Factorisation : exercices
Factorisation : exercices. 1. Mets en évidence dans les expressions Factorise au maximum en utilisant la méthode d'Horner : (x3?x2?5 x+6):(x?2)=.
Chapitre n°5 : Corrigé - Les polynômes – 2ème partie -
a) Factorise par Horner le polynôme : 2x3 – 7x2 + 8x – 4 = (2x2 – 3x + 2) (x – 2) b) Factorise par la méthode somme et produit le polynôme : x2 + x – 12.
horner.pdf - Schéma de Hörner
1 Le schéma de Hörner pour le calcul de valeurs. 1.1 Un exemple construit selon la méthode décrite ci-dessous : ... factorisation de P(x) par (x ? a).
Factorisation de polynômes de degré 3
On peut donc le factoriser par (x ? 1) ainsi
Bonjour à vous toutes et tous. Jespère que tout se passe toujours
La méthode pratique de division d'un polynôme par un polynôme est basée sur celle de la division 2) Factorise en utilisant la méthode de Horner.
4. Polynômes
Le schéma de Horner utilise un tableau pour calculer P(r) où P est un polynôme. Sa force est que
ALGEBRE : la factorisation
5) essayer Horner (méthode des diviseurs binômes). Notions préparatoires : voir fiche autocorrective « factorisation » dans « site privé ».
I Méthode Horner
Sorties : Q qui est égal à P(x) sous la forme d'un polynôme de Horner fois le programme que nous avons crée calculer g(?2) en déduire une factorisation.
Synthèse mathématiques 3è année générale
Factoriser correspond à transformer une somme (différence) en un produit de On utilise Horner quand aucune des 3 autres méthodes ne fonctionnent !
La factorisation.
La factorisation permet de résoudre de nombreux problèmes comme la résolution des équations 4) Méthode de Horner : (Equation du troisième degré et plus).
multivar horner: a python package for computing Horner
the Horner factorisation is more compact in the sense that it requires less mathematical operations in order to evaluate the polynomial (cf g 4) Consequently evaluating a multivariate polynomial in Horner factorisation is faster and numerically more stable[5]{[7] (cf g 2) These advantages come at the cost of an initial computational e ort
Horner’s Method for Evaluating and De?ating Polynomials
Horner’s methods are important for evaluation and de?ation therefore for factoring For many high degree polynomial factoring schemes[2] it is important to use stable evalu-ation and de?ation and to de?ate in an order that maximizes the conditioning of the quotient
What is Horner's method?
Abstract Horner’s method is a standard minimum arithmetic method for evaluating and de?ating polynomials. It can also e?ciently evaluate various order derivatives of a polynomial, therefore is often used as part of Newton’s method.
What is Horner's rule?
In mathematics, the term Horner's rule (or Horner's method, Horner's scheme etc) refers to a polynomial evaluation method named after William George Horner expressed by. This allows evaluation of a polynomial of degree n with only n {displaystyle n} multiplications and n {displaystyle n} additions.
What is Ruffini Horner's method?
The latter is also known as Ruffini–Horner's method. These methods are named after the British mathematician William George Horner, although they were known before him by Paolo Ruffini , six hundred years earlier, by the Chinese mathematician Qin Jiushao and seven hundred years earlier, by the Persian mathematician Sharaf al-D?n al-??s?.
![ALGEBRE : la factorisation ALGEBRE : la factorisation](https://pdfprof.com/Listes/18/4042-184-E-fact.pdf.pdf.jpg)
©A.Vanlook
4-E-fact
- 1 -ALGEBRE : la factorisation
EExxeerrcciicceess rrééccaappiittuullaattiiffss ((nniivveeaauu 44èèmmee))Ce que je dois savoir pour bien factoriser !!!
J'établis mon raisonnement selon les étapes suivantes :1) y a -t-il des facteurs communs ?
si oui, je fais une mise en évidence y a-t-il des parenthèses " qui se ressemblent ? » : des opposées si oui, je les rends identiques (bien regarder si les exposants sont pairs ou impairs) et puis je fais une mise en évidence2) peut-être y a-t-il des produits remarquables
2 termes a² - b² = (a - b) (a + b)
a³ - b³ = (a - b) (a² + ab + b²) a³ + b³ = (a + b) (a² - ab + b²)3 termes a² + 2ab + b² = (a + b)²
a² - 2ab + b² = (a - b)²4 termes a³ + 3a²b +3ab² + b³ = (a + b)³
a³ - 3a²b + 3ab² - b³ = (a - b)³3) peut-on effectuer des groupements pour ensuite, faire une mise en
évidence
4) polynôme du 2ème degré : méthode delta
5) essayer Horner (méthode des diviseurs binômes)
Notions préparatoires :
voir fiche autocorrective " factorisation » dans " site privé »Exercices : voir pages suivantes de ce fichier
©A.Vanlook
4-E-fact
- 2 -5²4
16²9
25²3
6²121³8
13²14³23
8)³1(125
)²13(169)²52(121 )²3()1³()3()1²( )1)³(5(7)1()5(7 5 4464 xx xx xx xxx xxx x xx xxxxxx xxxxx
Solutions de la première série
Mise en évidence ( ! signes)
7(x - 5)³ (x - 1) (x² - 5x - 1)
Mise en évidence ( ! signes)
X² (x - 1)4 (3 -x)² (x4 - 8x³ +22 x² - 25x + 9)Produit remarquable a² - b²
(61x + 42) (- 17x + 68)Produit remarquable a³ + b³
(5x - 3) (25x² - 60x +39)Grille de Horner ( ! compléter le polynôme)
(x - 1) (3x4 + 3x³ + x² - 13x - 13) Produit remarquable a³ + 3a²b + 3ab² + b³ (2x + 1)³Méthode delta
(3x - 1)(x + 2) Méthode delta ou produit remarquable a² - 2ab + b² (3x - 1)²Méthode delta
delta < 0 d'où pas de factorisationPremière série
©A.Vanlook
4-E-fact
- 3 - )³3()1³()3()1²(513²6
6²121³8
13²14³23
1²69
)13()²52(645²3
)1()5²(7)1()5²(88)³1(125
455 4 6 54
xxxxxx xx xxx xxx xx xx xx xxxxxx x
Solutions de la deuxième série
Produit remarquable a³ - b³
(5x + 3) ( 25x² + 60x + 39)Mise en évidence ( ! signes)
x²(5 - x)4 (x - 1) (7x - 27)Méthode delta
delta < 0 d'où pas de factorisationProduit remarquable a² - b²
(27x³ - 27x² + 25x - 41) (-27x³ + 27x² + 7x - 39) Méthode delta ou produit remarquable a² + 2ab + b² (3x² + 1)²Grille de Horner ( ! compléter le polynôme)
(x - 1) (-3x4 - 3x³ - x² + 13x + 13) Produit remarquable a³ - 3a²b + 3ab² - b³ (2x - 1)³Méthode delta
(3x - 1) (2x + 5)Mise en évidence ( ! signes)
x² (x - 1)4 (x - 3) (-x³ + 6x² - 10x + 1)Deuxième série
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4-E-fact
- 4 - EExxeerrcciicceess ssuupppplléémmeennttaaiirreess Fais les exercices sur feuille, compare ensuite avec les solutions ci-dessous. Si tu n'as pas la bonne réponse, regarde les suggestions à la fin de la page et réessaye.Enoncés
1) 4x (x - 3)4 (x - 2) - 3 (3 -x) (2 - x)² =
2) 100 (1 - 2x)² - 81 x² =
3) 8x³ - 50x + 12 x² - 75 =
4) x³ - 9x² + 27x - 27 =
5) 2x³ - 9x² + 3x + 4 =
6) 27x6 + 8 =
Solutions
1) (x - 3) (x - 2) (4x4 - 36 x³ + 108 x² - 105 x - 6)
2) (10 - 11x) (10 - 29x)
3) (2x - 5) (2x+ 5) (2x + 3)
4) (x - 3)³
5) (x - 1) (2x + 1) (x - 4)
6) (3x² + 2) (9x4 - 6x² + 4)
Suggestions
1) attention aux signes !
(x - 3)4 = (3 - x)4 ; (2 - x)² = (x - 2)² ; (x - 2) = - (2 - x) ; (3 - x) = - (x - 3) après mise en évidence, calcule correctement le produit remarquable (a - b)³2) applique a² - b²
3) groupe les termes par 2 et fais une mise en évidence. Ensuite, tu as aussi a² - b²
4) c'est (a - b)³
5) applique Horner puis méthode delta
6) c'est a³ + b³
©A.Vanlook
4-E-fact
- 5 -Encore des exercices récapitulatifs !
Enoncés
1) 5a 4b6c - 4ab³c
4 + 8a²bc =
2) (1 + x)
6 - 3x(x + 1)
4 =3) 3(x² - 3)(x - 5) + 3x² (5 - x) =
4) 3x (x - 4)
5 (2x - 5)
5 + 5 (4 - x)
4 (5 - 2x)
7 =5) (x - 1) (x² + 10x + 25) + (1 - x) (x - 7)² =
6) 25(x - 1)² - 16 (3x - 4)² =
7) 4x (5x + 7)² - x³ (x² - 6x + 9) =
8) 8(x -1)³-1 =
9) 82712520
350xxx³²
10) -x³ - x² - 7x + 9 =
11) 8x² + 37x - 15 =
12) 12x² + 25x - 7 =
13) 3x² + 5x +7 =
14) -4x² + 20x - 25 =
15) 6x³ - x² - 11x + 6 =
Réponses
1) abc (5a³b5 - 4b²c³ + 8a)
2) (x + 1)4 (x² - x + 1)
3) -9 (x - 5) = -9x + 45
4) (x - 4)4 (2x - 5)5 (-17x² + 88x - 125)
5) (x - 1) (24x - 24) = 24 (x - 1)²
6) (-7x + 11) (17x - 21)
©A.Vanlook
4-E-fact
- 6 -7) x( (x² + 7x + 14) (-x² + 13x + 14)
8) (2x - 3) (4x² - 6x + 3)
9) )³53
2(x10) (x - 1)(-x² - 2x - 9)
11) )5)(38()5)(8
3(8xxxx
12) )73)(14()3
7)(41(12xxxx
13) pas factorisable
14) -(2x - 5)²
15) )32)(23)(1()2
3)(32(6)1()65²6)(1(xxxxxxxxx
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