[PDF] Corrigé Composition Mathématiques S 2017 - Concours Général

View - Download Corrigé Composition Mathématiques S 2017 - Concours Général

Previous PDF

Next PDF

CONCOURS GÉNÉRAL DES LYCÉES

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

Classes de terminale S

201 7
freemaths frConcours Général des lycées, Mathématiques, S 201
7 www freemaths fr

CORRIGÉ

Source

Gilbert JULIA

Concours Général freemaths.fr Mathématiques

Gilbert. JULIA 1

Concours général 2017 série S. Eléments de correction Auteur du document : Gilbert JULIA, professeur agrégé honoraire Ancien préparateur au concours du CAPES de Mathématiques

Problème 1 : Parties de C de type S

Un ensemble " de type S » est un ensemble de nombres complexes stable par multiplication et par somme de

carrés.

Partie A

1. {}()()()()1;2;;10==¥==*NNCbbbb

2.1. Soit A l'ensemble des entiers relatifs pairs privé de zéro :

()*2Z=A. Le produit de deux entiers relatifs

pairs est un entier pair et la somme des carrés de deux entiers pairs est un entier pair. Cet ensemble A est " de

type S ». Il n'y a aucun élément de A de module inférieur ou égal à 1 : ()0=Ab

2.2. L'ensemble des entiers relatifs Z est de type S et possède exactement trois éléments de module inférieur

ou égal à 1 : {}1;0;1-.

3. L'application conjugaison

zza réalise une bijection de C sur lui même compatible avec le produit

comme avec les sommes de carrés (c'est-à-dire que le conjugué d'un produit de deux complexes est le

produit de leurs conjugués et que le conjugué d'une somme de carrés est la somme des carrés de leurs

conjugués).

De plus, quel que soit le complexe z :

zz= et en conséquence : 11£Û£zz L'image par conjugaison d'un ensemble A de type S est de type S et de plus ()()AbAb= Concours Général freemaths.fr Mathématiques

Gilbert. JULIA 2

Partie B : Deux exemples de parties de C de type S

L'ensemble Z des entiers relatifs, muni de l'addition et de la multiplication possède une structure algébrique

d'anneau, c'est-à-dire que :

· Z est un groupe pour addition (la somme et la différence de deux entiers relatifs sont des entiers

relatifs ; zéro, élément neutre pour l'addition est un entier relatif ; l'opposé d'un entier relatif est un

entier relatif) · Z est stable par multiplication (le produit de deux entiers relatifs est un entier relatif)

Dans ces conditions, tout cocktail de sommes, différences et produits (en particulier carrés) d'entiers relatifs

est un entier relatif. Nous utiliserons à plusieurs reprises cette propriété. 1.1. Les complexes 1, j, j 2 étant les trois racines cubiques de l'unité : 012=++jj. 1.2. Soient jbaz111+= et jbaz222+= deux éléments de []jZ , où 2211,,,baba sont quatre entiers relatifs.

D'une part

()()()2

21122121221121jbbjbabaaajbajbazz+++=++=

Mais jj

--=12. Ainsi : ()()jbbbababbaazz211221212121-++-=.

Les nombres

2112212121;bbbababbaa-+- sont deux cocktails de sommes, différences et produits

d'entiers relatifs, ce sont deux entiers relatifs :

21zz appartient à []jZ.

D'autre part :

()()jbbabaz2 1112
12 12

12-+-= et ()()jbbabaz2

2222
22
22

22-+-=.

Il en résulte que : ()()jbbabbababazz2

2222
1112
22
22
12 12 22

122-+-+-+-=+

Les nombres

()()2 2222
1112
22
22
12

122;bbabbababa-+--+- sont deux cocktails de sommes, différences

et produits d'entiers relatifs, ce sont deux entiers relatifs : 2 22

1zz+ appartient à []jZ.

[]jZ est stable par multiplication et par sommes de carrés, c'est un ensemble de type S. 1.3.

Soit ibbajbaz23

2+) 8: -=+=, où a et b sont deux entiers relatifs, un élément de []jZ . Alors 22222
43

2bbaabbaz+-=+)

8:-=.

Il s'agit de faire l'inventaire des éléments de []jZ dont le module est inférieur ou égal à 1.

Pour cela, intéressons-nous à l'expression : ()11,222-+-=-=bbaazbam. Il s'agit d'en étudier le signe. Concours Général freemaths.fr Mathématiques

Gilbert. JULIA 3

Si on considère l'expression : ()11,222-+-=-=bbaazbam comme une expression du second degré en a, son discriminant est

234b-.

Ce discriminant est strictement négatif pour tout entier b tel que

2³b. Cette condition est suffisante pour

que

012>-zc'est-à-dire pour que 12>z.

Par contraposition, une condition nécessaire pour que

12£z est que 2 est un entier, que

1£b.

Lorsque

1£b : ( )))

99
8: 99
8: ---=234 2234
2,

22bbabbabam.

Si 0=b()10,2-=aam et cette expression est négative ou nulle lorsque 11,0-=oua. Si 1=b ()()11,-=aaamet cette expression est négative ou nulle lorsque 10oua=. Si 1-=b ()()11,+=-aaamet cette expression est négative ou nulle lorsque 10-=oua.

Nous obtenons ainsi sept éléments : jjjj

--+--1;1;;;1;1;0 comme le prévoyait l'énoncé.

Concluons :

[]()7=jbZ

1.4. En ce qui concerne []*jZ, ensemble des éléments non nuls de l'ensemble précédent :

Cet ensemble est clairement stable par multiplication. En revanche, nous devons justifier que si jbaz

111+= et jbaz222+= sont deux éléments non nuls

de []jZ , alors 2 22

1zz+ est lui aussi non nul, ce résultat n'est pas acquis et nécessite une vérification.

Remarquons que :

12122
22

10zizouzizzz-==Û=+

Or, si

ibbajbaz23 2+) 8: -=+=, alors : ( )ibabjbaizi) 8: -+-=+=223 Existe-t-il des entiers relatifs x et y tels que : ibabiyyxzijyx) 8: 8: -==+223 23

2 ou bien tels

que ibabiyyxjyx) 8: 8: -=+223 23
2 ? 11 21
1 34
8: 22323
2 223
b ayb yx ibabjyx.

La résolution de ce système conduit à :

32;32
baybax-= Concours Général freemaths.fr Mathématiques

Gilbert. JULIA 4

De même :

11 21
1 34
8: 22323
2 223
b ayb yx ibabjyx soit 32;32 baybax+-=

Le nombre

3 étant un irrationnel, les réels x et y ainsi obtenus ne peuvent être deux entiers relatifs que si

022
=-=-baba, donc que si 0==ba. Si

z est un complexe non nul, il est impossible que ziouziz-; appartiennent en même temps à []*jZ. Il

est donc impossible que la somme des carrés de deux éléments de []*jZ, dont on sait qu'elle appartient à []jZ, soit égale à zéro.

En conséquence, si jbaz

111+= et jbaz222+= sont deux éléments non nuls de[]*jZ , alors 2

22
1zz+ est lui aussi un élément de []*jZ. Cet ensemble est stable par somme de carrés. [][]{}0*-=jjZZ est de type S

Les éléments de module

1£ de [][]{}0*-=jjZZ sont :jjjj--+--1;1;;;1;1 et []()6*=jbZ

Remarquons que les six éléments de module

1£ de [][]{}0*-=jjZZ sont les six racines sixièmes de

l'unité.

2. On définit la partie R de C par[]{}jzzRZCÎÎ=2, .

Ainsi un nombre complexe z est dans R si et seulement si son carré est dans []jZ. 2.1.

Soient 1z et 2z deux éléments de R.

D'une part :

()()()2 22
12

21.zzzz=. L'ensemble []jZ étant stable par multiplication, un produit de carrés

d'éléments de

[]jZ appartient à []jZ. Si 1z et 2z deux éléments de R., leur produit ()21zz a pour carré un

élément de

[]jZ, ce produit appartient à R.

R est stable pour la multiplication.

D'autre part :

()2 22
14 24
12 2 22

12zzzzzz++=+. L'ensemble []jZ étant stable par multiplications (donc par

élévation aux puissances 2 et 4) et par additions, ce cocktail appartient à []jZ. Si

1z et 2z deux éléments de R., le carré de la somme de leurs carrés appartient à []jZ et par conséquent la

somme de leurs carrés appartient à R.

R est stable par somme de carrés.

R est de type S.

Concours Général freemaths.fr Mathématiques

Gilbert. JULIA 5

2.2. Les racines carrées des éléments de []jZ de module inférieur ou égal à 1 sont par définition dans R et

ont un module inférieur ou égal à 1 et réciproquement, si z est un élément de R de module inférieur ou égal à

1, son carré appartient à

[]jZ et a un module inférieur ou égal à 1.

En d'autres termes, on obtient les éléments de R de module inférieur ou égal à 1 en cherchant les racines

carrées des éléments de []jZ de module inférieur ou égal à 1. Nous sommes amenés en particulier à chercher les racines carrées des racines sixièmes de l'unité. En voici l'inventaire, il s'agit outre 0 des douze racines douzièmes de l'unité : 99
8: 99
8: 99
8: 99
8: +±±±iiiii23 21;23
21;23
21;23

21;;1;0. Ainsi,

()13=Rb On peut remarquer au passage que, contrairement à []*jZ, R* n'est pas de type S. En effet, R* contient i et contient 1, mais la somme de leurs carrés est nulle : ()0122=+i donc n'est pas dans R*. R* n'est pas stable pour la somme de carrés.

Partie C

: À la recherche des valeurs possibles de b(A) 1.

Pour tout élément a d'un ensemble A de type S la suite ()*NnnaÎ est une suite d'éléments de S. En effet :

aaa´=2 appartient à A en tant que produit de deux éléments de A et ce résultat se généralise :

1aa= appartient à A.

Si on suppose que, pour un entier *NnÎ, na appartient à S alors : nnaaa´=+1 appartient à S en

tant que produit de deux éléments de

A : AaAannÎBÎ+1

Ainsi,

na appartient à A pour tout entier *NnÎ Si a est tel que 10<A de modules compris entre 0 et 1.

Si un ensemble de type S contient un élément a est tel que 10<2. On sait que de façon générale pour tous réels u et v : 8: 8: -=+2.2cos2 vuiviuivueee.

Ce complexe a pour module :

.2cos2) 8: -=+vuviuiee Dans le même ordre d'idées : ()()( )( )vuiviuiviuivu+-=+=+eeeee.cos22222

Ce complexe a pour module :

()vuviui-=+cos222ee

En particulier :

()()uiuiuiu342.cos2eee=+ et ()()uiuiuiu684.2cos2eee=+ Concours Général freemaths.fr Mathématiques

Gilbert. JULIA 6

2.1. Soit a un complexe de module 1 et notons ()auarg=celui des arguments de a qui appartient à ]]pp,-.

Supposons d'abord que

3 2 6 pp<2342;3;4 ppp

Ou bien 6

57

È6

57

Î32;22;3ppppu auquel cas ( )2

1cos0<

· Ou bien 6

57

È6

57

Î3;44;6ppppu auquel cas 6

57

È6

57

Î32;22;32ppppu et ( )2

12cos0< Quel que soit le cas de figure, il existe un des deux nombres ()()uiuiuiu342.cos2eee=+ou ()()uiuiuiu684.2cos2eee=+ dont le module est non nul et strictement inférieur à 1.

L'un des deux entiers 1 ou 2 est tel que

1042<+

2.2. Supposons que60p<

La double inégalité

60p<

Ainsi :

( ) ( ) ( )3 2

2632160000pppp=+<+<+<+<

On obtient quatre multiples de u situés entre

6 p et 3

2p. Au moins un des quatre n'appartient pas à

2342;3;4

ppp.

On peut appliquer avec ce multiple un

1 la question précédente. Il existe un des deux nombres

()()uniuniuniun1113

142.cos2eee=+ou bien ()()uniuniuniun1116

184.2cos2eee=+ dont le module est non nul et

strictement inférieur à 1.

Il existe un entier n,

1nn= ou 12nn=, tel que 1042<+

2.3. Si un élément de A a un argument appartenant à 6

57

-0;32p son conjugué appartient à A et a un argument appartenant à 6

57

'32;0 p. On se ramène ainsi aux cas précédents. Il existe un entier n tel que

1042<+ Concours Général freemaths.fr Mathématiques

Gilbert. JULIA 7

2.4. Pour inventorier tous les cas de figure, il reste à étudier le cas ( )pp<

2 où ()aarg est un réel

distinct de 6

5p et de 4

3p (le cas ( )pp->>-agjarg3

2 s'y ramènera par conjugaison). Dans ce cas, on peut

considérer le nombre

2a, dont l'argument situé entre ]]pp+-, est tel que ()0arg3

22<<-ap, ce qui

ramène à un cas précédent Si A contient un complexe a de module 1 et dont le module n'est ni multiple de 6 p ni multiple de 4 p, les

puissances n et n2 de ce complexe a appartiennent à A et la somme de leurs carrés appartient à A.

Dans tous les cas étudiés, A contient un élément de la forme : nnaab42+= dont le module est non nul et strictement inférieur à 1. ()¥=Ab.

3.1. Si ()2³Ab, il existe au moins un élément de A non nul et dont le module est inférieur ou égal à 1. Le

module de cet élément n'est pas strictement inférieur à 1, sinon on aurait ()¥=Ab. Il existe au moins un élément de A dont le module est exactement égal à 1. 3.2.

L'argument situé dans ]]pp+-, d'un nombre appartenant à A et dont le module est exactement égal à 1

est nécessairement l'un des cas d'exception. On relève comme cas d'exception les multiples de

6 p :

234611;35;23;34;67;;65;32;2;3;6;0

ppppppppppp (12 éléments) ainsi que les multiples de 4 p :

23447;23;45;;43;2;4;0

ppppppp (8 éléments) La réunion de ces deux ensembles est un ensemble à 16 éléments : ppppppppppppppp

Dans un ensemble A de type S, il y a au plus 16 éléments dont le module est exactement égal à 1. Si nous

ajoutons le nombre zéro, nous arrivons au total maximal de 17 éléments de module inférieur ou égal à 1.

4. Considérons l'ensemble [](){}2ZZÎ+=baibai,; .

Soient ibaz

111+= et ibaz222+= deux éléments de []iZ , où 2211,,,baba sont quatre entiers relatifs.

D'une part

()()()ibababbaajbajbazz12212121221121++-=++=, élément de []iZ.

D'autre part :

()()ibabaz112 12 12

12+-= et ()()ibabaz222

22
22

22+-=.

Il en résulte que : ()()ibabababazz22112

22
22
12 12 22

122++-+-=+

Les nombres

()()22112 22
22
12

122;babababa+-+- sont deux cocktails de sommes, différences et

produits d'entiers relatifs, ce sont deux entiers relatifs : 2quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35