[PDF] MEMOIRE DE THESE Patrice BONHOMME RESEAUX DE PETRI P

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MEMOIRE DE THESE

présenté par

Patrice BONHOMME

pour obtenir le grade de DOCTEUR de l'UNIVERSITE DE SAVOIE (arrêté ministériel du 30 mars 1992) Spécialité : ELECTRONIQUE - ELECTROTECHNIQUE - AUTOMATIQUE

RESEAUX DE PETRI P-TEMPORELS :

CONTRIBUTIONS A LA COMMANDE ROBUSTE

soutenue le 12 juillet 2001 devant la Commission d'Examen

Membres du jury : P. LADET Président

G. BERTHELOT Rapporteur

R. VALETTE Rapporteur

M. GOURGAND Examinateur

L. FOULLOY Examinateur

P. AYGALINC Examinateur

Thèse préparée au sein du Laboratoire d'Automatique et de Micro-Informatique Industrielle (LAMII/CESALP) de l'Ecole Supérieure d'Ingénieurs d'Annecy

A ma mère, à mon père

et à mes frères

REMERCIEMENTS

Les travaux présentés dans cette thèse ont été réalisés au Laboratoire d'Automatique et de

MicroInformatique Industrielle (LAMII) d'Annecy, dirigé par Philippe BOLON, Professeur à l'Université de Savoie, à qui j'adresse mes remerciements pour son accueil.

Je tiens à remercier

Monsieur Gérard BERTHELOT, Professeur des Universités à l'Institut d'Informatique d'Entreprise du Conservatoire National des Arts et

Métiers à Evry,

Monsieur Robert VALETTE, Directeur de Recherche CNRS au Laboratoire d'Analyse et d'Architecture des Systèmes à Toulouse, pour l'honneur qu'ils m'ont fait d'avoir accepté de rapporter cette thèse, leurs remarques constructives et éclairées n'ont contribué qu'à la rendre meilleure. J'exprime ma gratitude à Monsieur Pierre LADET, Professeur des Universités à l'Ecole Nationale Supérieure d'Ingénieurs Electriciens de Grenoble (ENSIEG/INPG), qui m'a fait l'honneur de présider ce jury.

Toute ma reconnaissance également à

Monsieur Michel GOURGAND, Professeur à l'Université Blaise Pascal de Clermont-Ferrand, Monsieur Laurent FOULLOY, Professeur à l'Université de Savoie, pour l'intérêt qu'ils ont bien voulu porter à ce travail en acceptant de l'examiner. Particulièrement merci à Pascal AYGALINC mon Directeur de thèse, leader et guide

scientifique, pour la confiance qu'il m'a témoignée et l'entière liberté qu'il m'a accordée tout

au long de ces années d'agréable collaboration. Merci encore pour la découverte à deux ....

Je tiens aussi à remercier Soizick CALVEZ pour son amitié et pour avoir bien voulu lire et améliorer l'interprétation des développements de cette thèse. Toutes mes excuses pour

l'épreuve infligée ! Merci aussi à Stéphane MARTEAU pour sa bonne humeur et sa simplicité.

Pour finir, je remercie mes compagnons de couloir, Olivier et Mathieu, ainsi que le " jeune sauvé » Réda, nos longues discussions au " drugstore » avec le chef m'ont beaucoup apportées.

Table des Matières

______________________

Introduction générale...............................................................................................................1

CHAPITRE I

Réseaux de Petri : de Ramchandani à Khansa...

1.1. Les Réseaux de Petri Autonomes (RdPA).................................................................... 7

1.1.1. Définitions de base................................................................................................. 7

1.1.2. Règle de fonctionnement........................................................................................ 8

1.1.3. Principales propriétés............................................................................................. 9

1.2. Les Réseaux de Petri temporisés ................................................................................ 11

1.3. Les Réseaux de Petri temporels.................................................................................. 13

1.3.1. Le modèle de Merlin (t-RdP)............................................................................... 13

1.3.1.1. Règle de fonctionnement............................................................................... 13

1.3.1.2. Algorithme de calcul de l'état suivant........................................................... 15

1.3.1.3. Propriétés des t-RdP...................................................................................... 15

1.3.1.4. Analyse énumérative..................................................................................... 16

1.3.1.4.1. Conditions de tir d'une transition partant d'une classe............................... 16

1.3.1.4.2. Calcul de la classe suivante......................................................................... 17

1.3.1.5. Analyse structurelle....................................................................................... 17

1.3.2. Le modèle de Van der Aalst................................................................................. 20

1.3.3. Les réseaux de Petri à Flux Temporels (RdPFT)................................................. 23

1.3.4. Les réseaux ER (Entités / Relations).................................................................... 25

1.3.5. Le modèle de Khansa (p-RdP)............................................................................. 28

1.3.5.1. Règle de fonctionnement............................................................................... 29

1.3.5.2. Condition de tir d'une transition ................................................................... 30

1.3.5.3. Calcul de l'état suivant.................................................................................. 31

1.3.5.4. Propriétés des p-RdP..................................................................................... 31

1.3.5.5. Analyse énumérative des p-RdP.................................................................... 33

1.3.5.5.1. Conditions de tir d'une transition partant d'une classe............................... 33

1.3.5.5.2. Calcul de la classe suivante......................................................................... 34

1.3.5.6. Analyse structurelle des p-RdP ..................................................................... 37

1.3.5.6.1.Propriétés générales.................................................................................... 37

1.3.5.6.2. Cas des Graphes d'Evénements Fortement Connexes (p-GEFC)............... 38

1.3.5.6.3. Evaluation de performances et commande des p-GEFC ............................ 39

Exemple illustratif.....................................................................................................................42

1.3.6. Le modèle RT ...................................................................................................... 43

CHAPITRE II

Analyse Enumérative

2.1. Analyse Enumérative..................................................................................................51

2.1.1. Notion de classe d'états........................................................................................51

2.1.2. Formalisme adopté pour le modèle p-temporel ................................................... 52

2.1.3. Premier instant de tir............................................................................................55

2.1.4. Second instant de tir.............................................................................................55

2.1.5. q

ème

instant de tir..................................................................................................57

2.1.6. Espace de tir......................................................................................................... 60

2.1.7. Simplification du premier instant de tir ...............................................................60

2.1.8. Simplification du deuxième instant de tir............................................................61

2.1.9. Simplification du q

ème

instant de tir .....................................................................63

2.1.10. Représentation des classes d'états........................................................................65

2.1.10.1. Condition de tir d'une transition, partant d'une classe.................................. 65

2.1.10.2. Calcul de la classe suivante........................................................................... 66

2.1.10.3. Justification de l'expression des quantités obtenues..................................... 66

2.1.11. Obtention de l'arbre des classes d'états...............................................................67

2.1.12. Egalité de deux classes......................................................................................... 68

2.1.13. Notion d'équivalence entre classes...................................................................... 69

2.1.14. Arbre et graphe des classes d'états et propriétés..................................................75

Exemple illustratif.....................................................................................................................77

2.1.15. Evaluation de Performances et commande.......................................................... 80

2.1.15.1. Relations d'interdépendance ......................................................................... 80

Exemple ....................................................................................................................................81

CHAPITRE III

Contributions à la Commande Robuste

3.1 Propriétés de robustesse..................................................................................................92

3.2 Evaluation des domaines de robustesse..............................................................................93

3.2.1 Robustesse active..........................................................................................................93

3.2.2 Robustesse passive........................................................................................................94

3.2.3 Détermination d'un échéancier robuste........................................................................95

3.3 Cas multi-produits...........................................................................................................97

3.3.1 Détermination de la robustesse passive inter-produits.............................................98

3.3.1.1 Contraintes imposées par les chemins élémentaires orientés, reliant une transition

de parallélisme et une transition de synchronisation :......................................................100

3.3.1.2 Contraintes imposées par les circuits..................................................................102

3.3.2 Commande temporelle utilisant la robustesse passive inter-produits.........................103

Exemple illustratif...................................................................................................................104

3.3.3 Application au problème de changement d'objectif...............................................106

3.3.3.1 Calcul des durées résiduelles et des en-cours .....................................................106

3.3.3.2 Exemple d'évaluation des en-cours pour un fonctionnement périodique...........109

3.3.3.3 Passage d'un objectif à un autre..........................................................................109

3.3.3.4 Notion de compatibilité entre réglages successifs ..............................................110

3.3.3.5 Modification du réglage associé au temps de cycle............................................111

3.3.3.6Évaluation de la durée du mode transitoire.........................................................111

3.4 Apports de l'approche énumérative..............................................................................112

3.4.1 Détermination de la robustesse active ........................................................................112

3.4.2 Etablissement d'une commande robuste.....................................................................115

3.4.3 Résolution du problème de changement d'objectif ....................................................120

Exemple illustratif 1................................................................................................................126

Exemple illustratif 2................................................................................................................128

3.5 Extension de la méthode énumérative au cas multi-produits........................................130

CHAPITRE IV

Règles de Réduction de Réseaux de Petri p-temporels

4.1. Préambule................................................................................................................. 137

4.1.1. Méthodologie..................................................................................................... 137

4.1.2. Opérations sur les intervalles............................................................................. 138

4.1.3. Notion d'équivalence entre réseaux................................................................... 139

4.2. Règles de transformation de p-RdP.......................................................................... 141

4.2.1. Places implicites (redondantes).......................................................................... 141

4.2.1.1. Algorithme de détection de places implicites.............................................. 146

4.2.1.1.1. Limitation comportementale..................................................................... 151

4.2.2. Cas particulier : Graphes d'Evénements Fortement Connexes.......................... 152

4.2.3. Cas particulier de redondance : redondance parallèle (R2) ............................... 153

4.2.4. Fusion série (R3)................................................................................................ 156

4.2.5. Post fusion (R5) ................................................................................................. 158

4.2.6. Pré-fusion (R4)................................................................................................... 161

4.2.7. Fusion latérale de places (R6)............................................................................ 165

4.2.8. Fusion latérale de transitions (R7)..................................................................... 167

4.2.9. Exemple illustratif.............................................................................................. 170

4.2.9.1. Interprétation............................................................................................... 171

Conclusion générale..............................................................................................................175

Annexe 1.................................................................................................................................180

Annexe 2.................................................................................................................................184

Annexe 3.................................................................................................................................188

Références bibliographiques................................................................................................193

Introduction Générale

______________________

INTRODUCTION GENERALE

2

Introduction générale

Dans un contexte industriel où la productivité joue un rôle déterminant et où les maîtres

mots sont rendement, flexibilité et qualité, il peut s'avérer fortement dommageable de ne

considérer que les aspects logiques (au sens de l'enchaînement des différentes opérations à

effectuer) du système de production considéré. En effet, bien qu'une abstraction des aspects

temporels soit dans certains cas rendue possible par la nature même du procédé étudié (systèmes purement séquentiels), cette dernière peut dans d'autres circonstances aller à l'encontre de la sémantique du système.

Ainsi, les travaux présentés dans ce mémoire de thèse traitent des systèmes à contraintes

de temps de séjour. Pour cette grande classe de systèmes, le facteur temps est une composante primordiale. Ce dernier n'affecte pas seulement les performances du système mais aussi sa

validité fonctionnelle. Le procédé peut se retrouver dans un état interdit si un résultat

nécessaire à sa bonne évolution est produit trop tôt ou bien trop tard. Nous pouvons citer à

titre d'exemples, les procédés agroalimentaires où les durées de préparation et de livraison des

produits sont limitées par des impératifs de fraîcheur, ceux de l'industrie chimique où les

réactifs utilisés apportent leur effet dans une plage de temps donné, les systèmes

d'informations où une mesure devient obsolète, voire incohérente après une durée donnée.

Pour ce type de systèmes, il s'avère nécessaire de disposer de structures de commande leur assurant un bon comportement (au sens du respect du cahier des charges) et attestant du respect de l'ensemble des contraintes temporelles mises en jeu [ACKC, 97]. Comme le mode de fonctionnement au plus tôt n'est généralement pas possible, la recherche d'une commande

temporelle se pose réellement. De plus, ces systèmes constituent un cadre privilégié pour

valider une approche de commande robuste. En effet, la robustesse peut se définir comme la

capacité à préserver certaines propriétés d'intérêt d'un mode de fonctionnement face à des

perturbations diverses. Elle trouve ici toute son importance puisque la violation d'une

spécification temporelle (définie par un intervalle de temps) a généralement des conséquences

graves sur la qualité de la production. Afin d'effectuer la synthèse d'une commande robuste, il convient d'établir un modèle

de spécifications du système considéré qui permettra de dégager toutes les contraintes

logiques et temporelles du problème de commande. A cette fin, notre choix s'est porté sur les réseaux de Petri. Les réseaux de Petri [BRA, 82], [Mur, 89], [DA, 92] représentent un formalisme

puissant et reconnu pour la modélisation et l'analyse des systèmes à événements discrets.

Dans un souci de tenir compte de manière efficiente aussi bien des différentes fonctionnalités

du système, que de ses caractéristiques temporelles de manière explicite, de nombreuses extensions des réseaux de Petri ont été proposées dans la littérature. Les extensions déterministes peuvent se regrouper en deux grandes classes distinctes : les modèles temporisés [Ram, 74], [Sif, 77], [JVT, 95] où les attributs temporels sont des valeurs ponctuelles, et les modèles temporels [Mer, 74], [Fre, 91], [GMMP, 91], [Aal, 92], [DS, 94], [Kha, 97] où ces derniers attributs prennent la forme d'intervalles de temps pouvant traduire des plages de faisabilité aussi bien que des incertitudes sur le procédé.

INTRODUCTION GENERALE

3 Le premier chapitre de ce mémoire se verra donc consacré au choix d'un modèle réseau de Petri permettant de prendre en compte l'ensemble des caractéristiques propres aux systèmes à contraintes de temps de séjour et plus particulièrement de fournir une représentation simple et naturelle de la situation de synchronisation sous obligation (un rendez-vous en un temps imparti). Plusieurs modèles ayant retenu notre attention seront alors

passés en revue. Leurs principales propriétés et fonctionnalités seront discutées à la lumière

des exigences dictées par les caractéristiques des systèmes auxquels nous nous intéressons.

Notre choix s'est tout naturellement porté sur les réseaux de Petri p-temporels [KDD, 96], [Kha, 97] puisque ces derniers réalisent un bon compromis entre pouvoir d'expression et simplicité de représentation. Nous proposerons alors dans la seconde partie une nouvelle méthode de validation de ces réseaux [BAC, 01]. En effet, une fois un modèle

du procédé obtenu, il devient légitime de s'interroger sur ses capacités à satisfaire les

différentes spécifications imposées par le cahier des charges. La réponse à cette question est

généralement apportée par des techniques de vérification s'appuyant sur une génération de

l'espace d'états. Ainsi, comme la plupart des méthodes exhaustives existantes pour les modèles temporels [BD, 91], [BM, 83], l'approche développée s'appuiera sur le concept de classe d'états afin de contourner l'explosion combinatoire propre à ce type de technique. Elle en proposera une nouvelle définition, simplifiant la phase de dénombrement. Elle sera basée

sur l'évaluation des conditions de mise à feu des différentes transitions du modèle au premier,

au second et au q

ème

instant de tir [BB, 93]. L'outil de validation présenté, non content de fournir les mêmes preuves de bon fonctionnement (finitude, vivacité, existence de fonctionnements stationnaires,....) que les outils existants, permettra en outre de mettre en lumière une composante d'évaluation de

performances et de commande jusqu'alors faisant défaut à la plupart des méthodes existantes.

Cette composante sera alors utilisée pour la caractérisation dynamique du comportement des réseaux de Petri p-temporels, aussi bien durant un mode de fonctionnement transitoire que durant un mode de fonctionnement stationnaire répétitif. L'objectif du troisième chapitre sera d'utiliser les résultats dégagés par l'approche énumérative, dans une optique de détermination d'une commande robuste. Nous commencerons par passer en revue les différents concepts de robustesse, tels qu'ils ont été définis pour les systèmes à événements discrets [COR, 96], et ses différents modes d'évaluation possibles lorsque la commande est modélisée par un réseau p-temporel.

Deux approches seront alors présentées :

La première s'appuie sur la structure du graphe associée à la conduite assurant le mode de fonctionnement retenu dans l'espace des classes d'états. L'étude des propriétés du graphe permet alors de quantifier une zone de fonctionnement où, une fois la commande déterminée, aucun re-calcul de cette dernière ne sera nécessaire et ceci même, en présence de perturbations [ACKC, 97]. Elle permettra donc de dégager un ensemble de propriétés fortes qui conféreront aux structures de commande associées une implantation simple de réalisation. La seconde, tirant sa source de la méthode exhaustive du chapitre II permettra de traiter de manière réactive l'effet de perturbations sur le système étudié (avances ou retards sur un ou plusieurs instants de début d'opération

INTRODUCTION GENERALE

4 préalablement planifiée). En effet, la méthode énumérative développée fournira l'espace de tir associé à un fonctionnement désiré. Cet espace pourra alors être vu comme le support générateur de l'ensemble des trajectoires admissibles par le p-RdP étudié.

La dernière partie de ce mémoire sera quant à elle consacrée à un ensemble de règles de

réduction/transformation permettant, sous certaines conditions d'obtenir après application, un

réseau réduit, mais préservant un ensemble de caractéristiques d'intérêt du réseau original.

Les propriétés à préserver que nous avons alors choisies sont le caractère sauf (1-borné) du

réseau original, mais surtout la " faisabilité » de tout échéancier réalisable du réseau de départ

sur le réseau réduit et inversement [BAC, 99]. Pour ce faire, nous nous appuierons sur une notion d'équivalence entre différents réseaux

de Petri p-temporels, équivalence qui sera dictée par la préservation sur le modèle réduit du

langage (plus particulièrement la restriction de ce dernier aux transitions laissées inchangées

par la règle de transformation opérée) associé au modèle de départ, et vice-versa.

L'application des différentes règles présentées en amont de tout processus d'analyse ou de

conception d'une commande se révèlera alors bénéfique et constituera une phase de pré-

traitement non négligeable. En effet, la détermination d'une commande temporelle sur le modèle transformé sera rendue beaucoup moins complexe car le nombre de noeuds

(transitions et places) du réseau obtenu aura été préalablement réduit. Ainsi, la connaissance,

pour un mode de fonctionnement donné, des instants de tir associés à l'ensemble des

transitions laissées inchangées par les règles opérées, permettra alors de remonter à la

commande temporelle du réseau de départ, ouvrant la voie d'une approche de synthèse de commande hiérarchisée.

Chapitre I

______________________

Réseaux de Petri :

de Ramchandani à Khansa... CHAPITRE IRéseaux de Petri : de Ramchandani à Khansa 6

Introduction

La complexité sans cesse grandissante des systèmes de production manufacturiers requiert de plus en plus de méthodes de représentation et de techniques d'analyse, permettant de tenir

compte de manière efficace des différentes fonctionnalités associées au système, ainsi que de

ses caractéristiques temporelles.

Cet impératif conduit inéluctablement à la nécessité de pouvoir disposer de méthodes

formelles permettant de vérifier un certain nombre de propriétés d'intérêt du système

modélisé. Les réseaux de Petri, parmi l'ensemble des formalismes existants, semblent répondre à l'ensemble de ces attentes.

En effet, les réseaux de Petri [Pet, 62] sont largement utilisés pour la modélisation et l'analyse

de systèmes à événements discrets. Ce succès est dû à de nombreux facteurs. Parmi ceux-ci

nous pouvons relever leur simplicité de compréhension, leur nature graphique se prêtant sans

grande difficulté à la modélisation de phénomènes complexes, et la possibilité de disposer

d'un arsenal de résultats mathématiques analytiques. Les systèmes manufacturiers à contraintes de temps constituent le cadre de notre étude. La

principale caractéristique de ces systèmes réside dans le fait que les durées associées aux

différentes opérations à effectuer, sont spécifiées par un intervalle de temps et non plus par

une valeur ponctuelle. La validité des résultats à obtenir ne dépend pas uniquement de l'ordre

dans lequel ces derniers seront obtenus, mais aussi du temps qui sera pris pour les obtenir [GMMP, 91]. Les variations (dérives) constatées sur certaines durées opératoires ne se

contentent pas seulement d'affecter les performances du procédé modélisé, mais elles peuvent

dans certains cas, directement porter atteinte à la qualité du produit fini.

Afin de satisfaire les attentes nées de l'étude des systèmes où l'intervention du facteur temps

doit être prise en compte de manière explicite, différents types de modèles réseaux de Petri

ont vu le jour. Dans la littérature, ces derniers sont souvent classés en deux grandes familles :

les réseaux de Petri temporisés [Ram, 74], [Sif, 77], [RH, 80] et les réseaux de Petri temporels

[Rou, 85], [Pop, 91], [BB, 93], [AL, 97]. Dans ce chapitre, nous nous proposons de passer en revue les différentes extensions de RdP appartenant à ces deux classes, susceptibles de répondre aux exigences de notre problématique. Tout d'abord, nous commencerons par un bref rappel des notions essentielles des Réseaux de Petri autonomes [BRA, 82], [Mur, 89], [DA, 92]. Nous attirons l'attention du lecteur sur le fait que notre objectif n'est pas de détailler

l'ensemble des modèles présentés, déjà largement développés dans la littérature, mais d'en

donner un rapide descriptif. Une présentation détaillée de ces divers outils pourra être

aisément trouvée dans les références citées. Ainsi, sur la base de ce descriptif nous justifierons

notre choix d'adopter dans le reste de ce manuscrit, le modèle proposé par Wael Khansa : le modèle p-temporel [Kha, 97]. Dans un second temps, nous verrons les diverses façons dont le facteur temps, au sens d'une

durée ponctuelle, a été introduit, conduisant ainsi aux modèles temporisés [Zub, 98], [ZK, 99].

La dernière partie se verra consacrée à la présentation de plusieurs modèles où le temps prend

la forme d'un intervalle de temps [Aal, 93], [Aal, 94], [BD, 91], permettant la prise en compte CHAPITRE IRéseaux de Petri : de Ramchandani à Khansa 7 d'incertitudes. Une attention particulière sera alors portée au modèle défini par Merlin [Mer, 74] (le précurseur dans ce domaine), ce dernier nous semblant le plus proche, parmi tous ceux évoqués, du modèle développé par Khansa.

1.1. Les Réseaux de Petri Autonomes (RdPA)

Les Réseaux de Petri ont été introduits par Carl Adam Petri dans sa thèse intitulée " Communication avec Automates » en 1962 [Pet, 62].

1.1.1. Définitions de base

Un réseau de Petri peut être assimilé à un système composé de deux parties distinctes :

Une partie statique (structurelle). Une partie dynamique (comportementale).

La partie structurelle se constitue d'un graphe orienté biparti valué < P, T, Pre, Post > avec :

P, un ensemble fini de places, {p 1 , p 2 ,..., p n T, un ensemble fini de transitions, {t 1 , t 2 ,..., t m Ces deux ensembles formant les sommets du réseau, avec P T = . Pre : P x T est l'application d'incidence avant, correspondant aux arcs directs reliant les places aux transitions. Post : P x T est l'application d'incidence arrière, correspondant aux arcs directs reliant les transitions aux places.

Lorsque Pre et Post prennent leurs valeurs dans l'ensemble {0, 1}, le réseau est alors qualifié

de réseau ordinaire. En utilisant une notation matricielle, les matrices d'incidence avant et arrière peuvent être respectivement définies comme suit : Pre = [ ij ] (1 i n, 1 j m) avec [ ij ] = Pre(p i , t j Post = [ ij ] (1 i n, 1 j m) avec [ ij ] = Post(p i , t j

Ainsi, la matrice d'incidence du réseau W = [w

ij ] (1 i n, 1 j m), avec w ij = Post(p i , t j ) - Pre(p i , t j est obtenue. CHAPITRE IRéseaux de Petri : de Ramchandani à Khansa 8 Nous adopterons par la suite la notation suivante : °t (resp. t°) représentera l'ensemble {p P/Pre(p, t) 0} (resp. {p P/Post(p, t)

0}) correspondant à l'ensemble des places d'entrée (resp. sortie) de la transition t.

°p (resp. p°) représentera l'ensemble {t T / Post(p, t) 0} (resp. {t T / Pre(p, t)

0}) correspondant à l'ensemble des transitions d'entrée (resp. sortie) de la place

p. Ces notions peuvent aussi être généralisées à des ensembles de sommets, soit X (P T), alors l'ensemble (°X) sera défini par °X = X La composante statique est complétée par un marquage initial : M 0 : P , M 0 (p) est le nombre de marques contenues initialement dans la place p. La partie dynamique du réseau consistera alors à faire évoluer ce marquage.

1.1.2. Règle de fonctionnement

Une transition t est dite tirable ou franchissable sous un marquage M si : p P, M(p) Pre(p, t), comme la transition t est tirable, elle peut être tirée, entraînant alors les modifications suivantes : si le marquage avant le tir de t est M, son tir conduira donc au marquage M', vérifiant :

sinon M(p) )t()(t p si t),Post(p, t)Pre(p, M(p))t()(t p si t),Post(p, M(p))(tt)( p si t),Pre(p, M(p)

)p('M d'où la forme générale : p P, M'(p) = M(p) + Post(p, t) - Pre(p, t). R(M) représentera l'ensemble des marquages atteignables à partir du marquage M en tirant une ou plusieurs transitions. La règle de franchissement matérialise une relation d'accessibilité sur l'ensemble des marquages atteignables du réseau. CHAPITRE IRéseaux de Petri : de Ramchandani à Khansa 9 Ainsi, par définition de la matrice d'incidence et de la règle de franchissement, la relation suivante a été établie :

Si M [t

i > M', alors M' = M + W.e i avec l'écriture M [t i > M' traduisant le fait que partant du marquage M, en tirant la transition t i , le marquage M' est atteint. Cette relation est appelée relation fondamentale du réseau avec

M et M' appartenant à R(M

0

De plus, e

i : {1, ..., m} {0, 1} avec e i [j] = 0 pour tout j i et e i [i] = 1.

Pour une séquence de transitions = t

1 t 2 ...t k , conduisant au marquage M kquotesdbs_dbs15.pdfusesText_21

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