[PDF] Cours 5ème Surfaces et Aires Surfaces des figures de base :

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Cours de Mr JULES v3.8 Classe de Cinquième Contrat 9 Page 1 sur 18

NOM et prénom 6ème

SURFACES ET AIRES

" Ô Mathématiques sévères, je ne vous ai pas oubliées, depuis que vos savantes leçons, plus douces que le miel, filtrèrent dans mon

» Lautréamont1.

I. ème). ___________________________________________________________2 II. : définitions. _______________________________________5 III. Périmètres et Aires de 6 figures de base. ______________________________________________6 IV. Calcu ___________________________________________13

V. Pour préparer le test et le contrôle. ____________________________________________________18

Pré-requis pour prendre un bon départ :

Aires : définitions, unités.

Surfaces des figures de base : carré, rectangle, triangle rectangle : méthode par addition. : méthode par soustraction.

1 Lautréamont (1846 1870) les chants de Maldoror » en 1868 à 22 ans, un des sommets du

rréalistes 50 ans plus tard. Cours de Mr JULES v3.8 Classe de Cinquième Contrat 9 Page 2 sur 18

Introduction :

Dans la vie quotidienne, on est parfois confronté aux situations suivantes : Combien de dalles lumineuses me faut-il pour paver le dance floor du salon ? Combien de m² de mousse insonorisante faudra-t-il pour recouvrir les murs du salon ? Ces 2 situations de la vie courante exigent de savoir mesurer une surface. définir une unité, si possible " simple ». Après coup, mesurer une surface reviendra à savoir combien de fois " on peut mettre

Dit autrement, mesurer une surface reviendra à comparer la surface en question avec la surface unité (" surface de base »).

I. (RAPPELS 6EME).

A. : de choisir une unité simple et pratique ! s maison, terrains, etc.).

Evidemment, quoi de plus simple que de prendre comme unité longueur de côté ! Cette unité

est parfaitement adaptée à notre environnement géométrique " rectangulaire » (meubles, bâtiments, villes etc.).

1m

1m 1 m2 (lire " 1 mètre carré »).

Définitions : Mesures (U.S.I) est le " m² ».

Trois remarques :

à la mesure de certaines surfaces.

plus petites (les sous-multiples) dérivées du m². des multiples du m² ..

Que représente 1 km² ? Par définition, c

Que mesure-t-on habituellement en km²

des sous-multiples du m² Dessiner 1 mm² : Que peut-on mesurer en mm² " plus exotiques » utilisées :

soit par conservatisme dans un pays : exemple le mile² dans cette île où on roule à gauche alors que le monde entier2

roule à droite ! : hectare (ha), are (a) qui sont des unités agraires. chercher s) Ce cours a la même structure que le cours de 6ème sur les mesures (contrat 5). (dimension 3).

En particulier, les méthodes par addition ou par soustraction pour des calculs de périmètres complexes vont être pratiquement

identiques pour les calculs de surfaces complexes (ou de volumes complexes).

2 Pas tout à fait ! En Nouvelle Zélande ou au Pays du

1m²

Cours de Mr JULES v3.8 Classe de Cinquième Contrat 9 Page 3 sur 18 On B. :

1. En utilisant le tableau de conversion des aires :

Attention ! Le tableau de conversion des aires est un tableau infini à 2ble colonnes, car dimension

Que signifient les lettres " d » et " u » dans le tableau ? u A quoi correspondent les unités " ha » et " a » dans le tableau ? km2 hm2 = ha dam2 = a m2 (U.S.I) dm2 cm2 mm2 d u d u d u d u d u d u d u Exercice Ne jamais mettre de virgules dans un tableau de conversion !

0,5 km² = 5 000 ......... 25 m² = ......................... cm²

50,5 a =

2. En décalant la virgule (multiplications ou divisions par 10, 100 etc.) :

à droite (ex : m2 vers dm2), on

doit multiplier décaler la virgule de

à gauche (ex : m2

vers dam2), on doit diviser

Attention :

Ldoubles colonnes pour les aires

et non de simples colonnes comme pour les longueurs ! impair ! Cours de Mr JULES v3.8 Classe de Cinquième Contrat 9 Page 4 sur 18 Application 1 : Compléter le tableau suivant sans regarder le tableau de conversion des aires : Convertir des Cela revient à décaler la Exemples : km² en hm² virgule 2 crans vers la droite. 30,5 km² = 3 050 hm² dm² en cm² .. mm² en cm² cm² en m² 34 km² en m² virgule 2 crans à gauche. 5 .. en m² virgule 6 crans à droite. . = m² Application 2 : Compléter directement les conversions suivantes sans utiliser le tableau :

1,8 km2 =

6 200 cm2 =

20 000 m² = 2

659 000 cm²

C. Additionner ou soustraire des aires entre elles :

Le calcul suivant est-il juste ? 2 km² + 1 hm² = (2 + 1) km² = 3 km² ...................

Pourquoi ?

Refaire le calcul, juste cette fois-ci

Attention :

il faut que ces aires soient toutes converties dans !

Méthode : A = 2 m² + 3 cm² + 1 dm² Ce ne sont pas les mêmes unités !

A = 20 000 cm² + 3 cm² + 100 cm² On a converti des unités présentes. A = 20 103 cm² (= 201,03 dm² = 2,010 3 m²)

Dans notre exemple, on pourrait tout convertir en m² ou en dm² mais cela fait apparaître des virgules !

Application : Calculer en colonnes :

Y = 7 hm² 0,04 km²

O = 2 cm² + 350 mm²

P = 0,06 dam² + 10 m² 1 500 dm²

P = 1 m²

Cours de Mr JULES v3.8 Classe de Cinquième Contrat 9 Page 5 sur 18

II. : DEFINITIONS.

A. Définition du périmètre fermée : rappels 6ème. Le périmètre longueur de la frontière qui délimite cette figure fermée. Le périmètre est donc toujours un nombre positif !

Notation : P (figure ABCD).

Unité de longueur :

Application : Calculer le périmètre de ce quadrilatère NAZE :

P (NAZE)

= 2

B. figure fermée : rappels 6ème.

été choisie au préalable (avant).

nombre positif ! Notation : fermée ABCD se note : A (figure ABCD). A Attention à ne pas confondre Périmètre et Aire !

Application :

1. Sur la figure ci-contre, repasser en rouge ce qui correspond au périmètre.

Hachurer de bords à bords en violet ce qui correspond à

2. -elle facile à trouver ?

Pourquoi ?

3. Dessiner une bananoïde3. Puis matérialiser le périmètre en rouge et violet.

figures simples c-à-d géométriques. 3 4 N A 2 Z 3 E 5 Cours de Mr JULES v3.8 Classe de Cinquième Contrat 9 Page 6 sur 18 K N U P K N U F E V U C 3 ? 3 L U O C 1 ?

III. PERIMETRES ET AIRES DE 6 FIGURES DE BASE.

Attention : Dans ces formules, toutes les longueurs doivent être exprimées dans la même unité !

A. : formules (6ème).

Méthode

croquis lisible et complet !

On applique rigoureusement :

P (Carré CUVE) = 4 CU

= 4 3 = 12 cm

Le périmètre du carré CUVE est de 12 cm.

A (Carré CUVE) = CU CE

= 3 3 = 9 cm² (et non 9 cm ou 6 cm² !)

Application rigoureuse de la méthode

P ( A (

B. : formules (6ème).

Méthode et de largeur 1 m.

Comm croquis lisible et complet !

On applique rigoureusement :

P (Rectangle COUL) = 2 CO + 2 CL

= (2 3) + (2 1) = 6 + 2 = 8 m

Le périmètre du rectangle COUL est de 8 m.

A (Rectangle COUL) = CO CL

= 3 1 = 3 m² (et non 6 m ou 5 m² !)

3 m².

P = ...... (ici, avec les points de la figure) A ( = PU PK (ici, avec les points de la figure) = PU PU PU PU2 » et se lit " PU au carré ». P

A (Rectangle) = Longueur largeur

(ici, avec les points de la figure) Cours de Mr JULES v3.8 Classe de Cinquième Contrat 9 Page 7 sur 18 hauteur base

Application longueur 8 m et de largeur 4 m.

P ( A ( C. Périmètre et Aire dun Parallélogramme :

1. Hauteur dans un parallélogramme :

Définitions :

On appelle " hauteur » e un segment qui matérialise lécart entre 2 côtés pa

2 " base » relative à cette hauteur.

un parallélogramme possède 2 paires de côtés parallèles, couples (base ; hauteur) : (base ; hauteur ) et (base ; hauteur ) Exemple : Sur cette figure sont matérialisés les 2 couples base-hauteur. On remarque que parallélogramme " fin », 2 hauteurs se retrouve à . Application : Pour chaque parallélogramme, repasser en rouge un 1er couple (base ; hauteur). en bleu un 2ème couple (base ; hauteur).

2. Périmètre et : formules.

aire du parallélogramme ABCD ci-dessous est la même

Remarques : Comme le parallélogramme peut se voir comme un rectangle " penché », la formule du

Attention, la formule de " petit côté gd côté » !

P grands côtés petits côtés

A (Parallélogramme) = base hauteur

(ici, avec les pts de la figure) base hauteur A D B C E F Cours de Mr JULES v3.8 Classe de Cinquième Contrat 9 Page 8 sur 18 pied de la hauteur H base hauteur A C B 3 B O U C 5 2 Méthode grand côté 5 km, de hauteur correspondante 4 km, et de petit côté 3 km. Comm croquis lisible et complet en faisant apparaître le couple (base ; hauteur) !

On applique rigoureusement :

P (Parallélogramme BOUC) = 2 CU + 2 UO

= (2 5) + (2 3) = 10 + 6 = 16 km

Le périmètre du prlgm BOUC est de 16 km.

A (Parallélogramme BOUC)

= base CU hauteur = 5 2 = 10 km² (et non 10 km ou 7 km² !)

Application : Périmètre puis Aire du parallélogramme OURS de grand côté 8 m, de petit côté 4 m et de

hauteur 3 m relative au côté [OU]. P ( A (

D. Aire :

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