par exemple, soitu0(x) =x(π-x) =∞? k=1a ksin(kx) avec cvn. On aurait doncu(x,y) =∞? k=1a ksin(kx)ch(ky) mais ça ne converge pas.

Définition 1.2

Un problème est dit bien posé au sens de Hadamrd ssi il admet une unqiue solution qui dépend continûment de ses paramètres.

1.3.3 Vers la formulation variationnelle

Montrons directement la propriété d"unicité de la solution. Supposons en avoir deux :u1etu2.u:=u1-u2est solution de -u??+bu= 0,u(0) = 0,u(1) = 0 On a 0 =? 1

0u(x)(b(x)u(x)-u??(x))dx

Or, par IPP,

1

0u??(x)u(x)dx=?

1

0(u?(x))2dx+ 0

Ainsi ?1

0((u?(x))2+b(x)u(x)2)dx= 0

et l"intégrade est positive doncu?(x) = 0 doncu=cste= 0. Ainsiu1=u2. En poussant plus loin la méthode, on peut en faire un théorèmed"exis- tence.

On chercheusolution de-u??+bu=favecu?Voù

V={v?C2([0,1]),u(0) =u(1) = 0}

. On cherche une formulation faible de l"équation. Siv?V, on a (-u??+ bu)v=fvdonc en intégrant et par IPP, 1

0u?(x)v?(x)dx+?

1

0b(x)u(x)v(x)dx=?

1

0v(x)f(x)dx

Les deux formulations sont équivalents (il suffit de remonterles calculs). Or cette équation est de la forme : trouveru?Vtel que pour tout v?V,a(u,v) =l(v) oùa(u,v) =?1

0u?v?+?1

0buvetl(v) =?1

0vf. On

l"appelle formulation variationnelle.

Théorème 1.1

Lax-MilgramSoitVun Hilbert,aune forme bilinéaire continue,lune forme linéaire continue. Sous l"hypothèse de coercivité :?c0>0,?u?V,a(u,u)?c0?u?2, il existe un uniqueutel que pour toutv,a(u,v) =l(v).

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CHAPITRE 1. INTRODUCTION

Ce théorème permettrait presque de conclure sauf qu"on n"est pas dans un Hilbert. On voudrait donc se placer dansH1. Mais sur un tel espace il faut pouvoir parler de dérivée seconde. •Soit on prend un espace le plus régulier possible •Soit on prend un espace de fonctions moins régulières qui soit un espace de Hilbert On va étudier dans le prochain chapitre les espaces de Sobolev et le dis- tributions.

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Chapitre 2Espaces de Sobolev etdistributions2.1 Éléments de distributions2.1.1 DéfinitionsDéfinition 2.1

Fonctions tests Soit Ω un ouvert etD(Ω) l"ensemble des fonctions qui sontC∞surRnde support compact inclus dans Ω.

On noteraD(

Ω) l"ensemble des restrictions àΩ d"éléments deD(Rn).

Exemple 2.1La fonctionθ(x) = e-1

x1R+(x) estC∞surRdoncθn(x) =

θ(1- ?x?2) estC∞surRn.

Définition 2.2

On dit queθεest une famille régularisante ssi supp(θε)? B(0,ε),θε?0,?θε= 1 etθε?D(Rn).

Proposition 2.1

•Soitu?C0(Rn) à support compact dansRn. Alorsθε?u?D(Rn) et

ε?u→uuniformément surRn.

•Soitu?Lp(Rn) avec 1?p?∞. Alorsθε?u?C∞(Rn). De plus, sip <∞,θε?u→udansLp. Si supp(u) est compact,

ε?u?D(Rn).

Définition 2.3

On dit queuest une distribution sur Ω siuest une forme linéaire continue surD(Ω), au sens où pour toutKcompact, il existekKet une constanteCKtelle que pour tout??B(Ω) avec supp(?)?K, on a On noteD?(Ω) l"espace vectoriel des distributuons sur Ω. 7

CHAPITRE 2. ESPACES DE SOBOLEV ET DISTRIBUTIONS

Remarque 2.1 Dans la plupart des exemples qu"on rencontrera, l"entierkK peut être pris indépendamment du compactK. Dans une telle situation, on dira que a distribution est d"ordre fini. La plus petite valeur dekqui convient est l"ordre de la distribution.

2.1.2 Exemples importants

Les fonctionsflocalement intégrables définissent une distribution d"ordre

0 par??→?f?.

Les masses de Dirac sont des distributions d"ordre 0.

Lemme 2.0.1

D(Ω) est dense dansL2(Ω).

Siu?D?(Ω), on suppose qu"il existec >0 tel que pour tout??D(Ω); ?u,???c???2. Grâce au lemme, on peut prolonger uniquement le forme linéaireuen une forme linéaire continue ?usurL2. Par Riesz, il existe une uniquef?L2tel que?u(g) =?fgpour tout g?L2. EN particulier, pour toutg?D(Ω),?u,g?=?u(g).

Plus généralement, siu?D?(Ω) telle que

?c >0,???D(Ω),|?u,??|?c???p avec 1?p <∞. Alors on peut identifieruà une fonction deLq(Ω) avec 1 p+1q= 1. C"est faux pourp=∞, il suffit de prendre par exemple la masse de Dirac.

2.1.3 Convergence

Définition 2.4

On dit qu"une suite de distributionsunconverge versussi pour tout??D(Ω), ?un,?? → ?u,??

On noteraun? u.

Remarque 2.2 On a nécessairement unicité de la limite dansD?(Ω). Proposition 2.2Sifn→fdansL1alorsfn? fdansD?(Ω).

Démonstration.Soit??D(Ω),

f n?-? f????? (fn-f)????? |fn-f||?|??fn-f?1???∞→0 Proposition 2.3Sifn→fdansL2alorsfn? fdansD?(Ω).

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2.1. ÉLÉMENTS DE DISTRIBUTIONS

Démonstration.Par Cauchy-Schwarz,

(f-fn)????? ??fn-f?2???2 Proposition 2.4Toute suite régularisante converge versδ0dansD?(Ω).

2.1.4 Dérivation des distributions

Définition 2.5

Soitu?D?(Ω). On note∂u∂xila distribution définie par ???D(Ω),?∂u ∂xi,?? u,∂?∂xi? De même, siαest un multientier, on note∂αula distribution définie par ???D(Ω),?∂αu,??= (-1)|α|?u,∂α??

Proposition 2.5Sif?C1(Ω), alors∂f

∂xicoïncide avec la dérivée defau sens usuel. La dérivation est une opération continue surD?(Ω) au sens où suun? u alors∂αun? ∂αu. Démonstration.Soitf?C1(Ω), notons provisoirement?∂f ∂xila dérivée par- tielle defdansD?(Ω). et∂f ∂xila dérivée partielle usuelle.

On montre que pour tout??D(Ω),

?∂f ∂xi,??

Ω∂f∂xi?

On a ??∂f ∂xi,?? f,∂?∂xi? f∂?∂xi x b(x?) x i=a(x?)f∂? ∂xidxi?dx? IPP x b(x?) a(x?)∂f ∂xi?dxidx?=?∂f∂xi,??

Siun? u, et??D(Ω),

?∂αun,??= (-1)|α|?un,∂α?? →(-1)|α|?u,∂α??=?∂αu,??

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CHAPITRE 2. ESPACES DE SOBOLEV ET DISTRIBUTIONS

Exemple 2.2Fonction de Heaviside :H(x) = 0 six <0 et 1 six >0 (distribution carL∞). La dérivée au sens des distributions deHestδ0. En effet, si??D(Ω), ?H?,??=-?H,???=-?

0??(x)dx=?(0) =?δ0,??

2.2 L"espace de SobolevH1(Ω)

2.2.1 Définition et structure

Définition 2.6

Soit Ω un ouvert deRn. On dit queu?H1(Ω) ssiu?L2(Ω) et pour touti??1,n?,∂u ∂xi?L2(Ω) au sens des distributions.

On considère surH1(Ω) le produit scalaire :

(u,v) =? uv+n? i=1?

Ω∂u

∂xi∂v∂xidx et la norme ?u?=???? ?u?22+n? i=1????? ∂u∂xi?????22

Théorème 2.1

C"est un espace de Hilbert.

Démonstration.Il suffit de montrer la complétude. Soitunune suite de Cau- chy dansH1.

Alorsunest de Cauchy dansL2et∂un

∂xiaussi pour toutidoncun→u dansL2. De même, pour touti, il existevitel que∂un ∂xi→vidansL2.

Il reste à montrer quevi=∂u

∂xi. On aura alors ?un-u?2H=?un-u?22+n? i=1????? ∂u n ∂xi-vi?????22→0 Or on sait queun→udansL2donc dansD?(Ω) et idem pour les dérivées. Par continuité de la dérivation des distributions, ∂un ∂xi?∂u∂xi, d"oùvi= ∂u ∂xi.

2.2.2 Le casH1(Rn)

Soitu?L1(Rn). On pose

u(ξ) =1 (2π)n2? e -ixξu(x)dx

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2.2. L"ESPACE DE SOBOLEVH1(Ω)

Siu?L1∩L2alorsu?L∞∩L2et??u?2=?u?2. Ceci permet de prolonger la définition de ?udepuisL1∩L2surL2entier. uest donc bien définie surL2.

Définition 2.7

Définition équivalente deH1(Rn)

H

1(Rn) ={u?L2,?j,ξj?u?L2}

Démonstration.On va utiliser que pout tout??D(Rn) etj??1,n?,?∂xj?= iξ j??. NotonsH={u?L2,?j,ξj?u?L2}. H

1?HSoitu?L2telle que∂ju?L2et??D(Rn).

?∂ju,??) = (∂ju,?) =-?u,∂j??=-(?u,?∂j?) =-? u iξj??dξ Comme ?∂ju?L2etD(Rn) est dense dansL2, on peut identifierξj?u avec-i?∂juen tant que fonctionL2doncu?H. H?H1Soitu?L2tel queξj?u?L2. Le même calcul donne ?∂ju,??=i(ξj?u,??) Par auchy-Schwarz,|?∂ju,??|??ξj?u?2????2Donc∂ju?L2doncu?H1. Remarque 2.3 On étend ici toutes les définitions des ditributions à valeurs réelles pour des distributions à valeurs complexes en prenant des formes ses- quilinéaires. Proposition 2.6L"espaceD(Rn) est dense dansH1(Rn). Démonstration.SoitH1c={u?H1,supp(u) compact}. Montrons queH1cest dense dansH1. SoitX?D(Rn) telle queχ(x) = 1 surB(0,1] et nulle surB(0,2[c. Si n?N?, on poseun(x) =X(x n)u(x). On aun→upp. et|un(x)|??X?∞|u(x)|. Par convergence dominée, u n→udansL2.

On a?u?2H1=?u?22+n?

i=1????? ∂u ∂xi?????22. Soiti??1,n?. Pour tout??D(Rn), ∂un ∂xi,?? u n,∂?∂xi? X?xn? u,∂?∂xi? u,X?xn? ∂?∂xi? ?∂u ∂xi,X?xn? +?1n∂X∂xi? xn? u,?? Donc ∂unquotesdbs_dbs12.pdfusesText_18

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