LA DÉRIVÉE SECONDE
Une fonction convexe possède une dérivée première croissante ce qui lui donne l'allure de courber vers le haut. Au contraire une fonction concave possède
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convexe sur cet intervalle si sa courbe représentative est entièrement si la dérivée seconde est négative alors la fonction f est concave. Exemple 4.
CONVEXITÉ
I. Fonction convexe et fonction concave La fonction f est concave sur I si sa dérivée f ' est décroissante sur I soit f ''(x) ? 0 pour tout x de I.
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La fonction f est convexe sur I si et seulement si sa dérivée seconde f est positive ou nulle sur I. Une fonction deux fois dérivable est concave si et
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Convexité
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Fonction convexe et fonction concave sur un intervalle - Maxicours
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La convexité des fonctions (une ou deux fois) dérivables est gouvernée par le sens de variation de la premi`ere dérivée ou le signe de la dérivée seconde
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Une fonction est dite concave sur un intervalle si, pour toute paire de points sur le graphe de , le segment de droite qui relie ces deux points passe en dessous de la courbe de . Une fonction convexe poss? une dérivée première croissante ce qui lui donne l'allure de courber vers le haut.Comment calculer la concavité ?
Propriété : Soit une fonction f définie et dérivable sur un intervalle I. La fonction f est convexe sur I si sa dérivée f ' est croissante sur I, soit f ''(x) ? 0 pour tout x de I. La fonction f est concave sur I si sa dérivée f ' est décroissante sur I, soit f ''(x) ? 0 pour tout x de I.Comment montrer qu'une courbe est convexe ?
On démontre qu'une fonction est convexe sur un intervalle si et seulement si sa dérivée est croissante sur cet intervalle, autrement dit si sa dérivée seconde est positive sur cet intervalle.- Elle est strictement convexe si on peut mettre l'inégalité stricte pour ? ?]0, 1[ et x = y. Une fonction f est dite (strictement) concave si ?f est (strictement) convexe. – Le nombre ?x + (1 ? ?)y, ? ? [0, 1] est une combinaison convexe de x et y, c'est-à-dire un barycentre à coefficients positifs (voir Exercice 1).
Page1sur9
LADÉRIVÉESECONDE
Sommaire
2.Déterminationdelanatured'un
première. fonction,3fonctionsquisatisfontcesconditions:
etsontPage2sur9
1. CourbureǦConcavitéetconvexité
Théorème:
݂est:
Convexesi݂
Concavesi݂
Interprétation
celleͲciestcourbée.Page3sur9
suivants.Exemple1
Solution
toujoursconvexe.Exemple2
Page4sur9
Solution
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