LA DÉRIVÉE SECONDE
Une fonction convexe possède une dérivée première croissante ce qui lui donne l'allure de courber vers le haut. Au contraire une fonction concave possède
1 Fonction convexe fonction concave 2 Lien avec la dérivée
convexe sur cet intervalle si sa courbe représentative est entièrement si la dérivée seconde est négative alors la fonction f est concave. Exemple 4.
CONVEXITÉ
I. Fonction convexe et fonction concave La fonction f est concave sur I si sa dérivée f ' est décroissante sur I soit f ''(x) ? 0 pour tout x de I.
Dérivabilité et convexité
La fonction f est convexe sur I si et seulement si sa dérivée seconde f est positive ou nulle sur I. Une fonction deux fois dérivable est concave si et
1 Rappels 2 Dérivée seconde convexité
Une fonction f : I intervalle ? R est concave sur I si son sousgraphe est convexe. Si une fonction est dérivable deux fois la dérivée seconde est notée f
Optimisation dune fonction dune variable
Condition d'optimalité du second ordre. 4. Convexité. Définition et propriétés d'une fonction convexe. C. Nazaret. Optimisation
1 Dérivées dune fonction de une variable 2 Dérivées dune fonction
est positive la fonction est convexe. Lorsque la dérivée seconde d'une fonction est négative
1 Résolutions déquations avec une variable 2 Approximation dune
Le but de cet exercice est de vérifier quand f est une fonction concave
1 Dérivées premières et secondes dune fonction de une ou deux
On considère dans cette partie deux fonctions de une variable g(x) et h(y) qui sont concaves. 1) Redire quelles sont les conditions sur les dérivées de g(x) et
Convexité
signe de la dérivée seconde. Proposition. Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. a) f est convexe sur I ssi sa dérivée premi`ere y est
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Une fonction convexe possède une dérivée première croissante ce qui lui donne l'allure de courber vers le haut Au contraire une fonction concave possède une
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Si f une fonction deux fois dérivable sur un intervalle I : • si la dérivée seconde est positive alors la fonction f est convexe ; • si la dérivée seconde est
[PDF] CONVEXITÉ - maths et tiques
La fonction f est convexe sur I si sa dérivée f ' est croissante sur I soit f ''(x) ? 0 pour tout x de I La fonction f est concave sur I si sa dérivée f '
Fonction convexe et fonction concave sur un intervalle - Maxicours
Objectif(s) • Reconnaître graphiquement les fonctions convexes et concaves • Utiliser le lien entre convexité et sens de variation de la dérivée
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Soit f une fonction ayant une dérivée seconde sur un intervalle I Si f"(x) ³ 0 pour tout x ? I alors f est convexe sur I Si f"(x)
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Une fonction f : I intervalle ? R est concave sur I si son sousgraphe est convexe Si une fonction est dérivable deux fois la dérivée seconde est notée f
[PDF] Convexité
La convexité des fonctions (une ou deux fois) dérivables est gouvernée par le sens de variation de la premi`ere dérivée ou le signe de la dérivée seconde
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- lorsque la dérivée seconde ƒ " est positive la fonction est convexe - lorsque la dérivée seconde f " est négative la fonction est concave Exemple: on
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8 nov 2011 · Une fonction deux fois dérivable est concave si et seulement si sa dérivée seconde est négative ou nulle Les points où la dérivée seconde
[PDF] Chapitre1 : Fonctions convexes
Alors f est convexe si et seulement si : (2) Tout arc de sa courbe C est sous la corde correspondante Démonstration : La traduction rigoureuse de la condition
Comment savoir si la fonction est concave ?
Une fonction est dite concave sur un intervalle si, pour toute paire de points sur le graphe de , le segment de droite qui relie ces deux points passe en dessous de la courbe de . Une fonction convexe poss? une dérivée première croissante ce qui lui donne l'allure de courber vers le haut.Comment calculer la concavité ?
Propriété : Soit une fonction f définie et dérivable sur un intervalle I. La fonction f est convexe sur I si sa dérivée f ' est croissante sur I, soit f ''(x) ? 0 pour tout x de I. La fonction f est concave sur I si sa dérivée f ' est décroissante sur I, soit f ''(x) ? 0 pour tout x de I.Comment montrer qu'une courbe est convexe ?
On démontre qu'une fonction est convexe sur un intervalle si et seulement si sa dérivée est croissante sur cet intervalle, autrement dit si sa dérivée seconde est positive sur cet intervalle.- Elle est strictement convexe si on peut mettre l'inégalité stricte pour ? ?]0, 1[ et x = y. Une fonction f est dite (strictement) concave si ?f est (strictement) convexe. – Le nombre ?x + (1 ? ?)y, ? ? [0, 1] est une combinaison convexe de x et y, c'est-à-dire un barycentre à coefficients positifs (voir Exercice 1).
![[PDF] CONVEXITÉ - maths et tiques](https://pdfprof.com/Listes/17/42744-17ConvexiteTESL.pdf.pdf.jpg "[PDF] CONVEXITÉ - maths et tiques")
YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr1CONVEXITÉ I. Fonction convexe et fonction concave Vidéo https://youtu.be/ERML85y_s6E Définitions : Soit une fonction f dérivable sur un intervalle I. La fonction f est convexe sur I si, sur l'intervalle I, sa courbe représentative est entièrement située au-dessus de chacune de ses tangentes. La fonction f est concave sur I si, sur l'intervalle I, sa courbe représentative est entièrement située en dessous de chacune de ses tangentes. Fonction convexe Fonction concave Propriétés : - La fonction carré
x!x 2 est convexe sur . - La fonction cube x!x 3 est concave sur -∞,0 et convexe sur0;+∞
. - La fonction inverse x! 1 x est concave sur -∞;0 et convexe sur0;+∞
. - La fonction racine carrée x!x est concave sur0;+∞
. - Admis - Notation : La dérivée d'une fonction dérivée f ' se note f ''. Propriété : Soit une fonction f définie et dérivable sur un intervalle I. La fonction f est convexe sur I si sa dérivée f ' est croissante sur I, soit f''(x)≥0
pour tout x de I. - Admis -YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr2 Méthode : Etudier la convexité d'une fonction Vidéo https://youtu.be/8H2aYKN8NGE Soit la fonction f définie sur
par f(x)= 1 3 x 3 -9x 2 +4 . Etudier la convexité de la fonction f. Pour tout x de , on a f'(x)=x 2 -18x . Pour tout x de , on a f''(x)=2x-18 qui s'annule pour x=9Pour tout x≥9
f''(x)≥0 f ' est donc strictement décroissante sur -∞;9 et donc f est concave sur -∞;9 . f ' est donc strictement croissante sur 9;+∞ et donc f est convexe sur 9;+∞. II. Point d'inflexion Vidéo https://youtu.be/r8sYr6ToeLo Définition : Soit une fonction f dérivable sur un intervalle I. Un point d'inflexion est un point où la courbe traverse sa tangente en ce point. Remarque importante : Au point d'inflexion, la fonction change de convexité. Exemple : On considère la fonction cube
x!x 3 . La tangente au point O(0,0) est l'axe des abscisses. Pour , la courbe est en dessous de sa tangente. x≥0, la courbe est au-dessus de sa tangente. La tangente à la courbe en O traverse donc la courbe. Le point O est un point d'inflexion de la courbe de la fonction cube. Méthode : Etudier la convexité pour résoudre un problème Vidéo https://youtu.be/_XlgCeLcN1k Une entreprise fabrique des clés USB avec un maximum de 10000 par mois. Le coût de fabrication C (en milliers d'euros) de x milliers de clés produites s'exprime par :
C(x)=0,05x
3 -1,05x 2 +8x+4. 1) À l'aide de la calculatrice graphique, évaluer la convexité de la fonction C. En déduire si la courbe possède un point d'inflexion. 2) Démontrer ces résultats. 3) Interpréter les résultats obtenus. 1) La fonction semble concave sur l'intervalle [0 ; 7] et convexe sur l'intervalle [7 ; 10]. La courbe semble posséder un point d'inflexion pour
x=7 . 2)C(x)=0,05x
3 -1,05x 2 +8x+4C'(x)=0,15x
2 -2,1x+8C''(x)=0,3x-2,1
Or0,3x-2,1=0
pour x=7 . On peut ainsi résumer les variations de C' et la convexité de C dans le tableau suivant : x0 7 10
C''(x)
- 0 + C'(x) Convexité de C concave convexeC(7)=25,7
YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr4Ainsi, le point de coordonnées (7 ; 25,7) est un point d'inflexion de la courbe. 3) Après le point d'inflexion, la fonction est convexe, la croissance du coût de fabrication C s'accélère. Avant le point d'inflexion, la fonction est concave, la croissance du coût de fabrication ralentie. Ainsi, à partir de 7000 clés produites, la croissance du coût de fabrication s'accélère. Horsducadredelaclasse,aucunereproduction,mêmepartielle,autresquecellesprévuesàl'articleL122-5ducodedelapropriétéintellectuelle,nepeutêtrefaitedecesitesansl'autorisationexpressedel'auteur.www.maths-et-tiques.fr/index.php/mentions-legales
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