[PDF] Université Lyon 1 Année 2013-2014 Master Mathématiques

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Université Lyon 1 Année 2013-2014

Master Mathématiques Générales1èreannée Analyse appliquée aux équations aux dérivées partielles Feuille 9 - Théorie de Lax-Milgram, formulation variationnelle de problèmes elliptiques, séparation de variables

Trace de fonctions intégrables

Exercice 1.

Montrer qu"il n"y a pas de notion de trace pour des fonctionsL2( ),i.e.qu"il n"existe pas de constanteC >0telle que pour toutv2L2( kvj@ kL2(@ )CkvkL2(

Considérer le cas

=B(0;1)et construire une suite(vn)nde fonctions régulières, telle que8n; vn= 1sur la sphère unité etkvnkL2( )!0.

Théorie de Lax-Milgram

Exercice 2.

SoitVun espace de Hilbert réel, de produit scalaireh;i, de normekk. On considère le problème suivant trouveru2Vtel quea(u;v) =L(v)8v2V:(1)

Les hypothèses faites suraetLsont

(i)Lest une forme linéaire continue surV,i.e.L:V!Rest linéaire et il existeC0 tel que jL(v)j Ckvk 8v2V (ii)aest une forme bilinéaire continue surV,i.e.a:VV!Rest bilinéaire et il existeM0tel que ja(w;v)j Mkwkkvk 8w;v2V (iii)aest coercive,i.e.il existe >0tel que a(v;v)kvk28v2V: Le but de cet exercice est de démontrer le théorème de Lax-Milgram : Théorème.SoitVun espace de Hilbert réel,Lune forme linéaire continue surVet aune forme bilinéaire continue coercive surV. Alors le problème(1)admet une unique solution. De plus, cette solution dépend continûment de la forme linéaireL.

1. Montrer qu"il existef2Vtel queL(v) =hf;vipour toutv2VetkLkV0=kfkV.

2. Montrer que pour toutw2V, il existeA(w)2Vtel quea(w;v) =hA(w);vipour

toutv2V.

3. Montrer queA:V!Vest un opérateur linéaire et continu.

4. Montrer queAest bijectif et d"inverse continu.

5. Conclure.

Exercice 3.

On reprend le cadre de l"énoncé précédent. On suppose de plus queaest symétrique.

On définit l"énergie

J(v) =12

a(v;v)L(v)8v2V: Montrer queuest solution au problème (1) si et seulement siuest un point de minimum de l"énergieJ,i.e.

J(u) = minv2VJ(v):

Formulation variationnelle de problèmes elliptiques

Exercice 4.(Laplacien + Dirichlet)

Soit un ouvert deRnborné et régulier (de classeC1). Soitf2L2( ). On considère le problème suivant,u=f u= 0@ (2)

1. Ecrire la formulation variationnelle du problème (2).

2. Montrer que le problème (2) admet une unique solution faibleudansH10(

)et qu"il existe une constanteC >0indépendante deftelle quekukH1CkfkL2.

3. Montrer que siu2H2(

), alorsuest solution du problème initial au sens où u=fpresque partout dans u= 0presque partout sur@ (3)

4. Montrer que (3) est encore vrai sans l"hypothèse suppplémentaireu2H2(

Exercice 5.(Une variante du Laplacien + Dirichlet) Soit un ouvert deRnrégulier (non nécessairement borné). Soitf2L2( ). On considère le problème suivant, u+u=f u= 0@ (4) Reprendre les questions de l"exercice 4 dans ce cadre.

Exercice 6.(Une variante du Laplacien + Neumann)

Soit un ouvert deRnrégulier (non nécessairement borné). Soitf2L2( ),g2 L 2(@ ). On considère le problème suivant, u+u=f @u@n =g @ (5) 2 Reprendre les questions de l"exercice 4 dans ce cadre. Exercice 7.(Laplacien + Neumann : un problème de compatibilité) Soit un ouvert deRnborné, régulier et connexe. Soitf2L2( ),g2L2(@ ). On considère le problème suivant,u=f @u@n =g @ (6)

1. Y-a-t-il unicité d"une solution au problème (6)?

2. Montrer que s"il existe une solutionu2H2(

)au problème (6) alors Z f(x)dx+Z g(x)d(x) = 0:(7)

3. Ecrire la formulation variationnelle du problème (6). Pour cela on introduira l"espace

V=fv2H1(

)jZ v(x)dx= 0g:

4. Montrer que le problème (6) admet une solution faibleudansH1(

), unique à l"addition d"une constante près. On pourra utiliser l"inégalité de Poincaré-Wirtinger : si est borné et connexe, il existeC >0tel que pour toutv2H1( vZ v

L2CkrvkL2:(8)

5. Montrer queuest bien solution du problème aux limites initial.

6. Démontrer l"inégalité de Poincaré-Wirtinger.On raisonnera par l"absurde.

Exercice 8.(Un cas non symétrique : équation de convection-diffusion) Soit un ouvert deRnborné et régulier. Soitf2L2( ). On considère le problème suivant u+b ru=f u= 0@ (9) où le champ de vecteursb: !Rnest de classeC1, borné sur et à divergence nulle : divb(x) = 08x2 Reprendre les questions de l"exercice 4 dans ce cadre.

Exercice 9.(Coefficients variables)

Soit un ouvert deRnborné et régulier. Soitf2L2( ). On considère le problème suivant div(A(x)ru) =f u= 0@ (10) oùA: ! Mn(R)est mesurable et 3 -uniformément coercive: il existe >0tel que pour presque toutx2

82Rn; A(x)jj2;

-uniformément bornée: il existe >0tel que pour presque toutx2

82Rn;jA(x)j jj:

Reprendre les questions de l"exercice 4 dans ce cadre.

Exercice 10.(Un problème perturbé)

Soit un ouvert deRnborné et régulier. Soitf2L2( ). On considère le problème suivant pour tout"2]0;1[,"u"+u"=f u "= 0@ (11)

1. Montrer que le problème (11) admet une unique solution faibleu"dansH10(

)et que pour tout",ku"kL2 kfkL2.

2. Montrer que la suite(u")converge faiblement dansL2(

)versf.

3. Montrer que la suite(u")converge fortement dansL2(

)versf.

4. On suppose de plus quef2H10(

). En utilisant le fait queu"est le minimiseur d"une fonctionnelle que l"on précisera, montrer que pour tout",kru"kL2 krfkL2.

5. Montrer que(u")converge fortement dansH10(

)versf.

Séparation de variables

Dans les exercices 11 et 13, on s"intéresse à l"équation de la chaleur sur un ouvert de R nborné :8< tu(t;x)xu(t;x) =f(t;x)t >0; x2 u(t;x) = 0t0; x2@ u(0;x) =U0(x)x2 (12)

Exercice 11.(Un cas particulier)

On suppose icin= 1et

=]0;1[.

1.Solutions à variables séparées.On s"intéresse d"abord au problème

@tu(t;x)xu(t;x) = 0t >0; x2 u(t;x) = 0t0; x2@ (13) On cherche une solution sous la formeu(t;x) =v(t)'(x). (a) Ecrire les équations satisfaites parvet'. (b) Déterminer les solutions possibles.

2.Principe de superposition.

(a) Résoudre formellement le problème de Cauchy (12) avecf= 0.On écrira la solution sous la forme d"une série. 4 (b) Etudier le casfquelconque.

Exercice 12.(Convergences de séries)

On note(j)j1et(ej)j1les valeurs propres et fonctions propres de l"opérateur() avec condition de Dirichlet sur telles que définies en cours. SoitIun intervalle deR,(cj)j1une suite de réels. Soit(uj)j1une suite de fontions dansC(I;C)telle que pour toutj1, toutt2I,juj(t)j cj. On pose, pour toutt2I, toutx2 u(t;x) =1X j=1u j(t)ej(x):

1. Montrer que si

P jc2j<1, alorsu2 C(I;L2(

2. Montrer que siP

jjc2j<1, alorsu2 C(I;H10(

3. Montrer que si

P jc 2j j<1, alorsu2 C(I;H1(

Exercice 13.(Cas général)

SoitT >0. Notons

T=]0;T]

, etT= [0;T]@ . On note(j)j1et(ej)j1les valeurs propres et fonctions propres de l"opérateur()avec condition de Dirichlet telles que définies en cours.

On supposeU02H1(

)etf2L2(

T). On pose

u(t;x) =+1X j=1 a jejt+Z t 0 ej(ts)fj(s)ds e j(x) oùaj=U0(ej)etfj(t) =hf(t;);ejiL2(

1. Montrer queu2 C(]0;T];H10(

2. Montrer queu2 C([0;T];H1(

))etu(0;) =U0.

3. Pour toutj1, on noteuj(t;x) =

a jejt+Rt

0ej(ts)fj(s)ds

e j(x). Montrer queLuj(t;x) =fj(t)ej(x)dansD0( T).

4. Montrer queLu=fdansD0(

T).

5. Montrer qu"il existe une unique solutionuà (12) telle queLu=fdansD0(

T), u2 C(]0;T];H10( ))etlim t!0+u(t;) =U0dansH1(

Exercice 14.(Equation des ondes)

On considère l"équation des ondes suivante

8>><

2ttu(t;x)xu(t;x) = 0t >0; x2

u(t;x) = 0t0; x2@ u(0;x) =U0(x)x2 tu(0;x) =U1(x)x2 (14) Reprendre le cadre et la méthode de l"exercice 11 pour obtenir la forme de la solution. 5quotesdbs_dbs12.pdfusesText_18

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