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Exercice 5 Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité 5 points On observe la taille d'une colonie de fourmis tous les jours.Pour tout entier naturel n non nul, on note un le nombre de fourmis, exprimé en milliers dans cette population
au bout du nième jour.Au début de l'étude la colonie compte 5000 fourmis et au bout d'un jour elle compte 5100 fourmis.
Ainsi on a u0=5 et u1=5,1.
On suppose que l'accroissement de la taille de la colonie d'un jour sur l'autre diminue de 10 % chaque jour.
En d'autres termes, pour tout entier naturel n,
un+2-un+1=0,9(un+1-un)1. Démontrer, dans ces conditions, que u2=5,19.
2. Pour tout entier naturel n, on pose Vn=(un+1
un) et A=(1,9-0,9 10).2.a. Démontrer que, pour tout entier naturel n, on a Vn+1=AVn.
On admet alors que, pour tout entier naturel n, Vn=AnV0.2.b. On pose P=
(0,9111). On admet que la matrice P est inversible.
A l'aide de la calculatrice, déterminer la matrice P-1. En détaillant les calculs, déterminer la matrice D définie parD=P-1AP.
2.c. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a : An=PDnP-1.
Pour tout entier naturel n, on admet que :
An= (-10×0,9n+1+1010×0,9n+1-9 -10×0,9n+1010×0,9n-9)2.d. En déduire que, pour tout entier naturel n, un=6-0,9n3. Calculer la taille de la colonie au bout du10ème jour. On arrondira le résultat à une fourmi près.
4. Calculer la limite de la suite (un) Interpréter ce résultat dans le contexte.
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CORRECTIONu0=5 ; u1=5,1 et pour tout entier naturel n : un+2-un+1=0,9(un+1-un)1. Pour n=0 u2-u1=0,9(u1-u0)
u2=0,9u1-0,9u0+u1=1,9u1-0,9u0=1,9×5,1-0,9×5= 5,19.2. Pour tout entier naturel n :
Vn=(un+1
un) et A=(1,9-0,910)2.a. Pour tout entier naturel n :
AVn=(1,9-0,9
10)(un+1
un)=(1,9un+1-0,9un un+1) Or un+2=0,,9(un+1-un)+un+1=1,9un+1-0,9un DoncAVn=(un+2
un+1)=Vn+1 On admet que pour tout entier naturel n,Vn=AnV0.
2.b.P=(0,91
11) En utilisant la calculatrice on obtient : P-1=
(-1010 10-9)D=P-1AP=(-1010
10-9)(1,9-0,9
10)(0,91
11)=(-19+109
19-9-9)(0,91
11)D=(-99
10-9)(0,91
11)=(-0,81+9-9+9
9-910-9)=(0,90
01)D=(0,90
01)2.c. On veut démontrer, en utilisant un raisonnement par récurrence, que pour tout entier naturel n, ona :
An=PDnP-1.
. RemarquesOn note I la matrice
(1001) et PP-1=P-1P=I.
On convient que A0=I et que D0=I
D=P-1AP ⇔ PDP-1=P(P-1AP)P-1=(PP-1)A(PP-1)=IAI=A donc A=PDP-1 . InitialisationPour n=0 A0=I et
PD0P-1=PIP-1=PP-1=I La propriété est vérifiée pour n=0. . HéréditéPour démontrer que la propriété est héréditaire pour tout entier naturel n on suppose que An=PDnP-1
et on doit démontrer queAn+1=PDn+1P-1.
On a An+1=AnA=(PDnP-1)(PDP-1)=PDn(P-1P)DP-1=PDnIP-1=PDn+1P-1 . Conclusion Le principe de récurrence nous permet d'affirmer que pour tout entier naturel n, on a An=PDnP-1.2.d. On admet que pour tout entier naturel n :
An= (-10×0,9n+1+1010×0,9n+1-9S Nouvelle-Calédonie novembre 2016
On a : Vn=(un+1
un)=AnV0=An (u1 u0)=An (5,15) donc
un=5,1(-10×0,9n+10)+5(10×0,9n-9) un=-51×0,9n+51+50×0,9n-45 un=6-0,9n3. La taille de la colonie de fourmis au bout du
10ème jour est u10 u10=6-0,910=6-0,348 à 10-3 près.
u10=5,652 à 10-3 près La taille de la colonie au bout du 10ème jour est 5652 fourmis.4. 0<0,9<1 limn→+∞0,9n
= 0 donc limn→+∞un= 6. Donc dans un avenir très lointain la taile de la colonie sera voisine de 6000 fourmis.quotesdbs_dbs49.pdfusesText_49[PDF] bac s nouvelle calédonie novembre 2017
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