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GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS

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Nom :FONCTIONS 2nde

Exercice 1Soitfla fonction d´efinie sur l"intervalle[2 ; 5]par :f(x) = (x1)2.

1)Donner un tableau de valeurs def.

2)Tracer la courbe repr´esentative def.

3)Quels sont les ant´ec´edents de 4?

4)Montrer quefest d´ecroissante sur l"intervalle[2 ; 1].Illustration

O~ |O(Cf)(Cg)AB

32101234562024681012141618

D. Le Fur1/ 50

Nom :FONCTIONS 2nde

Exercice 21)Repr´esenter dans un mˆeme rep`ere orthonormal la fonction fd´efinie surRparf(x) =x2, la fonction gd´efinie surRparg(x) = 4x.

2)Utiliser ces repr´esentations graphiques pour r´esoudre graphiquement :

a)l"´equationx2= 4x; b)l"in´equationx264x.

3)Retrouver les r´esultats pr´ec´edents par le calcul.Illustration

O~ |O(Cf)(Cg)A

65432101234562024681012141618

D. Le Fur2/ 50

Nom :FONCTIONS 2nde

Exercice 31)Repr´esenter dans un mˆeme rep`ere orthonormal sur l"intervalle[4 ; 3] la fonction fd´efinie surRparf(x) = (x+ 2)2, la fonction gd´efinie surRparg(x) = 5x+ 10.

2)Utiliser ces repr´esentations graphiques pour r´esoudre graphiquement :

a)l"´equation(x+ 2)2= 5x+ 10; b)l"in´equation(x+ 2)265x+ 10.

3)Retrouver les r´esultats pr´ec´edents par le calcul.Illustration

O~ |O(Cf)(Cg)AB 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 12 10 8

64202468101214161820222426

D. Le Fur3/ 50

Nom :FONCTIONS 2nde

Exercice 4On consid

`ere un triangle isoc`eleABCde sommet le pointA. On poseAB=AC= 10etBC=x,x>0.

On noteHle pied de la hauteur issue deA.A

B CH

10 101)Calculer l"aire du triangle lorsquex= 5.

2)Peut-on avoirx= 30? Quelle est la valeur maximale de

3)Exprimer la hauteurAHen fonction dex.

4)On d´esigne parfla fonction qui`a chaque r´eelxde l"en-

semble de d

´efinition du probl`eme associe l"airef(x)du

triangleABC; montrer que f(x) =x4 p400x2

5)Repr´esenter graphiquement cette fonction.

6)D´eterminer, en utilisant votre calculatrice, une valeur

approch

´ee dexpour laquelle la fonction est maximale

et pr ´eciser la valeur approch´ee du maximum.D. Le Fur4/ 50

Nom :FONCTIONS 2nde

Exercice 5O~

|O(Cf)(Cg)21012345678321012345678

On a repr

´esent´e ci-dessus les courbes repr´esentatives de deux fonctionsfetgd´efinies sur[1 ; 7].

´esoudre graphiquement les´equations ou in´equations suivantes en donnant si besoin des valeurs arrondies au dixi`eme :

1)f(x) = 1

2)f(x) =g(x)

3)f(x)> g(x)

4)g(x)0D. Le Fur5/ 50

Nom :FONCTIONS 2nde

Exercice 6On consid

`ere la fonctionf:x7!f(x) =12x9x2.

1)D´eterminer l"ensemble sur lequelf(x)est d´efinie.

2)D´eterminer l"image de32

3)D´eterminer les´eventuels ant´ec´edents de0.

4)D´eterminer les r´eels dont l"image est strictement positive.

5)D´eterminer l"ensemble sur lequel la fonctiong:x7!g(x) =r12x9x2est d´efinie.Illustration

O~ |O(Cf)7654321012345672015105051015202530

D. Le Fur6/ 50

Nom :FONCTIONS 2nde

Exercice 7Soit la fonctionfd´efinie surRparf(x) = (x+ 1)22. 1) a) Calculerf(1). b)Apr`es avoir calcul´ef(x)f(1), comparerf(x)etf(1). c)Interpr´eter ce r´esultat pour la fonctionf.

2)A l"aide de la calculatrice, donner le tableau de variation defsur[5 ; 3].Illustration

D. Le Fur7/ 50

Nom :FONCTIONS 2nde

Exercice 8On donne le tableau de variations suivant : x61 2 7f(x)0 @R6 5 @R11)Donner l"ensemble de d´efinitionDfde la fonctionf.

2)Comparerf(3)etf(4).

3)D´eterminer le maximum de la fonctionfsur[6 ; 7].

4)D´eterminer le maximum de la fonctionfsur[6 ;1].

5)Combien4a-t-il d"ant´ec´edents? Justifier.D. Le Fur8/ 50

Nom :FONCTIONS 2nde

Exercice 9O~

|O (Cg)3210123451098765432101231)Donner le tableau de variations de la fonctiongdont on a donn

´e ci-contre la courbe repr´esentative.

2)Combien l"´equationg(x) = 0a-t-elle de solutions? Jus-

tifier. On ne demande pas les valeurs des solutions.

3)R´esoudre l"´equationg(x) =2.

4)On donne :

g(x) =12 x4+ 2x3+x26x2:

Calculer l"image de3.D. Le Fur9/ 50

Nom :FONCTIONS 2nde

Exercice 10On appelle(Cf)la courbe repr´esentative d"une fonctionfd´efinie sur[5 ; 8]. On sait que la courbe passe par les pointsA(5 ; 1),B(1 ; 3),C(3 ; 4),D(6 ; 3)etE(8 ;1).

1)Placer ces points dans un rep`ere du plan.

2)Tracer une courbe pouvant repr´esenterfsachant que :

-fest strictement croissante sur[5 ; 3]; -fest strictement d´ecroissante sur[3 ; 8].

3)Quel est l"image de3?

4)3a-t-il des ant´ec´edents? Si oui, pr´eciser lesquels.

5)Peut-on tracer une autre courbe respectant les conditions donn´ees?D. Le Fur10/ 50

Nom :FONCTIONS 2nde

Exercice 11La fonctionfest d´efinie surRparf(x) =x24x+ 7. 1) ´Etudier le sens de variation defsurR. On s´eparera le cas o`ux <2du cas o`ux >2.

2)fadmet-elle un maximum ou un minimum? Si oui, calculer sa valeur.

3)Tracer(Cf)sur l"intervalle[6 ; 2].

4)R´esoudre graphiquement l"in´equationf(x)>2.

5)R´esoudre graphiquement l"´equationf(x) =x+ 1.Illustration

O~ |O(Cf)(Cg)(Ch) 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 6 5

43210123456789101112

D. Le Fur11/ 50

Nom :FONCTIONS 2nde

Exercice 12O~

|O (Cf)210123456987654321012Soit la fonctionfd´efinie sur[1 ; 5]dont la courbe est donn

´ee ci-contre.

1)D´eterminer graphiquement les valeurs def(1),f(0)

etf(5).

2)Dans quel intervalle varief(x)quandxvarie dans

[1 ; 5]?

3)Donner son tableau de variations sur[1 ; 5].

4)R´esoudre graphiquement l"´equation :

f(x) =3:

5)R´esoudre graphiquement l"in´equation :

f(x)>0:D. Le Fur12/ 50

Nom :FONCTIONS 2nde

Exercice 13On consid

`ere les fonctions affinesfetgd´efinies surRpar : f(x) =3x+ 36 etg(x) =7x24 1)

a) Tracer les courbes repr´esentatives(Cf)et(Cg), en donnant leur coefficient directeur et un point`a coordonn´ees

enti `eres. (On pourra utiliser pour cela un tableau de valeurs de la calculatrice.) b)Donner le sens de variation defet celui deg. 2)

a) R´esoudre alg´ebriquementf(x) = 0etg(x) = 0et faire apparaˆıtre les r´esultats sur le graphique.

b)En d´eduire les solutions des in´equations :f(x)>0etg(x)60. (On r´epondra`a cette question en utilisant le

sens de variation des fonctions.) 3)

a) Calculerf(5). Placer cette information sur le tableau de variations def. En d´eduire les solutions de l"in´equation

f(x)62. b)R´esoudre alg´ebriquementg(x) =4. En d´eduire les solutions de l"in´equationg(x)>4.

4)R´esoudre alg´ebriquement l"in´equationf(x)> g(x). En donner une interpr´etation graphique.Illustration

O~ |O(Cf)(Cg) 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5

66543210123456

D. Le Fur13/ 50

Nom :FONCTIONS 2nde

Exercice 14x61 4 6f(x)10

@@R1 0 @@R41)Quel est l"ensemble de d´efinitionDfde la fonctionf?

2)Quelles sont les images de1? de4? de6?

3)Donner l"encadrement entre deux entiers cons´ecutifs de l"image de0.

4)Donner un ant´ec´edent de1.

A-t-il d"autres ant

´ec´edents dans l"intervalle[6 ; 6]?

5)Combien0a-t-il d"ant´ec´edents?

6)Combien2a-t-il d"ant´ec´edents?D. Le Fur14/ 50

Nom :FONCTIONS 2nde

Exercice 15On d

´esigne par(Cf)la courbe repr´esentative de la fonctionfd´efinie surRpar : f(x) = 4x212x+ 9:

1)Le pointB(3 ; 10)est-il sur la courbe(Cf)?

2)D´eterminer le r´eelatel queM(a; 0)appartienne`a(Cf).Illustration

O~ |O(Cf)B

4321012345210123456789101112

D. Le Fur15/ 50

Nom :FONCTIONS 2nde

Exercice 16Voici le tableau de variations d"une fonctionf:x1061 4f(x)5 @R1 3 @R5Voici son tableau de signes : x1073 1 4f(x)+00+0Tracer une repr ´esentation graphique de cette fonction.Illustration 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4

56543210123456

|OAB CDE F

GD. Le Fur16/ 50

Nom :FONCTIONS 2nde

Exercice 17Soit la fonctionfd´efinie par :

f(x) = 2x2x+ 1:

1)Calculer,`a l"aide de la calculatrice, les images des nombres suivants :0;0;5;1;1;5et2.

2)Quelle conjecture peut-on alors faire sur la fonctionfsur l"intervalle[0 ; 2]?

3)Calculerf(0;4).

4)Que peut-on dire de la conjecture pr´ec´edente?Illustration

O~ |O(Cf)4321012345210123456789101112

D. Le Fur17/ 50

Nom :FONCTIONS 2nde

Exercice 18x52 0 3f(x)4

@@R1 3 @@R1A l"aide du tableau de variations, indiquer si lesquotesdbs_dbs19.pdfusesText_25

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1)Donner un tableau de valeurs def.

2)Tracer la courbe repr´esentative def.

3)Quels sont les ant´ec´edents de 4?

4)Montrer quefest d´ecroissante sur l"intervalle[2 ; 1].Illustration

32101234562024681012141618

D. Le Fur1/ 50

Nom :FONCTIONS 2nde

2)Utiliser ces repr´esentations graphiques pour r´esoudre graphiquement :

3)Retrouver les r´esultats pr´ec´edents par le calcul.Illustration

65432101234562024681012141618

D. Le Fur2/ 50

Nom :FONCTIONS 2nde

2)Utiliser ces repr´esentations graphiques pour r´esoudre graphiquement :

3)Retrouver les r´esultats pr´ec´edents par le calcul.Illustration

64202468101214161820222426

D. Le Fur3/ 50

Nom :FONCTIONS 2nde

Exercice 4On consid

On noteHle pied de la hauteur issue deA.A

10 101)Calculer l"aire du triangle lorsquex= 5.

2)Peut-on avoirx= 30? Quelle est la valeur maximale de

3)Exprimer la hauteurAHen fonction dex.

4)On d´esigne parfla fonction qui`a chaque r´eelxde l"en-

´efinition du probl`eme associe l"airef(x)du

5)Repr´esenter graphiquement cette fonction.

6)D´eterminer, en utilisant votre calculatrice, une valeur

´ee dexpour laquelle la fonction est maximale

Nom :FONCTIONS 2nde

Exercice 5O~

On a repr

1)f(x) = 1

2)f(x) =g(x)

3)f(x)> g(x)

4)g(x)0D. Le Fur5/ 50

Nom :FONCTIONS 2nde

Exercice 6On consid

1)D´eterminer l"ensemble sur lequelf(x)est d´efinie.

2)D´eterminer l"image de32

3)D´eterminer les´eventuels ant´ec´edents de0.

4)D´eterminer les r´eels dont l"image est strictement positive.

5)D´eterminer l"ensemble sur lequel la fonctiong:x7!g(x) =r12x9x2est d´efinie.Illustration

D. Le Fur6/ 50

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2)A l"aide de la calculatrice, donner le tableau de variation defsur[5 ; 3].Illustration

D. Le Fur7/ 50

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2)Comparerf(3)etf(4).

3)D´eterminer le maximum de la fonctionfsur[6 ; 7].

4)D´eterminer le maximum de la fonctionfsur[6 ;1].

5)Combien4a-t-il d"ant´ec´edents? Justifier.D. Le Fur8/ 50

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Exercice 9O~

´e ci-contre la courbe repr´esentative.

2)Combien l"´equationg(x) = 0a-t-elle de solutions? Jus-

3)R´esoudre l"´equationg(x) =2.

4)On donne :

Calculer l"image de3.D. Le Fur9/ 50

Nom :FONCTIONS 2nde

1)Placer ces points dans un rep`ere du plan.

2)Tracer une courbe pouvant repr´esenterfsachant que :

3)Quel est l"image de3?

4)3a-t-il des ant´ec´edents? Si oui, pr´eciser lesquels.

5)Peut-on tracer une autre courbe respectant les conditions donn´ees?D. Le Fur10/ 50

Nom :FONCTIONS 2nde

2)fadmet-elle un maximum ou un minimum? Si oui, calculer sa valeur.

3)Tracer(Cf)sur l"intervalle[6 ; 2].

4)R´esoudre graphiquement l"in´equationf(x)>2.

5)R´esoudre graphiquement l"´equationf(x) =x+ 1.Illustration

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D. Le Fur11/ 50

Nom :FONCTIONS 2nde

Exercice 12O~

´ee ci-contre.

1)D´eterminer graphiquement les valeurs def(1),f(0)