[PDF] Notes de cours sur la méthode des éléments finis

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Notes de cours

sur la methode des elements nis

M1 MAI

Eric Blayo

Janvier 2010

ii

Table des matieres

1 Outils d'analyse fonctionnelle 1

1.1 Quelques rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Normes et produits scalaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.2 Suites de Cauchy - espaces complets . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Espaces fonctionnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Notion de derivee generalisee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3.1 Fonctions tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3.2 Derivee generalisee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4 Espaces de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4.1 Les espacesHm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4.2 Trace d'une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4.3 EspaceH10(

) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Introduction a la methode des elements nis 9

2.1 Formulation variationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.1 Exemple 1-D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.2 Exemple 2-D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.1.3 Formulation generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2 Existence et unicite de la solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.1 Continuite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.2 Theoreme de Lax-Milgram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.3 Retour a l'exemple 1-D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2.4 Remarque: condition inf-sup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3 EDP elliptiques d'ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.4 Approximation interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.4.1 Principe general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.4.2 Interpretation deuh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.4.3 Estimation d'erreur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.5 Principe general de la methode des elements nis . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.6 Retour a l'exemple 1-D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3 Elements nis de Lagrange 20

3.1 Unisolvance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.2 Element ni de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.3 Exemples d'elements nis de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

iii

3.3.1 Espaces de polyn^omes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.3.2 Exemples 1-D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.3.3 Exemples 2-D triangulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.3.4 Exemples 2-D rectangulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.3.5 Exemples 3-D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.4 Famille ane d'elements nis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.5 Du probleme global aux elements locaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4 Elements nis d'Hermite 27

4.1 Classe d'un element ni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.2 Elements nis d'Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.2.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.2.2 Lien avec les elements nis de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.2.3 Fonctions de base globales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.3.1 Exemples 1-D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.3.2 Exemples 2-D triangulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.3.3 Exemple 2-D rectangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5 Convergence de la methode des elements nis 31

5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5.2 Calcul de majoration d'erreur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5.2.1 Etape 1: majoration par l'erreur d'interpolation . . . . . . . . . . . . 32

5.2.2 Etape 2: Decomposition sur les elements . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5.2.3 Etape 3: Passage a l'element de reference . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5.2.4 Etape 4: Majoration sur l'element de reference . . . . . . . . . . . . . 34

5.2.5 Etape 5: Assemblage des majorations locales . . . . . . . . . . . . . . 34

5.2.6 Resultat nal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5.3 Quelques commentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

6 Quelques aspects pratiques de la methode des elements nis 37

6.1 Maillage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

6.2 Assemblage de la matrice du systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

6.3 Formules de quadrature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

6.3.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

6.3.2 Quadrature en 1-D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

6.3.3 Quadrature en 2-D triangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

6.4 Domaines a frontiere courbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

A Coordonnees barycentriques 42

B Calcul d'integrales 45

B.1 Formules de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 B.2 Changement de variable dans une integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 iv

Chapitre 1

Outils d'analyse fonctionnelle

1.1 Quelques rappels

1.1.1 Normes et produits scalaires

SoitEun espace vectoriel.

Denition:k:k:E!IR+est unenormesurEssi elle verie:

(N1)(kxk= 0) =)(x= 0) (N2)82IR;8x2E;kxk=jj kxk (N3)8x;y2E;kx+yk kxk+kyk(inegalite triangulaire) Exemple:PourE= IRnetx= (x1;:::;xn)2IRn, on denit les normes kxk1=n X i=1jxij kxk2= nX i=1x2i! 1=2 kxk1= sup ijxij Denition:On appelleproduit scalairesurEtoute forme bilineaire symetrique denie positive. < :;: >:EE!IR est donc un produit scalaire surEssi il verie: (S1)8x;y2E; < x;y >=< y;x > (S2)8x1;x2;y2E; < x1+x2;y >=< x1;y >+< x2;y > (S3)8x;y2E;82IR; < x;y >= < x;y > (S4)8x2E;x6= 0; < x;x > >0 A partir d'un produit scalaire, on peut denir unenorme induite:kxk=p< x;x > On a alors, d'apres (N3), l'inegalite de Cauchy-Schwarz:j< x;y >j kxk kyk Exemple:PourE= IRn, on denit le produit scalaire< x;y >=n X i=1x iyi. Sa norme induite estk:k2denie precedemment. Un espace vectoriel muni d'une norme est appeleespace norme. 1 Un espace vectoriel muni d'un produit scalaire est appeleespace prehilbertien. En parti- culier, c'est donc un espace norme pour la norme induite.

1.1.2 Suites de Cauchy - espaces complets

Denition:SoitEun espace vectoriel et (xn)nune suite deE. (xn)nest unesuite de

Cauchyssi8" >0;9N=8p > N;8q > N;kxpxqk< "

Toute suite convergente est de Cauchy. La reciproque est fausse. Denition:Un espace vectoriel estcompletssi toute suite de Cauchy y est convergente. Denition:Un espace norme complet est unespace de Banach. Denition:Un espace prehilbertien complet est unespace de Hilbert. Denition:Un espace de Hilbert de dimension nie est appeleespace euclidien.

1.2 Espaces fonctionnels

Denition:Unespace fonctionnelest un espace vectoriel dont les elements sont des fonctions. Exemple:Cp([a;b]) designe l'espace des fonctions denies sur l'intervalle [a;b], dont toutes les derivees jusqu'a l'ordrepexistent et sont continues sur [a;b]. Dans la suite, les fonctions seront denies sur un sous-ensemble de IR n(le plus souvent un ouvert note ), a valeurs dans IR ou IR p. Exemple:La temperatureT(x;y;z;t) en tout point d'un objet

IR3est une fonction de

IR!IR.

Les normes usuelles les plus simples sur les espaces fonctionnels sont lesnormes Lpdenies par: kukLp= Z jujp1=p; p2[1;+1[;etkukL1= Sup juj Comme on va le voir, ces formesLpne sont pas necessairement des normes. Et lorsqu'elles le sont, les espaces fonctionnels munis de ces normes ne sont pas necessairement des espaces de Banach. Par exemple, les formesL1etL1sont bien des normes sur l'espaceC0([a;b]), et cet espace est complet si on le munit de la normeL1, mais ne l'est pas si on le munit de la normeL1.

Pour cette raison, on va denir les espacesLp(

) (p2[1;+1[) par L p( u: !IR;mesurable, et telle queZ jujp<1 2 ( on rappelle qu'une fonctionuest mesurable ssifx=ju(x)j< rgest mesurable8r >0. )

Sur ces espacesLp(

), les formesLpne sont pas des normes. En eet,kukLp= 0 implique queuest nulle presque partout dansLp( ), et non pasu= 0. C'est pourquoi on va denir lesespaces Lp(

Denition:Lp(

) est la classe d'equivalence des fonctions deLp( ) pour la relation d'equivalence \egalite presque partout". Autrement dit, on confondra deux fonctions des lors qu'elles sont egales presque partout, c'est a dire qu'elles ne dierent que sur un en- semble de mesure nulle.

Theoreme:La formeLpest une norme surLp(

), etLp( ) muni de la normeLpest un espace de Banach (c.a.d. est complet). Un cas particulier tres important estp= 2. On obtient alors l'espace fonctionnelL2( c'est a dire l'espace des fonctions de carre sommable sur (a la relation d'equivalence \egalite presque partout" pres). A la normeL2:kukL2= (R u2)1=2, on peut associer la forme bi- lineaire (u;v)L2=R uv. Il s'agit d'un produit scalaire, dont derive la normeL2. D'ou:

Theoreme:L2(

) est un espace de Hilbert.

1.3 Notion de derivee generalisee

Nous venons de denir des espaces fonctionnels complets, ce qui sera un bon cadre pour demontrer l'existence et l'unicite de solutions d'equations aux derivees partielles, comme on le verra plus loin notamment avec le theoreme de Lax-Milgram. Toutefois, on a vu que les elements de ces espacesLpne sont pas necessairement des fonctions tres regulieres. Des lors, les derivees partielles de telles fonctions ne sont pas forcement denies partout. Pour s'aranchir de ce probleme, on va etendre la notion de derivation. Le veritable outil a introduire pour cela est la notion dedistribution, due a L. Schwartz (1950). Par manque de temps dans ce cours, on se contentera ici d'en donner une idee tres simpliee, avec la notion dederivee generalisee. Cette derniere a des proprietes beaucoup plus limitees que les distributions, mais permet de \sentir" les aspects necessaires pour mener a la formulation variationnelle.

Dans la suite,

sera un ouvert (pas necessairement borne) de IR n.

1.3.1 Fonctions tests

Denition:Soit':

!IR. On appellesupport de'l'adherence defx2 ='(x)6= 0g.

Exemple:Pour

=]1;1[, et'la fonction constante egale a 1, Supp'= [1;1].

Denition:On noteD(

) l'espace des fonctions de vers IR, de classeC1, et a support 3 compact inclus dans .D( ) est parfois appeleespace des fonctions-tests. Exemple:L'exemple le plus classique dans le cas 1-D est la fonction '(x) =(e11x2sijxj<1

0 sijxj 1(1.1)

'est une fonction deD(]a;b[) pour tousa <1<1< b. Cet exemple s'etend aisement au cas multi-dimensionnel (n >1). Soita2 etr >0 tel que la boule fermee de centreaet de rayonrsoit incluse dans . On pose alors: '(x) =( e1r

2jxaj2sijxaj< r

0 sinon(1.2)

'ainsi denie est element deD(

Theoreme:D(

) =L2(

1.3.2 Derivee generalisee

Soitu2 C1(

) et'2 D( ). Par integration par parties (cfannexe B.1), on a: Z @iu '=Z u @i'+Z u 'ei:n

Ce dernier terme (integrale sur le bord de

) est nul car'est a support compact (donc nul sur@ ). OrR u @i'a un sens par exemple des queu2L2( ). Donc le termeR @iu ' a aussi du sens, sans queune soit necessairement de classeC1. Ceci permet de denir@iu m^eme dans ce cas. Denition:(cas 1-D) SoitIun intervalle de IR, pas forcement borne. On dit queu2L2(I) admet unederivee generaliseedansL2(I) ssi9u12L2(I) telle que8'2 D(I);R Iu1'= R Iu'0 Exemple:SoitI=]a;b[ un intervalle borne, etcun point deI. On considere une fonction uformee de deux branches de classeC1, l'une sur ]a;c[, l'autre sur ]c;b[, et se raccordant de facon continue mais non derivable enc. Alorsuadmet une derivee generalisee denie par u

1(x) =u0(x)8x6=c. En eet:

8'2 D(]a;b[)Z

b au'0=Z c a+Z b c=Z c au0'Z b cu0'+ (u(c)u(c+))|{z} =0'(c) par integration par parties. La valeuru1(c) n'a pas d'importance: on a de toute facon au nal la m^eme fonction deL2(I), puisqu'elle est denie comme classe d'equivalence de la relation d'equivalence \egalite presque partout". Denition:En iterant, on dit queuadmet unederivee generalisee d'ordre kdans 4 L

2(I), noteeuk, ssi8'2 D(I);Z

I uk'= (1)kZ I u'(k) Ces denitions s'etendent naturellement pour la denition de derivees partielles generalisees, dans le casn >1. Theoreme:Quand elle existe, la derivee generalisee est unique.

Theoreme:Quanduest de classeC1(

), la derivee generalisee est egale a la derivee clas- sique.

1.4 Espaces de Sobolev

1.4.1 Les espacesHm

Denition:H1(

) =nu2L2( )= @iu2L2( );1inoou@iuest denie au sens de la derivee generalisee.H1( ) est appeleespace de Sobolev d'ordre 1.

Denition:Pour tout entierm1,

H m( ) =nu2L2( )= @u2L2( )8= (1;:::;n)2INntel quejj=1++nmo H m( ) est appeleespace de Sobolev d'ordre m.

Par extension, on voit aussi queH0(

) =L2( Dans le cas de la dimension 1, on ecrit plus simplement pourIouvert de IR: H m(I) =nu2L2(I)= u0;:::;u(m)2L2(I)o

Theoreme:H1(

) est un espace de Hilbert pour le produit scalaire (u;v)1=Z uv+n X i=1Z @iu @iv= (u;v)0+n X i=1(@iu;@iv)0 en notant (:;:)0le produit scalaireL2. On noterak:k1la norme associee a (:;:)1. On denit de m^eme un produit scalaire et une norme surHm( ) par (u;v)m=X jjm(@u;@v)0etkukm= (u;u)1=2m

Theoreme:Hm(

) muni du produit scalaire (:;:)mest un espace de Hilbert.

Theoreme:Si

est un ouvert de IRnde frontiere@ \susamment reguliere" (par exemple 5 C

1), on a l'inclusion:Hm(

) Ck( ) pourk < mn2 Exemples:En particulier, on voit que pour un intervalleIde IR, on aH1(I) C0(I), c'est a dire que, en 1-D, toute fonctionH1est continue.

L'exemple deu(x) =xsin1x

pourx2]0;1] etu(0) = 0 montre que la reciproque est fausse. L'exemple deu(x;y) =jln(x2+y2)jkpour 0< k <1=2 montre qu'en dimension superieure a 1 il existe des fonctionsH1discontinues.

1.4.2 Trace d'une fonction

Pour pouvoir faire les integrations par parties qui seront utiles par exemple pour la formulation variationnelle, il faut pouvoir denir le prolongement (la trace) d'une fonction sur le bord de l'ouvert Sin= 1 (cas 1-D): on considere un intervalle ouvertI=]a;b[ borne. On a vu queH1(I) C

0(I). Donc, pouru2H1(I),uest continue sur [a;b], etu(a) etu(b) sont bien denies.

Sin >1: on n'a plusH1(

) C0( ). Comment alors denir la trace? La demarche est la suivante:

On denit l'espace

C 1( ) =n': !IR=9Oouvert contenant ;9 2 C1(O); j ='o

Autrement dit,C1(

) est l'espace des fonctionsC1sur , prolongeables par continuite sur@ et dont le gradient est lui-aussi prolongeable par continuite. Il n'y a donc pas de probleme pour denir la trace de telles fonctions.

On montre que, si

est un ouvert borne de frontiere@ \assez reguliere", alorsC1( est dense dansH1( L'application lineaire continue, qui a toute fonctionudeC1( ) associe sa trace sur@ se prolonge alors en une application lineaire continue deH1( ) dansL2(@ ), notee 0, qu'on appelleapplication trace. On dit que

0(u) est la trace deusur@

Pour une fonctionudeH1(

) qui soit en m^eme temps continue sur , on a evidemment

0(u) =uj@

. C'est pourquoi on note souvent par abus simplementuj@ plut^ot que 0(u).

On peut de facon analogue denir

1, application trace qui permet de prolonger la denition

usuelle de la derivee normale sur@ . Pouru2H2( ), on a@iu2H1( ),8i= 1;:::;n, et on peut donc denir

0(@iu). La frontiere@

etant \assez reguliere" (par exemple, idealement, de classeC1), on peut denir la normalen=0 B B@n 1... n n1 C

CAen tout point de@

. On pose alors

1(u) =nX

i=1

0(@iu)ni. Cette application continue

1deH2(

) dansL2(@ ) permet donc bien de prolonger la denition usuelle de la derivee normale. Dans le cas ouuest une fonction deH2( ) qui soit en m^eme temps dansC1( ), la derivee normale au sens usuel deuexiste, 6 et

1(u) lui est evidemment egal. C'est pourquoi on note souvent, par abus,@nuplut^ot que

1(u).

1.4.3 Espace H

10(

Denition:Soit

ouvert de IRn. L'espaceH10( ) est deni comme l'adherence deD( pour la normek:k1deH1( ). (on rappelle queD( ) est l'espace des fonctionsC1sur a support compact, encore appele espace des fonctions tests)

Theoreme:Par constructionH10(

) est un espace complet. C'est un espace de Hilbert pour la normek:k1 Sin= 1 (cas 1-D): on considere un intervalle ouvertI=]a;b[ borne. Alors H

10(]a;b[) =nu2H1(]a;b[); u(a) =u(b) = 0o

Sin >1: Si

est un ouvert borne de frontiere\assez reguliere" (par exempleC1par mor- ceaux), alorsH10( ) = ker 0. H 10( ) est donc le sous-espace des fonctions deH1( ) de trace nulle sur la frontiere@

Denition:Pour toute fonctionudeH1(

), on peut denir: juj1= nX i=1k@iuk20! 1=2 Z n X i=1(@iu)2dx! 1=2

Theoreme: (Inegalite de Poincare)Si

est borne dans au moins une direction, alors il existe une constanteC( ) telle que8u2H10( );kuk0C( )juj1.

On en deduit quej:j1est une norme surH10(

), equivalente a la normek:k1. Corollaire:Le resultat precedent s'etend au cas ou l'on a une condition de Dirichlet nulle seulement sur une partie de@ , si est connexe.

On suppose que

est un ouvert borne connexe, de frontiereC1par morceaux. SoitV= fv2H1( );v= 0 sur 0gou 0est une partie de@ de mesure non-nulle. Alors il existe une constanteC( ) telle que8u2V;kuk0;VC( )juj1;V, ouk:k0;Vetj:j1;Vdesignent les norme et semi-norme induites surV. On en deduit quej:j1;Vest une norme surV, equivalente a la normek:k1;V.

Complements

1. Montrer que les fonctions denies par (1.1) et (1.2) sont bienC1a support compact.

7

2. Montrer queC0([a;b]) est un espace complet pour la normeL1.

3. Montrer que ce n'est pas le cas pour la normeL1(exhiber une suite de Cauchy non convergente

dansC0([a;b])).

4. Demontrer que, lorsqu'elle existe, la derivee generalisee est unique.

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