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Exercice 3 4 points
On se place dans le plan complexe rapporté au repère (O;⃗u;⃗v).Soit f la transformation qui à tout nombre réel z non nul associe le nombre complexe f(z) défini par :
f(z)=z+1 z On note M le point d'affixe z et M' le point d'affixe f(z).21.a. Déterminer la forme exponentielle de a.
1.b. Déterminer la forme algébrique de f(a).
2. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes, l'équation f(x)=1.
3. Soit M un point d'affixe z du cercle c de centre O et de rayon 1.
3.a. Justifier que l'affixe z peut s'écrire sous la forme
z=eiθavecθun nombre réel.3.b. Montrer que f(z) est un nombre réel.
4. Décrire et représenter l'ensemble des points M d'affixe z tels que f(z) soit un nombre réel.
S Nouvelle-Calédonie novembre 2016
CORRECTION
2 |a| = 1
cos (3π 4)=-2 et sin
(3π 4)= 2 a=ei3π 4 1.b. f(a)=a+1 a=ei3π4+e-i3π
4=2 cos (3π
2. f(z)=1 ⇔ z+1
z=1 ⇔ z2+1=z ⇔ z2-z+1=0Δ=1-4=-3=(i
2 z1=e-iπ3 et z2=eiπ
3 s={ z1 ; z2 }3.a. M appartient au cercle c de centre O et de rayon 1 si et seulement si OM=1 c'est à dire si et seulement si
l'affixe z du point M est de module 1 si et seulement si z=eiθavec θ nombre réel.3.b. f(z)=eiθ+e-iθ=2cos(θ)donc f(z) est un nombre réel.
4. z=x+iy x et y sont des nombres réels tels que
x2+y2≠0 f(z)=z+1 z=x+iy+1 x+iy=x+iy+x-iy x2+y2=(x2+y2)(x+iy)+x-iy x2+y2 f(z)=(x2+y2)x x2+y2+i(x2+y2)y-y x2+y2 f(z) est un nombre réel si et seulement si (x2+y2)y-y=0 et x2+y2≠0 c'est à dire (x2+y2-1)y=0 etx2+y2≠0 soit (x2+y2=1 ou y=0) et x2+y2≠0 L'ensemble des points M d'affixe z tels que f(z) soit un réel est la réunion du cercle c ( de centre O et de
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