Cours de mathématiques pour la classe de Seconde PDF

GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS

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LA DÉRIVÉE SECONDE

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LA DÉRIVÉE SECONDE

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ÉTUDE DE FONCTIONS - SUNUMATHS

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Quels sont les trois formes de la fonction du second degré ?

Connaître les trois formes de la fonction du second degré: canonique, générale et factorisée À partir de la forme générale, trouver les équations de la forme canonique et factorisée Tu as des questions ! N'hésite pas à consulter notre bibliothèque virtuelle sur la fonction du second degré.

Pourquoi les mathématiques fonctionnent-elles dans la classe de seconde?

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L’étude des fonctions en tant qu’objet (c’est le cœur du programme de seconde où on introduit tout le vocabulaire nécessaire) peut parfois se faire lorsque les fonctions sont données par des courbes. Les élèves doivent alors savoir lire de façon critique un graphique. 12 Classe de Première STT La notion de fonction a acquis le statut d’objet.

Cours de mathématiques pour la classe de Seconde

VincentDujardin- FlorentGirod1

Année scolaire 2014 / 2015

1. Externat Notre Dame -Grenoble

Table des matières0 Ensembles de nombres et intervalles deR3

1) Principaux ensembles de nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 4

2) L"axe des réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3) Intervalles deR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

4) Union d"ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

5) Intersection d"ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 7

1 Algèbre8

1) Somme, différence, produit, quotient, opposé, inverse (rappels) . . . . . . . . 9

2) Transformations d"expressions (rappels) . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 10

3) Trois méthodes pour démontrer une égalité . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 12

4) Égalités équivalentes (rappels) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 13

2 Équations et inéquations : bases algébriques et approche graphique 14

1) (In)équation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2) Résolutions graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 18

3 Modéliser par des fonctions20

1) Modéliser par une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 21

2) Ensemble de définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22

3) Courbe représentative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 23

4) Image, antécédent(s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 26

4 Sens de variations - Fonctions affines28

1) Sens de variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29

2) Extremum d"une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30

3) Fonctions affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5 Fonctions carré, inverse, de degré 2, homographique 34

1) La fonction carré :2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2) Fonction inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38

3) Fonctions polynôme du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 39

4) Fonctions homographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 40

6 Inéquations, étude de signes, sens de variations 41

1) Inéquation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2) Sens de variation d"une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 44

7 Trigonométrie46

1) Enroulement de la droite numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 47

2) Sinus et cosinus d"un nombre réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 50

8 Analyse de données - Statistiques descriptives 52

1) Effectifs et fréquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 53

2) Graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3) Indicateurs de position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 55

4) Indicateurs de dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 56

5) La démarche statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 56

9 Probabilités57

1) Modélisation d"une expérience aléatoire . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 58

2) Probabilité d"un évènement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 60

3) Opération sur les évènements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 61

10 Fluctuation d"échantillonnage62

1) Échantillonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63

2) Intervalle de fluctuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 63

3) Estimation d"une proportion à partir d"un échantillon . .. . . . . . . . . . . 66

11 Géométrie dans l"espace67

1) Formulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

2) Représentation de solides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 69

3) Droites et plans de l"espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 70

12 Vecteurs, repérage72

1) Vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

2) Repère du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

13 Équations de droites84

1) Équation de droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

2) Droites parallèles ou sécantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 88

Chapitre 0Ensembles de nombres et intervalles deR

Bulletin Officiel (B.O)

Notations mathématiques

Les élèves doivent connaître les notions d"éléments d"un ensemble, d"un sous-ensemble, d"ap-

partenance et d"inclusion, d"intersection et de complémentaire et savoir utiliser les symboles de base correspondant :,,,ainsi que la notation des ensembles de nombres et des intervalles. Pour ce qui concerne le raisonnement logique, les élèves sont entraînés, sur

des exemples, à utiliser correctement les connecteurs logiques " et », " ou » et à distinguer

leur sens des sens courants de " et », " ou » dans le langage usuel.

Objectifs du chapitre:

itemréférencesauto évaluation connaître les ensembles de nombres (et leurs notations) utiliser les symboles,,, traduire l"appartenance à un intervalle deR utiliser les connecteurs logiques " et », " ou » 3

1) Principaux ensembles de nombres1 - 1) Les ensembles

NotationListeDescription

Rtous les nombres que vous connaisseznombresréels

N0 ; 1 ; 2 ; 3 ;nombresentiers naturels

Z;?3 ;?2 ;?1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ;nombresentiers relatifs

On définit aussi les sous-ensembles suivants :

-R: tous les nombres réels sauf 0; -R+: tous les nombres réels positifs; -R: tous les nombres réels négatifs.

1 - 2) Appartenance et inclusion

Certains nombres

appartiennentà un ensemble donné; on note cette appartenance avec le symbole

Par exemple,?5Z.

Certains ensembles sont

inclusdans d"autres ensembles; on note cette inclusion avec le symbole Par exemple, si un nombre est entier naturel, alors il est entier relatif; cela se note :NZ

2) L"axe des réels

On peut représenter les nombres réels sur une droite graduée: - On définit un repère():est l"origine (abscisse 0),définit l"unité (abscisse 1). ?3?2?1 0 1 2 3 4 5? - Chaque point est repéré par son abscisse. Ici :(3)et(?2). - L"axe des réels n"a pas de borne : il est infini à gauche et à droite. - On notela notion d"infini :?est l"infini à gauche, et+est l"infini à droite. 4

3) Intervalles deR

etsont deux nombres, avec

Exemples:

"appartient à l"intervalle fermé[;]» - signifie?? - se note[;] ?4?3?2?1 0 1 2 3 4 5 6 "appartient à l"intervalle ouvert];[» - signifie - se note];[ ?4?3?2?1 0 1 2 3 4 5 6 "appartient à l"intervalle[; +[» - signifie? - se note]; +[ ?4?3?2?1 0 1 2 3 4 5 6 "appartient à l"intervalle]? ;]» - signifie? - se note]? ;] ?4?3?2?1 0 1 2 3 4 5 6

Remarque et vocabulaire:

-signifie " appartient » etsignifie " n"appartient pas »; -etsont les bornes de l"intervalle;

- Lorsque la borneappartientà l"intervalle, elle est dite " fermée » : le crochet est orienté

vers la borne; 5 - Lorsque la bornen"appartient pasà l"intervalle, elle est dite " ouverte » : le crochet " tourne le dos » à la borne. exemples : avec= [?2 ; 6[, on sait que2et6 avec=]0 ; 7[, on sait que0et7 - L"infini n"étant pas un nombre, cette borne est toujours ouverte. - Il y a une infinité de nombres dans un intervalle[;](avec ).

4) Union d"ensembles

Avecetdeux ensembles de nombres.

* se dit "appartient àunion» * signifieou(appartient à, à, ou aux deux)

Application:

*[?1 ; 3][4 ; 6] signifie queest soit un nombre compris entre -1 et 3, soit un nombre compris entre 4 et 6. On peut schématiser de la manière suivante : ?2?1 0 1 2 3 4 5 6 7 8?2?3?4 *]0 ; 4[5 ; 6signifie queest soit un nombre compris (strictement) entre 0 et 4, soit un nombre égal à 5, soit un nombre égal à 6. On peut schématiser de la manière suivante : ?2?1 0 1 2 3 4 5 6 7 8?2?3?4 6

Ou inclusif, ou exclusif" Entrée ou dessert » sur un menu signifie l"un ou l"autre, pas les deux pour le prix indiqué :

le " ou » est exclusif. " Pour Noël, j"aimerais avoir un PC ou un voyage aux USA » : le " ou » est inclusif : on souhaiterait évidemment avoir les deux.

En mathématiques, le

ouestinclusif(l"un, l"autre ou les deux) Dans le langage, " Et » et " Ou » peuvent piéger... " Les personnes ayant droit à des réductions à la SNCF sont celles de moins de 25 ans et celles de plus de 65 ans. »

On comprend :

" Une personne a une réduction si elle a moins de 25 ans ou plus de 65 ans (elle ne peut pas avoir les deux à la fois). »

En mathématiques :

" les solutions sont les nombres compris entre -2 et 0 (inclus) et entre 4 et 5 (inclus) »

On peut dire aussi :

"L"ensemble des solutions est[?2 ; 0][ 4; 5]:est solution équivaut à dire qu"il appartient

à[?2 ; 0]ou à[4 ; 5].

5) Intersection d"ensembles

Avecetdeux ensembles de nombres.

* se dit "appartient àinter» * signifieet(appartient à la fois àet à)

Application:

*[?1 ; 3][2 ; 6] signifie queest à la fois un nombre comprisentre -1 et 3, et compris entre 2 et 6: il est donc compris entre 2 et 3. En fait,[?1 ; 3][2 ; 6] = [2 ; 3] On peut schématiser de la manière suivante : ?2?1 0 1 2 3 4 5 6 7 8?2?3?4 *]0 ; 4[2 ; 6signifie queest à la fois un nombre compris (strictement)entre 0 et 4 , etsoit égal à 2, soit égal à 6: il est égal à 2. En fait,]0 ; 4[2 ; 6=2 On peut schématiser de la manière suivante : ?2?1 0 1 2 3 4 5 6 7 8?2?3?4 7

Chapitre 1AlgèbreBulletin Officiel (B.O)

ContenuCapacités AttenduesCommentaires

Expressions algé-

briques

Transformations d"ex-

pressions algébriques en vue de la résolution de problèmes- Associer à un problème une expres- sion algébrique. - Identifier la forme la plus adéquate (développée, factorisée) d"une ex- pression en vue de la résolution du problème donné. - Développer, factoriser des expres- sions polynomiales simples; trans- former des expressions rationnelles

simples.Les activités de calcul nécessitent unecertaine maîtrise technique et doiventêtre l"occasion de raisonner.Les élèves apprennent à développer desstratégies s"appuyant sur l"observationde courbes, l"anticipation et l"intelli-gence du calcul. Le cas échéant, celas"accompagne d"une mobilisation éclai-rée et pertinente des logiciels de calculformel.

Objectifs du chapitre:

itemréférencesauto évaluation développer, factoriser des expressions polynomiales simples; transformer des expressions rationnelles simples montrer que deux expressions sont

égales ou pas

1) Somme, différence, produit, quotient, opposé, inverse

(rappels)

1 - 1) quelques synonymes

SigneOpérationSynonyme

+Additionajouter, sommer, ... ?Soustractionenlever, retirer, ...

Multiplicationrépéter plusieurs fois, ...

Divisionpartager en parts égales, ...

1 - 2) Somme et différence

Soustraire un nombreéquivaut à ajouter son opposé?.

Autrement dit :?équivaut à+ (?)

quotesdbs_dbs45.pdfusesText_45

[PDF] Cours de mathématiques pour la classe de Seconde

Comment faire une étude de fonction?

Quels sont les trois formes de la fonction du second degré ?

Pourquoi les mathématiques fonctionnent-elles dans la classe de seconde?

Comment faire l’étude des fonctions en tant qu’objet?

VincentDujardin- FlorentGirod1

Année scolaire 2014 / 2015

1. Externat Notre Dame -Grenoble

1) Principaux ensembles de nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 4

2) L"axe des réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3) Intervalles deR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

4) Union d"ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

5) Intersection d"ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 7

1 Algèbre8

1) Somme, différence, produit, quotient, opposé, inverse (rappels) . . . . . . . . 9

2) Transformations d"expressions (rappels) . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 10

3) Trois méthodes pour démontrer une égalité . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 12

4) Égalités équivalentes (rappels) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 13

2 Équations et inéquations : bases algébriques et approche graphique 14

1) (In)équation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2) Résolutions graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 18

3 Modéliser par des fonctions20

1) Modéliser par une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 21

2) Ensemble de définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22

3) Courbe représentative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 23

4) Image, antécédent(s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 26

4 Sens de variations - Fonctions affines28

1) Sens de variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29

2) Extremum d"une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30

3) Fonctions affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5 Fonctions carré, inverse, de degré 2, homographique 34

1) La fonction carré :2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2) Fonction inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38

3) Fonctions polynôme du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 39

4) Fonctions homographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 40

6 Inéquations, étude de signes, sens de variations 41

1) Inéquation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2) Sens de variation d"une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 44

7 Trigonométrie46

1) Enroulement de la droite numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 47

2) Sinus et cosinus d"un nombre réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 50

8 Analyse de données - Statistiques descriptives 52

1) Effectifs et fréquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 53

2) Graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3) Indicateurs de position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 55

4) Indicateurs de dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 56

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1) Modélisation d"une expérience aléatoire . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 58

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3) Opération sur les évènements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 61

10 Fluctuation d"échantillonnage62

1) Échantillonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63

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1) Formulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

2) Représentation de solides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 69

3) Droites et plans de l"espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 70

12 Vecteurs, repérage72

1) Vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

2) Repère du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

13 Équations de droites84

1) Équation de droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

2) Droites parallèles ou sécantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 88

Chapitre 0Ensembles de nombres et intervalles deR

Bulletin Officiel (B.O)

Notations mathématiques

Objectifs du chapitre:

1) Principaux ensembles de nombres1 - 1) Les ensembles

NotationListeDescription

N0 ; 1 ; 2 ; 3 ;nombresentiers naturels

On définit aussi les sous-ensembles suivants :

1 - 2) Appartenance et inclusion

Certains nombres

Par exemple,?5Z.

Certains ensembles sont

2) L"axe des réels

3) Intervalles deR

Exemples: