[PDF] Modèles GARCH et à volatilité stochastique - Université de Montréal





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Modèles GARCH et à volatilité stochastique - Université de Montréal

12 mars 2007 Bruit blanc orthogonal à toute fonction linéaire du passé. E(?tZt?1)=0 ?Zt?1 ? HX(t ? 1). Laboratoire de statistique du CRM. Modèles GARCH ...



Économétrie non-linéaire - Chapitre 4: Modèles GARCH

?0. 1 ? ?1. Gilles de Truchis Elena Dumitrescu. Économétrie non-linéaire. 36/91. Page 37. Faits Stylises. ARCH. GARCH. Tests. Conclusions. Références. Modèles 



GARCH(11) models

1 Introduction. 2. 2 Stationarity. 4. 3 A central limit theorem. 9. 4 Parameter estimation. 18. 5 Tests. 22. 6 Variants of the GARCH(11) model.



Modèle GARCH Application à la prévision de la volatilité

Décembre 2007. 1. Modèle GARCH. Application à la prévision de la volatilité. Olivier Roustant. Ecole des Mines de St-Etienne. 3A - Finance Quantitative 



LE CARACTÈRE PRÉVISIONNEL DU MODÈLE GARCH (11)

à confirmer est de vérifier si la prévision de la volatilité à l'aide d'un modèle GARCH. (11) fournit les plus petites erreurs statistiques de prévisions 



Properties and Estimation of GARCH(11) Model

We investigate the sampling behavior of the quasi-maximum likelihood estimator of the Gaussian GARCH(11) model. A bounded conditional fourth moment of the.



Forecasting accuracy for ARCH models and GARCH (11) family

Forecasting accuracy for ARCH models and GARCH (11) family. –. Which model does best capture the volatility of the Swedish stock market? Åsa Grek. 890727. Page 



A forecast comparison of volatility models: does anything beat a

30 mars 2005 by White (2000) to benchmark the 330 volatility models to the GARCH(11) of Bollerslev (1986). These tests have the advantage that they ...



The log-periodic-AR(1)-GARCH(11) model for financial crashes

GARCH(11) model has residuals with better statistical properties and (ii) the estimation of the parameter concerning the time of the financial crash has 



Bayesian Estimation of the GARCH(11) Model with Student-t

Abstract. This note presents the R package. bayesGARCH which provides functions for the. Bayesian estimation of the parsimonious and ef- fective GARCH(11) 



GARCH(11) models - University of California Berkeley

In this thesis GARCH(11)-models for the analysis of nancial time series are investigated Firstsu cient and necessary conditions will be given for the process to have a stationary solution Then asymptotic results for relevant estimators will be derived and used to develop parametrictests



GARCH 101: An Introduction to the Use of ARCH/GARCH - NYU

The ARCH and GARCH models which stand for autoregressive conditional heteroskedasticity and generalized autoregressive conditional heteroskedasticity are designed to deal with just this set of issues They have become widespread tools for dealing with time series heteroskedastic models



Why does the Standard GARCH(11) model work well? - arXivorg

idea that GARCH(11) model works well PACS numbers: 05 45 Tp 89 90 n+ 02 50 Ga Keywords: Time series analysis GARCH processes Markov process INTRODUCTION The ARCH model [1] and standard GARCH model [2] are now not only widely used in the Foreign Exchange (FX) liter-ature [3] but also as the basic framework for empirical stud-



Properties and Estimation of GARCH(11) Model - uni-ljsi

GARCH(11) process exist and conclude that GARCH processes are heavy-tailed We investigate the sampling behavior of the quasi-maximum likelihood estimator of the Gaussian GARCH(11) model A bounded conditional fourth moment of the rescaled variable (the ratio of the disturbance to the conditional standard deviation) is suf?cient for the result



Lecture 5a: ARCH Models - Miami University

GARCH(11) Process • It is not uncommon that p needs to be very big in order to capture all the serial correlation in r2 t • The generalized ARCH or GARCH model is a parsimonious alternative to an ARCH(p) model It is given by ?2 t = ? + ?r2 t 1 + ?? 2 t 1 (14) where the ARCH term is r2 t 1 and the GARCH term is ? 2 t 1



Stationarity and Persistence in the GARCH(11) Model - JSTOR

GARCH(1 1) MODEL DANIEL B NELSON University of Chicago This paper establishes necessary and sufficient conditions for the stationarity and ergodicity of the GARCH(11) process As a special case it is shown that the IGARCH(1 1) process with no drift converges almost surely to zero while



ARMA(11)-GARCH(11) Estimation and forecast using rugarch 12-2

Introduction First we specify a model ARMA(11)-GARCH(11) that we want to estimate Secondly we touch upon the matter of ?xing certain parameters of the model Thirdly we get som data to estimate the model on and estimate the model onthe data After having estimated the model we inspect the created R-objectfrom the ?tting of the model



A comparison of volatility models: Does anything beat a GARCH

An ARCH(1) model and a GARCH(11) model The tests for data snooping clearly point to better models in the ?rst case but the GARCH(11) is not signi?cantly outperformed in the data sets we consider Although the analysis in one of the data sets does point to the existence of a better model than the GARCH(11) when using the

Is the Arch(1) model better than the GARCH(1,1) model?

  • Interestingly, the best models do not provide a signi?cantly better forecast than the GARCH(1,1) model. This result is estab- lished by the tests for superior predictive ability of White (2000) and Hansen (2001). If an ARCH(1) model is selected as the benchmark, it is clearly outperformed.

What is the difference between GARCH(1, 1) and IGARCH(1,1)?

  • GARCH(1, 1) model is covariance stationary, strictly stationary, and ergodic, in the IGARCH(1, 1) model it is not covariance stationary, but is still strictly stationary and ergodic, distinguishing it from the random walk with drift case. Hong (1987) provides intuition that some of the maximum likelihood estimators

What is the general form of the earch(1) model?

  • The general form of the EARCH(1) model is It can also be shown that the conditions for stationarity, unlike the GARCH(1,1) model, are thesame for both wide-sense (almost sure) and covariance stationarity. A necessary and sucientcondition for this is <1.

Which model replaces GARCH specication?

  • The most general model replaces the GARCH specication with matrix-valuedcoecients as well as a log-returns vector Xt and a vectorized volatility matrixt (that is, suchthat 2 is the conditional covariance of Xt). This is known as the Vec model. However, this canbe very dicult to work with, as necessary and sucient conditions to ensure that 2

Stationnarité, innovations, modèles ARMA

Propriétés des séries financières

Modèles GARCH : propriétés probabilistes

Modèles GARCH et à volatilité stochastique

Université de Montréal

12 mars 2007Jean-Michel ZAKOIAN

Université Lille 3 & CREST

Chapitre 1: Séries financières et modèles GARCH Laboratoire de statistique du CRMModèles GARCH et à volatilité stochastique

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Propriétés des séries financières

Modèles GARCH : propriétés probabilistes

Engle (1982) :

"Autoregressive Conditional Heteroskedasticity with Estimates of the Variance of U.K. Inflation,"Econometrica, 50, 987-1008.GeneralizedARCH

Bollerslev (1986) :

"Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity,"

Journal of Econometrics, 31, 309-328.Laboratoire de statistique du CRMModèles GARCH et à volatilité stochastique

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Modèles GARCH : propriétés probabilistes

Outline

1Stationnarité, innovations, modèles ARMA

2Propriétés des séries financières

3Modèles GARCH : propriétés probabilistes

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1Stationnarité, innovations, modèles ARMA

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Modèles stationnaires

Une série(Xt)eststationnairesi ses propriétés probabilistes sont les mêmes que celles de la série(Xt+h), pour tout entierh.Définition (Xt)eststationnaire au sens strictsi (X1,X2,...,Xk)a même loi que(X1+h,X2+h,...,Xk+h)

pour touthet toutk≥1.Laboratoire de statistique du CRMModèles GARCH et à volatilité stochastique

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Stationnarité au second ordre

Définition

Soit(Xt)telle queEX2t<∞.La fonctionmoyenne de(Xt)est

X(t) =E(Xt)

La fonctioncovariance de(Xt)est

X(r,s) =Cov(Xr,Xs)Définition

(Xt)eststationnaire(au second-ordre) si (i)μX(t)est indépendante det, et

(ii)γX(t,t+h)est indépendante det, pour touth.Laboratoire de statistique du CRMModèles GARCH et à volatilité stochastique

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Fonctions d"autocovariance et d"autocorrélation

Définition

Soit(Xt)une série stationnaire. La fonctiond"autocovariance de (Xt)est définie par

X(h) =Cov(Xt,Xt+h), h= 0,±1,±2,...

La fonctiond"autocorrélation de(Xt)est définie par

X(h) =γX(h)γ

X(0)=Cor(Xt,Xt+h), h= 0,±1,±2,...Remarque :Fonctions paires

X(h) =γX(-h), ρX(h) =ρX(-h).Laboratoire de statistique du CRMModèles GARCH et à volatilité stochastique

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Bruit blanc

Définition

Un bruit blanc est une suite(?t)de variables centrées, de variance constante et non corrélées :

E(?t) = 0,Var(?t) =σ2,Cov(?t,?t?) = 0, t?=t?Notation :(?t)≂BB(0,σ2).Fonction d"autocovariance :

?(h) =?σ2, h= 0

0, h?= 0.

On parle debruit blanc fortsi les?tsont centrées, de variance finie, identiquement distribuées et indépendantes. Les bruits blancs jouent un rôle important pour la construction de modèles plus sophistiqués. Laboratoire de statistique du CRMModèles GARCH et à volatilité stochastique

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Autocorrélations empiriques

En pratique on observex1,...xn:

réalisation partielle d"une série(Xt)supposéestationnaire. Pour étudier la dépendance, en vue de la sélection d"un modèle, un outil important est la fonction d"autocorrélation empirique.Définition

La moyenne empirique dex1,...xnestx=1n

n t=1xt.

La fonctiond"autocovariance empiriqueest

ˆγ(h) =1n

n t=1(xt+|h|-x)(xt-x),|h|< n.

La fonctiond"autocorrélation empiriqueest

ˆρ(h) =ˆγ(h)ˆγ(0),|h|< n.Laboratoire de statistique du CRMModèles GARCH et à volatilité stochastique

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On montre que pour unBB fort, lesˆρ(h)sont approximativement distribuées comme uneN(0,1/n)pourngrand. Donc, pour un BB fort, environ 95%desˆρ(h)doivent tomber entre les bornes±1.96/⎷n.24681012 -0.06 -0.04 -0.02 0.02 0.04

0.06Autocorrélations empiriques d"un bruit blanc fort, pour n=5000.

En pointillés les bornes de significativité :±1.96/⎷n Laboratoire de statistique du CRMModèles GARCH et à volatilité stochastique

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Prévisions théoriques

2 concepts :

Espérance conditionnelle :

E(Xt|Xt-1,Xt-2,...)

Meilleure approximation deXtcomme fonction de son passé.Espérance conditionnelle linéaire :

EL(Xt|Xt-1,Xt-2,...)

Meilleure approximation deXtcomme fonctionlinéairede son passé.On noteX t-1le passé deXtetH

X(t-1)le passé linéaire deXt.Laboratoire de statistique du CRMModèles GARCH et à volatilité stochastique

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Innovations

2 concepts :

Innovation forte :

t=Xt-E(Xt|Xt-1,Xt-2,...) Bruit blanc (siE?2t=σ2) "orthogonal" à toute fonction du passé deXt

E(?tZt-1) = 0,?Zt-1?Xt-1.

Innovation linéaire :

t=Xt-EL(Xt|Xt-1,Xt-2,...) Bruit blanc orthogonal à toute fonction linéaire du passé

E(?tZt-1) = 0,?Zt-1? HX(t-1).Laboratoire de statistique du CRMModèles GARCH et à volatilité stochastique

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Quelques propriétés de l"espérance conditionnelle Yune variable telle queE(Y)existe.E[E(Y|Xt-1)] =E(Y).siY?Xt-1, E(Y Z|Xt-1) =Y E(Z|Xt-1).siYest indépendante deXt-1, E(Y|Xt-1) =E(Y).Laboratoire de statistique du CRMModèles GARCH et à volatilité stochastique

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Conséquence : l"innovation forte est un peu plus qu"un bruit On remarque que les passés deXet?coïncident :?t-1=Xt-1.

D"où, pourl"innovation forte

E(?t|?t-1) = 0.

On distingue plusieurs types de bruits (siE?t= 0etE?2t=σ2) :Bruit faible: suite de variables non corrélées.

Bruit semi-fort:E(?t|?t-1) = 0.Bruit fort: suite de variables indépendantes. Laboratoire de statistique du CRMModèles GARCH et à volatilité stochastique

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Modèles ARMA

Les modèles ARMA prennent en compte la structureau second-ordred"une série stationnaire(Xt): espérance, variance, autocorrélations.ARMA(p,q): ?X t-φ1Xt-1- ··· -φpXt-p=?t-ψ1?t-1- ··· -ψq?t-q

(?t)bruit blanc faibleLaboratoire de statistique du CRMModèles GARCH et à volatilité stochastique

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La modélisation des séries financières est un problème complexe :-grande variétédes séries utilisées (prix d"action, taux d"intérêt, taux de change etc.), importance de la fréquence d"observation (seconde, minute, heure, jour, etc), disponibilité d"échantillons de très grande taille. - existence derégularités statistiques('faits stylisés") communes à un très grand nombre de séries financières et difficiles à reproduire artificiellement à partir de modèles stochastiques. Mandelbrot (1963). Laboratoire de statistique du CRMModèles GARCH et à volatilité stochastique

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Faits stylisés : un grand nombre de séries financières

présentent des propriétés similaires(i)Non stationnarité des prixpt.Série quotidienne du prix du CAC 40, 1992-1998.0 400 800 1200

200030004000Laboratoire de statistique du CRMModèles GARCH et à volatilité stochastique

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(ii)Possible stationnarité des rendements. t= log(pt/pt-1)≈pt-pt-1p t-1Série quotidienne du CAC 40 en log des rendements, 1988-1998.0 500 1000 1500 2000 2500

-0.10-0.050.000.05Laboratoire de statistique du CRMModèles GARCH et à volatilité stochastique

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(iii)Regroupement des extrêmes (volatility clustering).Les 500 premières valeurs de l"indice CAC40.-0.06

-0.04 -0.02 0.02

0.04Les 500 premières valeurs du carré de l"indice CAC40.

100200300400500

0.001 0.002 0.003

0.004Laboratoire de statistique du CRMModèles GARCH et à volatilité stochastique

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(iv)Non corrélation des rendements mais autocorrélation des carrés.Corrélogrammes de la série CAC 40 et de son carré. Les traits en pointillé correspondant à±1.96/⎷n2468101214

-0.05 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

2468101214

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

0.3Laboratoire de statistique du CRMModèles GARCH et à volatilité stochastique

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Modèles GARCH : propriétés probabilistesTests Portmanteau pour la série des rendements

To Chi- Pr >

Lag Square DF Khi2 -----------------Auto-corrélations-----------------

6 11.51 6 0.0737 0.030 0.005 -0.032 0.028 -0.046 -0.001

12 16.99 12 0.1499 -0.018 -0.014 0.034 0.016 0.017 0.010

18 21.22 18 0.2685 -0.005 0.025 -0.031 -0.009 -0.003 0.006

24 27.20 24 0.2954 -0.023 0.003 -0.010 0.030 -0.027 -0.015

Tests Portmanteau pour la série des

carrés des rendements

To Chi- Pr >

Lag Square DF Khi2 -----------------Auto-corrélations-----------------

6 165.90 6 <.0001 0.129 0.127 0.117 0.084 0.101 0.074

12 222.93 12 <.0001 0.051 0.060 0.070 0.092 0.058 0.030

18 238.11 18 <.0001 0.053 0.036 0.020 0.041 0.002 0.013

24 240.04 24 <.0001 0.006 0.024 0.013 0.003 0.001 -0.002

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(v)Queues de distribution épaisses. (vi)Asymétrie.Les baisses du cours génèrent plus de volatilité quequotesdbs_dbs21.pdfusesText_27
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