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CONCOURS GÉNÉRAL DES LYCÉES

SUJET Session de 2018

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

Classes de terminale S

freemaths frConcours Général des lycées, Mathématiques, S 2018
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CONCOURS GÉNÉRAL DES LYCÉES

SESSION DE 2018COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

(Classe terminale S) DURÉE: 5HEURESLa calculatrice est autorisée conformément à la réglementation.

La clarté et la précision de la rédaction seront prises en compte dans l"appréciation de la copie.Le sujet comporte trois problèmes indépendants et7pages numérotées1à7.

Le candidat peut traiter les questions dans l"ordre de son choix, à condition de l"indiquer clairement dans la

copie. 1

PROBLÈME I

Approximations de courbes

Partie A : Les polynômes de Bernstein

Pour tout entier naturelnet pour tout entier naturelicompris entre 0 etn, on noteBn,ile polynôme défini pourpvariant dans l"intervalle [0; 1] par B n,i(p)AEÃ n i! p i(1¡p)n¡i, avec n i! le coefficient binomial,iparmin. AinsiB0,0(p)AE1;B1,0(p)AE1¡petB1,1(p)AEp. Ces polynômes sont appeléspolynômes de Bernstein. 1° (a)

D onnerl "expressionde B2,0(p),B2,1(p) etB2,2(p).

(b)

D éterminerl "expressiond esp olynômesde B ernsteinp ournAE3, à savoirB3,0(p),B3,1(p),B3,2(p)

etB3,3(p). 2° (a)

Q uelleest l "expressiond eBn,0(p) et deBn,n(p)?

(b) D émontrerq uepour tout nÊ1 et pour touticompris entre 1 etn¡1, B 3° (a) E nque lle(s)v aleur(s)p2[0; 1] s"annule un polynôme de Bernstein? On raisonnera en distinguant les cas selon les valeurs de n et de i. (b)

Q u"ene st-ild eson s ignesur [0 ;1] ?

4°

Démont rerq ueles poly nômesd eB ernsteind "unmême d egrénforment une partition de l"unité :

c"est-à dire, pour tout entier natureln, n X iAE0B 5°

Déter minerl av aleurdes sommes

n X iAE0iB n,i(p) etnX iAE0i2Bn,i(p). Que représentent ces sommes en termes probabilistes?

Partie B : Des courbes de Bézier

On munit le plan d"un repère orthonormé (O,I,J). Soitnun entier naturel. On se donnenÅ1 points non

alignés du planP0,P1,...,Pn¡1,Pn.

On appellecourbe de Bézierde degrénet de points de contrôleP0,P1,...,Pn¡1,Pnl"ensemble des points

M(p) du plan avecpvariant dans l"intervalle [0; 1] tels que

OM(p)AEnX

iAE0B n,i(p)¡¡!OPi. Dans la suite on va s"intéresser à des courbes de Bézier de degré 0,1 ou 2. On se fixe doncA,B,Ctrois points du plan non alignés. 2

1°R econnaitrela n aturegéométr ique

(a) de la courbe de B ézierde degré 0 et de p ointd econt rôleA. (b) de la courbe de B ézierde deg ré1 et de p ointsde con trôleBetC. 2° O ns "intéresseà la c ourbede B ézierde deg ré2 e tde p ointsde con trôleA,BetC. (a) J ustifierq ueles point sAetCappartiennent à cette courbe. Le pointBy appartient-il? (b) D anscet teq uestionon p rendles p ointsde c oordonnéesA(¡2;5),B(2;1) etC(4;3). Proposer une construction des points de cette courbe pourpAE14 ,pAE12 etpAE34 . Tracer la courbe à main levée. 3° Démont rerqu ec ettecou rbeest n écessairementinsc riteda nsle t riangleABC. 4°

Q uellepourr aitê trela na turegéomét riqued ec ettec ourbede Bézi erde degré 2 ?J ustifierv otreré-

ponse.

PROBLÈME II

Un si discret Monsieur Dirichlet

SoitSun ensemble fini non vide de points du plan. Certaines paires de points deSsont reliées par

des traits, de sorte qu"en suivant ces traits, éventuellement en plusieurs étapes, il est toujours possible de

passer d"un point deSà n"importe quel autre (les intersections éventuelles entre les traits ne sont pas

considérées et un point n"est jamais relié à lui-même). Deux points deSreliés par un trait sont ditsvoisins. SiMest un point deS, on noteV(M) l"ensemble des voisins deM, et on noted(M) le nombre de voisins deM, appelé ledegrédeM.

Chaque point deSa été colorié soit en bleu soit en jaune, et il y a au moins un point jaune dans l"en-

sembleS. À chaque point jaune, Gustav a attribué un nombre réel de son choix. La mathématicienne

Maryam voudrait alors attribuer un réel à chaque point bleu (pas forcément le même nombre d"un point

bleu à l"autre) de façon à satisfaire la propriété (P) suivante :

(P) Le nombre attribué à tout point bleu est la moyenne des nombres attribués à ses voisins.

Partie A : Quelques exemples pour commencer

1° D ansc ettequ estionuniq uement,on su pposeque SAE{A,B,C}, avecAvoisin deB, lui-même voisin deCcomme sur dessin ci-dessous.A a±B²C² De plus,Aest le seul point jaune et Gustav lui a attribué le réela.

Quels nombres Maryam doit-elle alors attribuer àBet àCafin de satisfaire la propriété (P)?

2° P ourles tr oisqu estionssu ivanteson supp osequ eSAE{A,B,C,D,E}. Les pointsAetEsont les seuls points jaunes, et Gustav leur a attribué respectivement les réelsaete. 3

(a)L esli aisonsét antindiqu éessel onle sch émasu ivant,q uelsn ombresM aryamdoi t-ellea lors

attribuer à chacun des pointsB,CetDafin de satisfaire la propriété (P)?A a±B²C²D²E e± (b)

Même que stionp ourle sc hémas uivant:

D²C²

B²Aa±Ee±

(c)

Même q uestionpou rle sc hémasu ivant:

Aa±

B²

C²D²Ee±

3°

D anscett equ estionuniqu emento ng énéralisel esch émade l aqu estion2- (c)av ecun n ombrequ el-

conque de points. On suppose quenÊ1 est un entier, queSAE{P0,P1,P2,...,Pn,PnÅ1} et que tout point deSest voisin de chaque autre point deS. De plus,P0etPnÅ1sont les seuls points jaunes, et Gustav leur

a attribué respectivement les réelsaetb. Quels nombres Maryam doit-elle alors attribuer à chacun

des pointsPipouriAE1,...,nafin de satisfaire la propriété (P)?

Partie B : Étude du cas général

On note respectivementJl"ensemble des points jaunes, etBl"ensemble des points bleus. Ainsi

SAEJ[B.

Quand Gustav attribue un réel à chaque point jaune, cela consiste à définir une fonctionkdeJdansR.

L"objectif de Maryam est donc de construire une fonctionf:S¡!Rtelle que

8>>>>><

>>>>:f(M)AEk(M) siMest jaune (1) f(M)AEf(P1)Å...Åf(Pd)d siMest bleu (2) oùdAEd(M) est le degré deM(qui dépend deM) etP1,...,Pdles voisins deM. On dira alors quefest une solutionpour l"attributionk. Dans cette partie, on suppose donc donnée une telle attributionk. On noteKle plus grand des nombresk(M) lorsqueMdécrit l"ensembleJ. 4

Existence d"une solution.

1° O nsupp osedan scet tequ estionqu ek(M)Ê0 pour tout pointM2J. On construit alors, par récur- rence, la suite (fn) de fonctions suivante : On posef0(M)AEk(M) siMest jaune, etf0(M)AE0 siMest bleu.

Puis, pour tout entiernÊ0, on pose

8>>>>><

>>>>:f nÅ1(M)AEk(M) siMest jaune, f nÅ1(M)AEfn(P1)Å...Åfn(Pd)d siMest bleu, oùdAEd(M) est le degré deM(qui dépend deM) etP1,...,Pdles voisins deM. (a) P rouverq ue,p ourt outnÊ0 et tout pointM2S, on a 0Éfn(M)ÉfnÅ1(M)ÉK. (b) E nd éduirel "existenced "unesol utionpou rl "attributionk. 2°

P rouverque si fest une solution pour l"attributionket si®est une constante, alors la fonctionfÅ®

est aussi une solution pour l"attributionkÅ®. 3°

E ndédu ireq u"ilexist eu nesolu tionà n otrepr oblèmeen gén éral,c "est-à-diresans l "hypothèsede la

question 1° :k(M)Ê0 pour tout pointM2J.

Unicité de la solution.On suppose dans cette sous-partie que l"on dispose d"une solutionfpour cette attributionk.

4°

P rouverqu e,pou rt outpoint M2S, on af(M)ÉK.

5° S upposonsq uegsoit également une solution pour l"attributionk. (a) J ustifierq uela f onctionf¡gvérifie la condition (2). (b)

Q uev autf¡gsurJ?

(c)

E nd éduireque fAEg.

6° Q uep eut-ondir ede fs"il n"y a qu"un seul point jaune? 5

PROBLÈME III

Les nombres en or

On note'la plus grande racine réelle de l"équationx2AExÅ1. Le nombre', connu depuis l"Antiquité, est

appelénombre d"or. Un réelxest dit unnombre en ors"il existe : deu xen tiersn aturelspetq des ent iersap,ap¡1,¢¢¢,a0,...,a¡qne prenant que les valeurs 0 ou 1 tels que Dans ce cas, on noteraxBapap¡1¢¢¢a0,a¡1¢¢¢a¡q.

Par exemple sixAE'3Å'2Å1Å1'

Å1'

4, on noteraxB1101,1001. On dira que alors 1101,1001 est une

représentation en ordex.

Il est clair que l"on peut ajouter, au début, ou la fin de la représentation autant de 0 que l"on souhaite.

Une séquence de la représentation est une suite de 0 et de 1 qui apparaît dans la représentation. Dans

l"exemple précédent, 10110 est une séquence de la représentation 1101,1001.

Partie A : Tous les entiers naturels sont en or

1°

M ontrerque ,dan sla r eprésentationen or de x, on peut remplacer toute séquence 011 par 100 et

réciproquement afin d"obtenir une autre représentation en or dex.

Par exemple le réel dont la représentation en or est 1101,1001 admet également 1110,0001 et 1101,0111

comme représentation en or . On dira que les deux séquences 011 et 100 sont équivalentes. 2°

P lusgén éralement,don neru neséq uencedan sl aquelleil n "ya j amaisdeu x1 con sécutifset qu isoit

équivalente à 011¢¢¢1 où il y anoccurrences du chiffre 1. 3° M ontrerque l ese ntiers2 et 3 sont des n ombresen or et en donn eru ner eprésentationen or . 4° M ontrerque tous le sent iersnat urelsadmet tentune r eprésentationen o r.

Partie B : Représentation en or pur

On dira qu"une représentationxBapap¡1¢¢¢a0,a¡1¢¢¢a¡qd"un nombre en or est enor pursi pour touti,

a iaiÅ1AE0.

En d"autres termes, une représentation dexest en or pur si elle ne contient jamais deux 1 consécutifs.

Soitxun réel non nul, sixBapap¡1¢¢¢a0,a¡1¢¢¢a¡q, on définit lateneur en orde la représentation

comme étant égale à l"exposant de la plus grande puissance de'dont le coefficient vaut 1, dans l"éga-

Par exemple la teneur de la représentation 1101,1001 est égale à 3 et celle de 0,0010 est égale à¡3.

6

1°Donn eru ner eprésentationen or pur des en tiers2, 3 ,4 et 5 .

2° S oitxun réel ayant une représentation en or pur de teneur en or égale àn. (a)

M ontrerqu e

nÉxÇ'nÅ1. (b) M ontrerqu ela r eprésentationen o rp urd "unr éel,si el leexist e,est u nique. 3° S oitxun réel non nul ayant une représentation en or pur. (a) E xprimerl at eneuren or d ela r eprésentatione no rpur d exà l"aide des fonctions logarithme népérien et partie entière. (b) É crireu nalgor ithmep ermettantde déter minercett er eprésentation. (c)

A ppliquerv otrealgor ithmep ourxAE2018.

4° M ontrerqu "unréel e nor p ossèdefor cémentune r eprésentationen or p ur. 5° M ontrerqu "ilexist edes réels st rictementpositifs q uine sont pas en or . 7quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35

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