[PDF] Modélisation de forme 3D par graphe de Reeb et applications

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Mod´elisation de forme 3D par graphe de Reeb

et applicationsJulien Tierny

LIFL (UMR USTL/CNRS 8022)

julien.tierny@lifl.fr Encadrants: Dr. Jean-Philippe Vandeborre, Pr. Mohamed Daoudi2 Octobre 2008

julien.tierny@lifl.fr ( LIFL (UMR USTL/CNRS 8022) julien.tierny@lifl.fr Encadrants: Dr. Jean-Philippe Vandeborre, Pr. Mohamed Daoudi )2 Octobre 20081

IntroductionContexte g´en´eral

La 3D? Pourquoi faire?!

"3D data big bang"

julien.tierny@lifl.fr ( LIFL (UMR USTL/CNRS 8022) julien.tierny@lifl.fr Encadrants: Dr. Jean-Philippe Vandeborre, Pr. Mohamed Daoudi )2 Octobre 20082

IntroductionContexte g´en´eral

La 3D? Pourquoi faire?!

"3D data big bang"

julien.tierny@lifl.fr ( LIFL (UMR USTL/CNRS 8022) julien.tierny@lifl.fr Encadrants: Dr. Jean-Philippe Vandeborre, Pr. Mohamed Daoudi )2 Octobre 20082

IntroductionContexte g´en´eral

La 3D? Pourquoi faire?!

"3D data big bang"

julien.tierny@lifl.fr ( LIFL (UMR USTL/CNRS 8022) julien.tierny@lifl.fr Encadrants: Dr. Jean-Philippe Vandeborre, Pr. Mohamed Daoudi )2 Octobre 20082

IntroductionContexte g´en´eral

Forme 3D et maillage de polygones

Repr´esentation informatique de la

configuration spatiale d"un objet virtuel;Le maillage de polygone : Repr´esentationsurfacique;Approximation lin´eaire par morceaux;

Ensemble de polygones interconnect´es :

M={V,E,F}Triangulationle plus souvent.Standard de facto

Rendu interactif;

Acquisition et CAO.

julien.tierny@lifl.fr ( LIFL (UMR USTL/CNRS 8022) julien.tierny@lifl.fr Encadrants: Dr. Jean-Philippe Vandeborre, Pr. Mohamed Daoudi )2 Octobre 20083

IntroductionContexte g´en´eral

Forme 3D et maillage de polygones

Repr´esentation informatique de la

configuration spatiale d"un objet virtuel;Le maillage de polygone : Repr´esentationsurfacique;Approximation lin´eaire par morceaux;

Ensemble de polygones interconnect´es :

M={V,E,F}Triangulationle plus souvent.Standard de facto

Rendu interactif;

Acquisition et CAO.

julien.tierny@lifl.fr ( LIFL (UMR USTL/CNRS 8022) julien.tierny@lifl.fr Encadrants: Dr. Jean-Philippe Vandeborre, Pr. Mohamed Daoudi )2 Octobre 20083

IntroductionContexte g´en´eral

Forme 3D et maillage de polygones

Repr´esentation informatique de la

configuration spatiale d"un objet virtuel;Le maillage de polygone : Repr´esentationsurfacique;Approximation lin´eaire par morceaux;

Ensemble de polygones interconnect´es :

M={V,E,F}Triangulationle plus souvent.Standard de facto

Rendu interactif;

Acquisition et CAO.

julien.tierny@lifl.fr ( LIFL (UMR USTL/CNRS 8022) julien.tierny@lifl.fr Encadrants: Dr. Jean-Philippe Vandeborre, Pr. Mohamed Daoudi )2 Octobre 20083

IntroductionContexte g´en´eral

Forme 3D et maillage de polygones

Repr´esentation informatique de la

configuration spatiale d"un objet virtuel;Le maillage de polygone : Repr´esentationsurfacique;Approximation lin´eaire par morceaux;

Ensemble de polygones interconnect´es :

M={V,E,F}Triangulationle plus souvent.Standard de facto

Rendu interactif;

Acquisition et CAO.

julien.tierny@lifl.fr ( LIFL (UMR USTL/CNRS 8022) julien.tierny@lifl.fr Encadrants: Dr. Jean-Philippe Vandeborre, Pr. Mohamed Daoudi )2 Octobre 20083

IntroductionContexte g´en´eral

Forme 3D et maillage de polygones

Repr´esentation informatique de la

configuration spatiale d"un objet virtuel;Le maillage de polygone : Repr´esentationsurfacique;Approximation lin´eaire par morceaux;

Ensemble de polygones interconnect´es :

M={V,E,F}Triangulationle plus souvent.Standard de facto

Rendu interactif;

Acquisition et CAO.

julien.tierny@lifl.fr ( LIFL (UMR USTL/CNRS 8022) julien.tierny@lifl.fr Encadrants: Dr. Jean-Philippe Vandeborre, Pr. Mohamed Daoudi )2 Octobre 20083

IntroductionProbl´ematique

Probl´ematique des repr´esentations extrins`eques

Le maillage de polygones est une repr´esentationextrins`eque...N´ecessit´e de concevoir des techniques de mod´elisationintrins`eque!julien.tierny@lifl.fr ( LIFL (UMR USTL/CNRS 8022) julien.tierny@lifl.fr Encadrants: Dr. Jean-Philippe Vandeborre, Pr. Mohamed Daoudi )2 Octobre 20084

IntroductionProbl´ematique

Probl´ematique des repr´esentations extrins`eques

Le maillage de polygones est une repr´esentationextrins`eque...N´ecessit´e de concevoir des techniques de mod´elisationintrins`eque!julien.tierny@lifl.fr ( LIFL (UMR USTL/CNRS 8022) julien.tierny@lifl.fr Encadrants: Dr. Jean-Philippe Vandeborre, Pr. Mohamed Daoudi )2 Octobre 20084

IntroductionProbl´ematique

Probl´ematique des repr´esentations extrins`eques

Le maillage de polygones est une repr´esentationextrins`eque...N´ecessit´e de concevoir des techniques de mod´elisationintrins`eque!julien.tierny@lifl.fr ( LIFL (UMR USTL/CNRS 8022) julien.tierny@lifl.fr Encadrants: Dr. Jean-Philippe Vandeborre, Pr. Mohamed Daoudi )2 Octobre 20084

IntroductionProbl´ematique

Probl´ematique des repr´esentations extrins`eques

Le maillage de polygones est une repr´esentationextrins`eque...N´ecessit´e de concevoir des techniques de mod´elisationintrins`eque!julien.tierny@lifl.fr ( LIFL (UMR USTL/CNRS 8022) julien.tierny@lifl.fr Encadrants: Dr. Jean-Philippe Vandeborre, Pr. Mohamed Daoudi )2 Octobre 20084

IntroductionProbl´ematique

Probl´ematique des repr´esentations extrins`eques

Le maillage de polygones est une repr´esentationextrins`eque...N´ecessit´e de concevoir des techniques de mod´elisationintrins`eque!julien.tierny@lifl.fr ( LIFL (UMR USTL/CNRS 8022) julien.tierny@lifl.fr Encadrants: Dr. Jean-Philippe Vandeborre, Pr. Mohamed Daoudi )2 Octobre 20084

IntroductionProbl´ematique

Probl´ematique des repr´esentations extrins`eques

Le maillage de polygones est une repr´esentationextrins`eque...N´ecessit´e de concevoir des techniques de mod´elisationintrins`eque!julien.tierny@lifl.fr ( LIFL (UMR USTL/CNRS 8022) julien.tierny@lifl.fr Encadrants: Dr. Jean-Philippe Vandeborre, Pr. Mohamed Daoudi )2 Octobre 20084

IntroductionProbl´ematique

Probl´ematique des repr´esentations extrins`eques

Le maillage de polygones est une repr´esentationextrins`eque...N´ecessit´e de concevoir des techniques de mod´elisationintrins`eque!julien.tierny@lifl.fr ( LIFL (UMR USTL/CNRS 8022) julien.tierny@lifl.fr Encadrants: Dr. Jean-Philippe Vandeborre, Pr. Mohamed Daoudi )2 Octobre 20084

IntroductionProbl´ematique

Probl´ematique des repr´esentations extrins`eques

Le maillage de polygones est une repr´esentationextrins`eque...N´ecessit´e de concevoir des techniques de mod´elisationintrins`eque!julien.tierny@lifl.fr ( LIFL (UMR USTL/CNRS 8022) julien.tierny@lifl.fr Encadrants: Dr. Jean-Philippe Vandeborre, Pr. Mohamed Daoudi )2 Octobre 20084

IntroductionProbl´ematique

Probl´ematique des repr´esentations extrins`eques

Le maillage de polygones est une repr´esentationextrins`eque...N´ecessit´e de concevoir des techniques de mod´elisationintrins`eque!julien.tierny@lifl.fr ( LIFL (UMR USTL/CNRS 8022) julien.tierny@lifl.fr Encadrants: Dr. Jean-Philippe Vandeborre, Pr. Mohamed Daoudi )2 Octobre 20084

IntroductionProbl´ematique

Objectifs

Repr´esentationsintrins`eques:Invariance :

Transformations affines;

Transformations quasi-isom´etriques.

Robustesse :

Bruit al´eatoire;

Variation d"´echantillonnage.

Repr´esentationssymboliques:Abstraction math´ematique de forme.

julien.tierny@lifl.fr ( LIFL (UMR USTL/CNRS 8022) julien.tierny@lifl.fr Encadrants: Dr. Jean-Philippe Vandeborre, Pr. Mohamed Daoudi )2 Octobre 20085

IntroductionPlan

Plan

1Mod´elisation de forme 3D :

Etat de l"art;Contribution :Squelette topologique avanc´e;2Probl`emes connexes : Abstraction de forme pour la manipulation interactive;

Indexation par similarit´e partielle;

D´ecomposition fonctionnelle.

julien.tierny@lifl.fr ( LIFL (UMR USTL/CNRS 8022) julien.tierny@lifl.fr Encadrants: Dr. Jean-Philippe Vandeborre, Pr. Mohamed Daoudi )2 Octobre 20086

Mod´elisation de forme 3D par graphe de Reeb

Mod´elisation de forme 3D

par graphe de ReebIEEE 3DPVT 2006[TVD06b]Pacific Graphics 2006[TVD06a]julien.tierny@lifl.fr ( LIFL (UMR USTL/CNRS 8022) julien.tierny@lifl.fr Encadrants: Dr. Jean-Philippe Vandeborre, Pr. Mohamed Daoudi )2 Octobre 20087

Mod´elisation de forme 3D par graphe de Reeb´

Etat de l"artG´eom´etrie VS Topologie

G´eom´etrie: mesure des transformations continues;Topologie: ´etude de la configuration d"un espace.julien.tierny@lifl.fr ( LIFL (UMR USTL/CNRS 8022) julien.tierny@lifl.fr Encadrants: Dr. Jean-Philippe Vandeborre, Pr. Mohamed Daoudi )2 Octobre 20088

Mod´elisation de forme 3D par graphe de Reeb´

Etat de l"artG´eom´etrie VS Topologie

G´eom´etrie: mesure des transformations continues;Topologie: ´etude de la configuration d"un espace.julien.tierny@lifl.fr ( LIFL (UMR USTL/CNRS 8022) julien.tierny@lifl.fr Encadrants: Dr. Jean-Philippe Vandeborre, Pr. Mohamed Daoudi )2 Octobre 20088

Mod´elisation de forme 3D par graphe de Reeb´

Etat de l"artG´eom´etrie VS Topologie

G´eom´etrie: mesure des transformations continues;Topologie: ´etude de la configuration d"un espace.julien.tierny@lifl.fr ( LIFL (UMR USTL/CNRS 8022) julien.tierny@lifl.fr Encadrants: Dr. Jean-Philippe Vandeborre, Pr. Mohamed Daoudi )2 Octobre 20088

Mod´elisation de forme 3D par graphe de Reeb´

Etat de l"artG´eom´etrie VS Topologie

G´eom´etrie: mesure des transformations continues;Topologie: ´etude de la configuration d"un espace.Transformation g´eom´etrique

julien.tierny@lifl.fr ( LIFL (UMR USTL/CNRS 8022) julien.tierny@lifl.fr Encadrants: Dr. Jean-Philippe Vandeborre, Pr. Mohamed Daoudi )2 Octobre 20088

Mod´elisation de forme 3D par graphe de Reeb´

Etat de l"artG´eom´etrie VS Topologie

G´eom´etrie: mesure des transformations continues;Topologie: ´etude de la configuration d"un espace.Transformation g´eom´etrique

Invariance topologique

julien.tierny@lifl.fr ( LIFL (UMR USTL/CNRS 8022) julien.tierny@lifl.fr Encadrants: Dr. Jean-Philippe Vandeborre, Pr. Mohamed Daoudi )2 Octobre 20088

Mod´elisation de forme 3D par graphe de Reeb´

Etat de l"artG´eom´etrie VS Topologie

G´eom´etrie: mesure des transformations continues;Topologie: ´etude de la configuration d"un espace.Transformation g´eom´etrique

Invariance topologique

julien.tierny@lifl.fr ( LIFL (UMR USTL/CNRS 8022) julien.tierny@lifl.fr Encadrants: Dr. Jean-Philippe Vandeborre, Pr. Mohamed Daoudi )2 Octobre 20088

Mod´elisation de forme 3D par graphe de Reeb´

Etat de l"artG´eom´etrie VS Topologie

G´eom´etrie: mesure des transformations continues;Topologie: ´etude de la configuration d"un espace.Transformation g´eom´etrique

Invariance topologique Transformation topologique

julien.tierny@lifl.fr ( LIFL (UMR USTL/CNRS 8022) julien.tierny@lifl.fr Encadrants: Dr. Jean-Philippe Vandeborre, Pr. Mohamed Daoudi )2 Octobre 20088

Mod´elisation de forme 3D par graphe de Reeb´

Etat de l"artMod´elisation g´eom´etrique

Mod´elisation spectrale :

Applications: filtrage,

compression, comparaison, tatouage, etc.Mod´elisation conforme :

Applications: comparaison,

placage de texture;Mod´elisation Riemannienne :

Applications: comparaison,

´edition, morphing, etc.

julien.tierny@lifl.fr ( LIFL (UMR USTL/CNRS 8022) julien.tierny@lifl.fr Encadrants: Dr. Jean-Philippe Vandeborre, Pr. Mohamed Daoudi )2 Octobre 20089

Mod´elisation de forme 3D par graphe de Reeb´

Etat de l"artMod´elisation g´eom´etrique

Mod´elisation spectrale :

Applications: filtrage,

compression, comparaison, tatouage, etc.Mod´elisation conforme :

Applications: comparaison,

placage de texture;Mod´elisation Riemannienne :

Applications: comparaison,

´edition, morphing, etc.[VL08]

julien.tierny@lifl.fr ( LIFL (UMR USTL/CNRS 8022) julien.tierny@lifl.fr Encadrants: Dr. Jean-Philippe Vandeborre, Pr. Mohamed Daoudi )2 Octobre 20089

Mod´elisation de forme 3D par graphe de Reeb´

Etat de l"artMod´elisation g´eom´etrique

Mod´elisation spectrale :

Applications: filtrage,

compression, comparaison, tatouage, etc.Mod´elisation conforme :

Applications: comparaison,

placage de texture;Mod´elisation Riemannienne :

Applications: comparaison,

´edition, morphing, etc.[VL08]

[GY03]

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Mod´elisation de forme 3D par graphe de Reeb´

Etat de l"artMod´elisation g´eom´etrique

Mod´elisation spectrale :

Applications: filtrage,

compression, comparaison, tatouage, etc.Mod´elisation conforme :

Applications: comparaison,

placage de texture;Mod´elisation Riemannienne :

Applications: comparaison,

´edition, morphing, etc.[VL08]

[GY03] [KMP07, SSJD08]

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Mod´elisation de forme 3D par graphe de Reeb´

Etat de l"artMod´elisation g´eom´etrique

Mod´elisation spectrale :

Applications: filtrage,

compression, comparaison, tatouage, etc.Mod´elisation conforme :

Applications: comparaison,

placage de texture;Mod´elisation Riemannienne :

Applications: comparaison,

´edition, morphing, etc.`

A topologie constante![VL08]

[GY03] [KMP07, SSJD08]

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Mod´elisation de forme 3D par graphe de Reeb´

Etat de l"artMod´elisation topologique

Squelette courbe :

Applications: d´etection de collision,

comparaison, ´edition, etc.Manque de stabilit´e.

Segmentation :

Applications: morphing, ´edition,

comparaison, etc.Choix des crit`eres de d´ecoupe. Topologie diff´erentielle:Applications: compression, comparaison, placage de texture, r´e-´echantillonnage, ´edition, etc.

julien.tierny@lifl.fr ( LIFL (UMR USTL/CNRS 8022) julien.tierny@lifl.fr Encadrants: Dr. Jean-Philippe Vandeborre, Pr. Mohamed Daoudi )2 Octobre 200810

Mod´elisation de forme 3D par graphe de Reeb´

Etat de l"artMod´elisation topologique

Squelette courbe :

Applications: d´etection de collision,

comparaison, ´edition, etc.Manque de stabilit´e.

Segmentation :

Applications: morphing, ´edition,

comparaison, etc.Choix des crit`eres de d´ecoupe. Topologie diff´erentielle:Applications: compression, comparaison, placage de texture, r´e-´echantillonnage, ´edition, etc.[DJ06]

julien.tierny@lifl.fr ( LIFL (UMR USTL/CNRS 8022) julien.tierny@lifl.fr Encadrants: Dr. Jean-Philippe Vandeborre, Pr. Mohamed Daoudi )2 Octobre 200810

Mod´elisation de forme 3D par graphe de Reeb´

Etat de l"artMod´elisation topologique

Squelette courbe :

Applications: d´etection de collision,

comparaison, ´edition, etc.Manque de stabilit´e.

Segmentation :

Applications: morphing, ´edition,

comparaison, etc.Choix des crit`eres de d´ecoupe. Topologie diff´erentielle:Applications: compression, comparaison, placage de texture, r´e-´echantillonnage, ´edition, etc.[DJ06] [KT03, KLT05, LZ07]

julien.tierny@lifl.fr ( LIFL (UMR USTL/CNRS 8022) julien.tierny@lifl.fr Encadrants: Dr. Jean-Philippe Vandeborre, Pr. Mohamed Daoudi )2 Octobre 200810

Mod´elisation de forme 3D par graphe de Reeb´

Etat de l"artMod´elisation topologique

Squelette courbe :

Applications: d´etection de collision,

comparaison, ´edition, etc.Manque de stabilit´e.

Segmentation :

Applications: morphing, ´edition,

comparaison, etc.Choix des crit`eres de d´ecoupe. Topologie diff´erentielle:Applications: compression, comparaison, placage de texture, r´e-´echantillonnage, ´edition, etc.[DJ06] [KT03, KLT05, LZ07] [PSBM07]

julien.tierny@lifl.fr ( LIFL (UMR USTL/CNRS 8022) julien.tierny@lifl.fr Encadrants: Dr. Jean-Philippe Vandeborre, Pr. Mohamed Daoudi )2 Octobre 200810

Mod´elisation de forme 3D par graphe de Reeb´

Etat de l"artMod´elisation topologique

Squelette courbe :

Applications: d´etection de collision,

comparaison, ´edition, etc.Manque de stabilit´e.

Segmentation :

Applications: morphing, ´edition,

comparaison, etc.Choix des crit`eres de d´ecoupe. Topologie diff´erentielle:Applications: compression, comparaison, placage de texture, r´e-´echantillonnage, ´edition, etc.Caract´erisation exacte.[DJ06] [KT03, KLT05, LZ07] [PSBM07]

julien.tierny@lifl.fr ( LIFL (UMR USTL/CNRS 8022) julien.tierny@lifl.fr Encadrants: Dr. Jean-Philippe Vandeborre, Pr. Mohamed Daoudi )2 Octobre 200810

Mod´elisation de forme 3D par graphe de Reeb´ Etat de l"artPourquoi la topologie diff´erentielle?

Mod´elisation topologique :

Contrˆole de la topologie;´

Edition de la topologie;Structure : information de haut niveau.

La topologie diff´erentielle :

Th´eorie de Morse[Mor25, Ban67] :Cadre th´eorique ´eprouv´e (dimension arbitraire);

Formulation explicite des invariances;

Caract´erisation exacte de la topologie.

Graphe de Reeb[Ree46] :Abstraction des probl`emes g´eom´etriques en probl`emes sur les graphes;Structureglobaleetfine;Abstraction symbolique de la structure.

julien.tierny@lifl.fr ( LIFL (UMR USTL/CNRS 8022) julien.tierny@lifl.fr Encadrants: Dr. Jean-Philippe Vandeborre, Pr. Mohamed Daoudi )2 Octobre 200811

Mod´elisation de forme 3D par graphe de Reeb´ Etat de l"artPourquoi la topologie diff´erentielle?

Mod´elisation topologique :

Contrˆole de la topologie;´

Edition de la topologie;Structure : information de haut niveau.

La topologie diff´erentielle :

Th´eorie de Morse[Mor25, Ban67] :Cadre th´eorique ´eprouv´e (dimension arbitraire);

Formulation explicite des invariances;

Caract´erisation exacte de la topologie.

Graphe de Reeb[Ree46] :Abstraction des probl`emes g´eom´etriques en probl`emes sur les graphes;Structureglobaleetfine;Abstraction symbolique de la structure.?

julien.tierny@lifl.fr ( LIFL (UMR USTL/CNRS 8022) julien.tierny@lifl.fr Encadrants: Dr. Jean-Philippe Vandeborre, Pr. Mohamed Daoudi )2 Octobre 200811

Mod´elisation de forme 3D par graphe de ReebFondements th´eoriques

Th´eorie de Morse (intuition)

[Har98]

julien.tierny@lifl.fr ( LIFL (UMR USTL/CNRS 8022) julien.tierny@lifl.fr Encadrants: Dr. Jean-Philippe Vandeborre, Pr. Mohamed Daoudi )2 Octobre 200812

Mod´elisation de forme 3D par graphe de ReebFondements th´eoriques

Th´eorie de Morse (intuition)

[Har98]

julien.tierny@lifl.fr ( LIFL (UMR USTL/CNRS 8022) julien.tierny@lifl.fr Encadrants: Dr. Jean-Philippe Vandeborre, Pr. Mohamed Daoudi )2 Octobre 200812

Mod´elisation de forme 3D par graphe de ReebFondements th´eoriques

Th´eorie de Morse (intuition)

[Har98]

julien.tierny@lifl.fr ( LIFL (UMR USTL/CNRS 8022) julien.tierny@lifl.fr Encadrants: Dr. Jean-Philippe Vandeborre, Pr. Mohamed Daoudi )2 Octobre 200812

Mod´elisation de forme 3D par graphe de ReebFondements th´eoriques

Th´eorie de Morse (intuition)

[Har98]

julien.tierny@lifl.fr ( LIFL (UMR USTL/CNRS 8022) julien.tierny@lifl.fr Encadrants: Dr. Jean-Philippe Vandeborre, Pr. Mohamed Daoudi )2 Octobre 200812

Mod´elisation de forme 3D par graphe de ReebFondements th´eoriques

Th´eorie de Morse (intuition)

[Har98]

julien.tierny@lifl.fr ( LIFL (UMR USTL/CNRS 8022) julien.tierny@lifl.fr Encadrants: Dr. Jean-Philippe Vandeborre, Pr. Mohamed Daoudi )2 Octobre 200812

Mod´elisation de forme 3D par graphe de ReebFondements th´eoriques

Th´eorie de Morse (intuition)

[Har98]

julien.tierny@lifl.fr ( LIFL (UMR USTL/CNRS 8022) julien.tierny@lifl.fr Encadrants: Dr. Jean-Philippe Vandeborre, Pr. Mohamed Daoudi )2 Octobre 200812

Mod´elisation de forme 3D par graphe de ReebFondements th´eoriques

Th´eorie de Morse (intuition)

[Har98]

julien.tierny@lifl.fr ( LIFL (UMR USTL/CNRS 8022) julien.tierny@lifl.fr Encadrants: Dr. Jean-Philippe Vandeborre, Pr. Mohamed Daoudi )2 Octobre 200812

Mod´elisation de forme 3D par graphe de ReebFondements th´eoriques

Th´eorie de Morse (intuition)

[Har98]

χ(S) =Npoints-Nintersectionsjulien.tierny@lifl.fr ( LIFL (UMR USTL/CNRS 8022) julien.tierny@lifl.fr Encadrants: Dr. Jean-Philippe Vandeborre, Pr. Mohamed Daoudi )2 Octobre 200812

Mod´elisation de forme 3D par graphe de ReebFondements th´eoriques

Th´eorie de Morse (formalisme)

Dans le continu[Mor25] :M: vari´et´e lisse;f:M→R: fonction lisse;Point critique :m?M/-→?f(m) =-→0 ;Points critiques non d´eg´en´er´es

??fest unefonction de Morse;χ(M) =?d

i=0(-1)dμi(f).Dans le discret[Ban67] :S: surface triangul´ee;f:S →R: fonction PL g´en´erale;Sommet critiquev? S: analyse deLk(v);R´esolution des singularit´es[EHZ01]

=?festune fonction PL Morse;χ(S) =nmin-nsaddle+nmax.julien.tierny@lifl.fr ( LIFL (UMR USTL/CNRS 8022) julien.tierny@lifl.fr Encadrants: Dr. Jean-Philippe Vandeborre, Pr. Mohamed Daoudi )2 Octobre 200813

Mod´elisation de forme 3D par graphe de ReebFondements th´eoriques

Th´eorie de Morse (formalisme)

Dans le continu[Mor25] :M: vari´et´e lisse;f:M→R: fonction lisse;Point critique :m?M/-→?f(m) =-→0 ;Points critiques non d´eg´en´er´es

??fest unefonction de Morse;χ(M) =?d

i=0(-1)dμi(f).Dans le discret[Ban67] :S: surface triangul´ee;f:S →R: fonction PL g´en´erale;Sommet critiquev? S: analyse deLk(v);R´esolution des singularit´es[EHZ01]

=?festune fonction PL Morse;χ(S) =nmin-nsaddle+nmax.julien.tierny@lifl.fr ( LIFL (UMR USTL/CNRS 8022) julien.tierny@lifl.fr Encadrants: Dr. Jean-Philippe Vandeborre, Pr. Mohamed Daoudi )2 Octobre 200813

Mod´elisation de forme 3D par graphe de ReebFondements th´eoriques

Th´eorie de Morse (formalisme)

Dans le continu[Mor25] :M: vari´et´e lisse;f:M→R: fonction lisse;Point critique :m?M/-→?f(m) =-→0 ;Points critiques non d´eg´en´er´es

??fest unefonction de Morse;χ(M) =?d

i=0(-1)dμi(f).Dans le discret[Ban67] :S: surface triangul´ee;f:S →R: fonction PL g´en´erale;Sommet critiquev? S: analyse deLk(v);R´esolution des singularit´es[EHZ01]

=?festune fonction PL Morse;χ(S) =nmin-nsaddle+nmax.julien.tierny@lifl.fr ( LIFL (UMR USTL/CNRS 8022) julien.tierny@lifl.fr Encadrants: Dr. Jean-Philippe Vandeborre, Pr. Mohamed Daoudi )2 Octobre 200813

Mod´elisation de forme 3D par graphe de ReebFondements th´eoriques

Graphe de Reeb

Dans le continu[Ree46] :f:M→R: fonction de Morse simple;Graphe de Reeb

Espace quotient surM×Rpar

(m1,f(m1))≂(m2,f(m2)) :? f(m1) =f(m2) m

2??f-1(f(m1))?

m

1Propri´et´es sur les classes d"´equivalence[Ree46]et les boucles[CMEH?03].Difficult´es

1Fonction PL Morse simple, invariante et"expressive";2Formalisme discret etcapture de la g´eom´etrie.julien.tierny@lifl.fr ( LIFL (UMR USTL/CNRS 8022) julien.tierny@lifl.fr Encadrants: Dr. Jean-Philippe Vandeborre, Pr. Mohamed Daoudi )2 Octobre 200814

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Graphe de Reeb

Dans le continu[Ree46] :f:M→R: fonction de Morse simple;Graphe de Reeb

Espace quotient surM×Rpar

(m1,f(m1))≂(m2,f(m2)) :? f(m1) =f(m2) m

2??f-1(f(m1))?

m

1Propri´et´es sur les classes d"´equivalence[Ree46]et les boucles[CMEH?03].Difficult´es

1Fonction PL Morse simple, invariante et"expressive";2Formalisme discret etcapture de la g´eom´etrie.julien.tierny@lifl.fr ( LIFL (UMR USTL/CNRS 8022) julien.tierny@lifl.fr Encadrants: Dr. Jean-Philippe Vandeborre, Pr. Mohamed Daoudi )2 Octobre 200814

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Graphe de Reeb

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Espace quotient surM×Rpar

(m1,f(m1))≂(m2,f(m2)) :? f(m1) =f(m2) m

2??f-1(f(m1))?

m

1Propri´et´es sur les classes d"´equivalence[Ree46]et les boucles[CMEH?03].Difficult´es

1Fonction PL Morse simple, invariante et"expressive";2Formalisme discret etcapture de la g´eom´etrie.julien.tierny@lifl.fr ( LIFL (UMR USTL/CNRS 8022) julien.tierny@lifl.fr Encadrants: Dr. Jean-Philippe Vandeborre, Pr. Mohamed Daoudi )2 Octobre 200814

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Espace quotient surM×Rpar

(m1,f(m1))≂(m2,f(m2)) :? f(m1) =f(m2) m

2??f-1(f(m1))?

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1Propri´et´es sur les classes d"´equivalence[Ree46]et les boucles[CMEH?03].Difficult´es

1Fonction PL Morse simple, invariante et"expressive";2Formalisme discret etcapture de la g´eom´etrie.julien.tierny@lifl.fr ( LIFL (UMR USTL/CNRS 8022) julien.tierny@lifl.fr Encadrants: Dr. Jean-Philippe Vandeborre, Pr. Mohamed Daoudi )2 Octobre 200814

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Espace quotient surM×Rpar

(m1,f(m1))≂(m2,f(m2)) :? f(m1) =f(m2) m

2??f-1(f(m1))?

m

1Propri´et´es sur les classes d"´equivalence[Ree46]et les boucles[CMEH?03].Difficult´es

1Fonction PL Morse simple, invariante et"expressive";2Formalisme discret etcapture de la g´eom´etrie.julien.tierny@lifl.fr ( LIFL (UMR USTL/CNRS 8022) julien.tierny@lifl.fr Encadrants: Dr. Jean-Philippe Vandeborre, Pr. Mohamed Daoudi )2 Octobre 200814

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Espace quotient surM×Rpar

(m1,f(m1))≂(m2,f(m2)) :? f(m1) =f(m2) m

2??f-1(f(m1))?

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Espace quotient surM×Rpar

(m1,f(m1))≂(m2,f(m2)) :? f(m1) =f(m2) m

2??f-1(f(m1))?

m

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1Fonction PL Morse simple, invariante et"expressive";2Formalisme discret etcapture de la g´eom´etrie.julien.tierny@lifl.fr ( LIFL (UMR USTL/CNRS 8022) julien.tierny@lifl.fr Encadrants: Dr. Jean-Philippe Vandeborre, Pr. Mohamed Daoudi )2 Octobre 200814

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