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Analyse Semiclassique, Resonances et Contr^ole de l'equation de Schrodinger

Thierry Ramond

Mathematiques, Universite Paris Sud, (UMR CNRS 8628), France mail: thierry.ramond@math.u-psud.fr

Juin 2005

Table des matieres

1 Introduction 5

1.1 Elements de mecanique quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1 Mecanique classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.2 Mecanique quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 L'oscillateur harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.1 Valeurs propres de l'oscillateur harmonique . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.2 Approximation harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3 Diusion quantique et resonances en dimension 1 . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.3.1 Solutions de Jost et Matrice de diusion . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.3.2 Dilatation analytique et resonances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.3.3 Quelques exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.4 Elements de theorie spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.4.1 Operateurs non-bornes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.4.2 Spectre et resolvante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.4.3 Le theoreme spectral pour les operateurs autoadjoints . . . . . . . . 30

1.4.4 Perturbation d'operateurs autoadjoints . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2 Analyse semiclassique 37

2.1 Transformation de F.B.I. et Microsupport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.1.1 Denition et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.1.2 Proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1

2.1.3 Microsupport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.2 Calculh-pseudodierentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.2.1 Operateurs deSdansS0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.2.2 Calcul symbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.2.3 Operateursh-pseudodierentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.3 Estimations microlocales a poids exponentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.3.1 Enonce et preuve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.3.2 Quelques applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.4 Microsupport des solutions d'EDP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.4.1 Ensemble caracteristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.4.2 Le theoreme de propagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3 Resonances quantiques 65

3.1 Plusieurs denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.1.1 Dilatation analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.1.2 Prolongement meromorphe la resolvante . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.1.3 Projecteurs de Riesz et p^oles de la resolvante . . . . . . . . . . . . . 69

2 L'etude mathematique des resonances quantiques en regime semiclassique a maintenant une vingtaine d'annees, et les techniques developpees ainsi que les resultats obtenus diusent largement dans d'autres domaines des EDP. On propose dans ce cours de passer en revue quelques uns des resultats les plus frappant dans ce domaine, ou la mecanique quantique s'interprete souvent en termes de quantites classiques. On s'appuiera sur l'approche due a A. Martinez de l'arsenal technique semiclassique developpe principalement par B. Heler et J.Sjostrand. Enn, suivant des travaux de N. Burq, on verra que des questions liees au contr^ole de l'equation de Schrodinger peuvent se ramener aux m^emes estimations de resolvante pour l'operateur de Schrodinger semiclassique, que celles vues pour l'etude des resonances. Ces notes de cours ne contiennent pas de materiel original. Pour l'essentiel, elles reposent sur le livre d'Andre Martinez [20], sur celui de Mouez Dimassi et Johannes Sjostrand [6], et sur des articles de W. Hunziker [16], et Nicolas Burq et Maciej Zworski [3]. Pour le resultat sur la zone sans resonance en l'absence de trajectoire capteee, on suit les idees d'une preuve communiquee par Christian Gerard. Enn Jean-Francois Bony a contribue a l'amelioration de ces notes par de nombreuses suggestions. 3

Chapitre 1

Introduction

1.1 Elements de mecanique quantique

1.1.1 Mecanique classique

La trajectoireR3t7!x(t)2Rddans l'espace addimensions, d'une particule ponctuelle de massemsoumise a un champ de forceF(x) qu'on suppose independant du temps pour simplier, est decrite par la loi de Newton (ou Principe Fondamental de la Dynamique) (1.1.1)mx00(t) =F(x(t)): La deriveex0(t) est la vitesse de la particule a l'intantt, etx00(t) son acceleration. De maniere equivalente, l'equation (1.1.1) peut s'ecrire (1.1.2) x

0(t) =1m

0(t);

0(t) =F(x(t));

ou(t) :=mx0(t) est le moment de la particule. La courbe (x(t);(t)) appara^t alors comme courbe integrale du champ de vecteur hamiltonienH:RdRd!RdRddeni par (1.1.3)H(x;) ==m F(x) En raison des lois de transformation sous changement de coordonnees par exemple, il est important de distinguer les variablesxet. On choisit de considererHcomme une fonction surTRdplut^ot que surRdRd, a valeurs dans l'espace des vecteurs tangentsT(TRd) a T Rd. Disons que cette distinction ne prend vraiment son sens que dans le cas ou l'espace dans lequel se deplace la particule est une varieteMplut^ot queRd. 4 Lorsque le champ de force derive d'un potentiel, ieF(x) =rV(x) pour une certaine fonctionV:Rd!Rassez reguliere, l'energie de la particule, denie comme somme de son energie cinetique et de son energie potentielle, (1.1.4)p(t) =12m(t)2+V(x(t)); est constante le long de la trajectoiret7!exp(tH)(x;) : (1.1.5)@tp(t) =1m (t)@t(t) +rV(x(t))@tx(t) = 0; en utilisant (1.1.2).

On note aussi que le champ hamiltonienHs'obtient a partir de la fonctionp: (x;)7!12m2+V(x), et l'on ecritH=Hp:

(1.1.6)H(x;) =Hp(x;) =@p(x;)@x@xp(x;)@:

1.1.2 Mecanique quantique

Plusieurs experiences physiques ont conduit a des resultats que la mecanique classique ne pouvait pas expliquer, et qui semblaient m^eme contradictoires entre eux. En particulier, l'etude du rayonnement du corps noir, puis la mise en evidence de l'eet photoelectrique, semblaient suggerer que la lumiere etait constituee de particles individualisees, d'energie bien determinee auxquelles on donna le nom de quanta. D'un autre c^ote l'experience des fentes de Young, montrait que la lumiere avait un comportement d'onde, susceptible d'en- gendrer des gures de type franges d'interferences. E. Schrodinger, en raisonnant par analogie avec l'optique, proposa un modele qui permet de prevoir avec une precision extraordinaire les resultats des experiences precedentes, et qui, de ce fait, s'est impose dans le monde de la physique des particules.

Onde plane et equation de Schrodinger

On appelle onde plane de vecteur d'ondeket de pulsation!la fonction (1.1.7)(t;x) =ei(kx!t): On note que, atxe,(t;x) est constante sur tout (hyper-) plan perpendiculaire ak, et l'on dit que l'onde plane se propage dans la direction dek. Supposant que cette onde plane decrit une particule quantique d'impulsion, le seul choix raisonnable est de poser=kpour une certaine constante reelle. Niels Bohr proposa (1.1.8)=h!=~; 5 ou= 2!est la frequence de l'onde plane, et~=h=2, et ce choix s'est revele judicieux. On note aussiE=h=~!l'energie de la particule, et avec ces notations, l'onde plane (1.1.7) s'ecrit (1.1.9)(t;x) =ei(xEt)=~ Mais l'energie cinetiqueEcde la particule doit ^etreEc=22m, et l'on voit que (1.1.10)Ec(t;x) =~22m(t;x); =dX j=1@ 2j: Si la particule est placee dans un potentielV(x), son energie totaleEest la somme de Vet de son energie cinetique. Notant que, par (1.1.9),E(t;x) =~i @t(t;x), on obtient l'equation de Schrodinger; (1.1.11) ~i @t(t;x) =~22m(t;x) +V(x)(t;x): On voit appara^tre dans cette equation l'operateur de Schrodinger : (1.1.12)P(x;hDx) =h22m +V(x): Il s'agit d'un operateur aux derivees partielles que l'on peut obtenir en remplacant formel- lementparhDx=hi @xdans l'energie classiquep(x;). Schrodinger postule alors que les particules quantiques sont associees aux solutions(t;x) de l'equation de Schrodinger, qui verient la condition de normalisation, pour chaquetxe, (1.1.13)k(t;:)kL2=Z j(t;x)j2dx= 1: La fonction(t;x) est appelee fonction d'onde de la particule, et la quantitej(t;x)j2peut alors ^etre interpretee comme la densite de probabilite de presence de la particule. En d'autres termes, (1.1.14)k1 (x)(t;:)kL2(Rd)= (Z 1 (x)j(t;x)j2dx)1=2 est la probabilite de presence de la particule dans la region

Rda l'instantt. Il faut

noter que l'onde plane (1.1.9) n'est pas dansL2(Rd), mais que toute fonction deL2(Rd) s'ecrit comme superposition d'ondes planes (on parle de paquet d'ondes) (t;x) =1(2~)d=2Z ()ei(xEt)=~d 6 (outest xe) : c'est le theoreme de Fourier-Plancherel. En particulier on peut considerer l'onde plane comme "limite" d'un paquet d'onde gaussien : (1.1.15)g(t;x) =Z e ix=~eitE=~e()2=2~d: On est tout de suite confronte au probleme suivant : l'equation de Schrodinger (1.1.11) n'a pas de sens immediat pour une fonction(t;:) deL2(Rd). On peut toujours considerer queP(x;hDx)(t;:) est une distribution, mais l'egalite (1.1.11) pose la question de savoir siP(x;hDx)(t;:) est une fonction deL2(Rd). C'est Von Neumann qui a mis au point au debut des annees 1930 les notions mathematiques permettant de repondre correctement a ces questions : la theorie spectrale des operateurs non-bornes (d'ailleurs la theorie des distributions de Laurent Schwartz est posterieure). Puisque le potentielVest independant det, il est raisonnable de chercher des solutions de (1.1.11) a variables separeestetx, c'est- a-dire sous la forme(t;x) =a(t)u(x). On obtient pour une certaine constanteE2C, (1.1.16)a(t) =eiEt;etP(x;hDx)u(x) =Eu(x); L'equation pouruappara^t comme une equation aux valeurs propres pour l'operateurP. Cette equation est appelee equation de Schrodinger stationnaire, et c'est notre principal sujet d'etude dans ce cours. Notons enn que les energies possibles d'une particule quan- tique en regime stationnaire sont les valeurs propres de l'operateur non-bornePsurL2(Rd). Lorsque l'ensemble des valeurs propres est un ensemble discret, on obtient un quantica- tion des niveaux d'energie compatible avec les experiences mettant en evidence l'aspect corpusculaire des particules quantiques.

Observables et Principe d'Incertitude

On a ete conduit a associer a la fonction energiep(x;) de la mecanique classique un operateurP(x;hDx), qu'on designe sous le nom d'observable energie quantique. De maniere generale, on veut pouvoir associer une telle observable quantique a toute fonction raison- nable de (x;). C'est procede est appele quantication, (ne pas confondre avec la quanti- cation des niveaux d'energies evoquee plus haut), et on detaillera ce point dans le chapitre consacre au calcul pseudodierentiel. Il n'y a cependant pas une maniere unique de proceder, la raison etant essentiellement que les observables quantiques associees aq(x;) =xet p(x;) =ne commutent pas. Nous allons voir que de ce fait decoule d'ailleurs le celebre principe d'incertitude de Heisenberg. L'obervable quantique associee a la fonction positionqj(x;) =xjest simplement l'opera- teurXjde multiplication parxj(il faudrait preciser son domaine : pouru2L2,xjun'est pas toujours dansL2). La position moyenne de la particule dans l'etat(t;x) est denie 7 par (1.1.17)hXji=hxj(t;x);(t;x)iL2=Z x jj(t;x)j2dx: C'est la moyenne de la fonctionqjpour la mesurej(t;x)j2dx. Conformement a ce que l'on lit pour l'onde plane (1.1.7), l'observable quantique associee a la fonction impulsionpj(x;) =jest l'operateur j=~i @j(encore une fois, attention au domaine). L'impulsion moyenne s'ecrit d'ailleurs hji=h~i @j(t;x);(t;x)iL2=Z~i @j(t;x)(t;x)dx Z F ~(~i @j(t;:))()F ~((t;:))()d =hjF~(t;:);F~(t;:)i;(1.1.18) ouF~est la transformation de Fourier semiclassique denie dansS0(Rd) par (1.1.19)F~u() =1(2h)d=2Z e ix=~u(x)dx;F1 ~v(x) =1(2h)d=2Z e ix=~v()d On a utilse la formule de Parseval, et la relation (1.1.20)F~(~i @ju) =jF~(u)(): Un calcul simple montre que le commutateur [Xj;j] =XjjjXjdes observables quantiques de position et d'impulsion est l'operateuri~I, ouIest l'identite deL2(Rd) : (1.1.21) [Xj;j] =i~I: Une formulation possible du principe d'incertitude est le resultat suivant : Lemme 1.1.1SoitA1etA2deux observables quantiques (i.e. deux operateurs autoad- joints). Soitu2L2aveckukL2= 1, et pourj= 1;2,j= (hA2jiu(hAjiu)2)1=2l'ecart-type de l'observableAjdans l'etatu. Si[A1;A2] =i~Ion a 12~2 =h4 Preuve:On peut supposer quehAjiu= 0 en considerant les observables~Aj=AjhAjiuI.

On a alors

2122=kA1uk2kA2uk2 jhA1u;A2uij2:

8

PuisqueA1est autoadjoint, on a

hA1u;A2ui=hu;A1A2ui 12 hu;(A1A2+A2A1)ui+12 hu;(A1A2A2A1)ui 12 hu;(A1A2+A2A1)ui+i~2 De plus (A1A2+A2A1) est symetrique, donc le premier terme du membre de droite est reel, et nalement

2122 jhA1u;A2uij2=14

hu;(A1A2+A2A1)ui2+~24 ~24 :L'inegalite ci-dessus s'applique aux operateursXjet jde position et d'impulsion : on verra plus loin qu'il s'agit bien d'operateurs autoadjoints. Pour ces operateurs, on utilisera le principe d'incertitude plut^ot sous la forme suivante (plus mathematique disons). Pour u2L2(Rd) on a (1.1.22) ~2 kuk2L2 kxjuk k~Djuk: L'inegalite (1.1.22) s'obtient d'ailleurs directement en calculantkxju+~@juk2pour2R, et en remarquant que ce trin^ome du second degre ena un signe constant. Le r^ole principal est encore joue par la relation [Xj;j] =i~I. Signalons enn une autre ecriture possible de (1.1.22), plus proche de celle donnee par le Lemme 1.1.1 : pour (x0;0)2RdRd, ecrivant (1.1.20) pour la fonctionv(x) =ei0xu(x+x0) et en utilisant le fait que la transformee de Fourier semiclassique est une isometrie deL2(Rd), on a (1.1.23) ~2 kuk2L2 k(xx0)juk k(0)jFhuk: References pour cette section :[18], [21], [4], [20], [23]...

1.2 L'oscillateur harmonique

Avec le laplacien (V= 0), l'operateur de Schrodinger le plus simple et le plus celebre est l'oscillateur harmonique. Il s'agit de l'operateurPosc(x;hD) = (hD)2+V(x), ou (1.2.1)V(x) =dX j=1 jx2javecj>0 pour toutj= 1:::d: Il sert souvent de modele qualitatif mais aussi quantitatif dans des situations plus delicates. On rappelle d'abord rapidement quelques resultats tres faciles sur le spectre dePoscqui font partie de la bo^te a outils semiclassique (cf. [11],...). 9

1.2.1 Valeurs propres de l'oscillateur harmonique

On met de c^ote pour l'instant la question du domaine de l'operateurPoscsurL2(Rd), et l'on commence par chercher ses valeurs propres, i.e. lesE2Rpour lesquels Ker(PoscE)6=f0g dansL2. On procede par separation des variables : etant donnee la forme particuliere du potentiel, on peut chercher des solutions de l'equationPu=Euqui sont a variables separees, i.e. qui s'ecriventu(x1;x2;:::xd) =u1(x1)u2(x2):::ud(xd). On obtient un systeme diagonal d'equations dierentielles pour lesuj: (1.2.2)h2@2juj+jx2juj=Ejuj; ou lesEjdoivent avoir pour sommeE. On considere dans un premier temps chacune de ces equations separement, ou encore l'equation (1.2.3)Ph;u=Eu; Ph;=h2@2x+x2:

Le changement de variabley(x) =1=4xp~

transforme d'ailleurs cette equation en (1.2.4)v00(y) +y2v(y) =E~ p v(y); ouv(y) =u(x). On etudie donc l'operateur dierentielQsurRdeni par (1.2.5)Q(x;hD) =D2+x2; et l'equation aux valeurs propres associee : (1.2.6)Qu=Eu: On peut bien s^ur resoudre cette equation avec des methodes elementaires : c'est l'objet de l'Exercice 1.2.2 ci-dessous. Nous allons utiliser plut^ot les deux remarques suivantes : Pouru2 C10(R), on ahQu;ui 2Ret m^emehQu;ui kuk2L2. En eet en integrant par parties, on obtient (1.2.7)hQu;ui=Z (D2+x2)u(x)u(x)dx=kDuk2+kxuk22kDuk kxuk kuk2; ou la derniere inegalite n'est autre que le principe d'incertitude. Au passage on note que hQu;ui=hu;Quipouru2 C10(R) : on dit queQest un operateur symetrique. En utilisant la densite deC10(R) dansL2, on en deduit que siu2L2(R) est solution de (1.2.6) aveckuk= 1, on a necessairementE2[1;+1[. Notons que cette propriete n'est vraie que pour les elementsudeL2qui s'ecrivent comme limite de suites (un) deC10(R) 10 telles queQun!QudansL2(voir plus loin la discussion sur le domaine de l'operateur non-bornePosc).

On peut ecrireQ=L+L+ 1, et m^emeQ=12

(L+L+LL+), ouL+etLsont les operateurs de creation et d'annihilation respectivement : (1.2.8)L+=@x+x; L=@x+x: La premiere relation s'obtient facilement, et la deuxieme est liee encore une fois au principe d'incertitude a travers (1.1.21) : 12 (LL+L+L) = 1. Remarquons aussi queL= (L+), et que de ce faith;L+Li=kLk20. On retrouve donc l'inegalitehQu;ui kuk2. Supposons maintenant queuE2L2soit un vecteur propre normalise (kuEkL2= 1) de l'operateurL+Lpour la valeur propreE0, i.e.L+LuE=EuE. On a alors (1.2.9)ELuE=L(L+L)uE= (LL+)LuE= (L+L+ 2)LuE; ce qui montre queLuEest un vecteur propre deL+Lpour la valeur propreE2, sauf siLuE= 0. On a d'ailleurskLuEk2=huE;L+LuEi=E. Au total,L+Lne peut pas avoir de valeur propre qui n'est pas un entier pair, sinon (L)nuEserait pournassez grand une fonction propre correspondant a une valeur propre negative. On peut renverser l'argument : l'equationLu0= 0 admet une unique solution dansL2, qui est (1.2.10)u0(x) =1=4ex2=2: Du coupu0est un vecteur propre deL+Lpour la valeur propre 0. Ensuite ~u2=L+u0est un vecteur propre associe a la valeur propre 2, dont la norme verie k~u2k2=hL+u0;L+u0i=hu0;LL+u0i=hu0;(L+L+ 2)u0i= 2: On obtient donc un vecteur propre normalise en posantu2(x) =1p2

L+u0. Par recurrence,

on conclut que l'ensemble des valeurs propres deL+Lest 2N, et que la fonction propre normalisee associee aE= 2nest u n=1p2n(2n2)(2n4):::2(L+)nu0=12 n=2pn!1=4(L+)n(ex2=2): Finalement, puisqueQ=L+L+1, le spectre ponctuel (i.e. l'ensemble des valeurs propres)quotesdbs_dbs20.pdfusesText_26

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