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Óai 2012

RecWoraW Te ClermonW-ŃerranT - IRNÓ Te ClermonW-ŃerranT 1

LES BACTERIES

Table des matières

Fiche professeur .................................................................................................................................. 2

Fiche élève 1 ........................................................................................................................................ 5

FicUe élève 2 ........................................................................................................................................ 6

............................................................................... 7 ............................................................................. 10 Tąche compledže produite par l'acadĠmie de Clermont-ŃerranT

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Fiche professeur

¾ Niveaux et objectifs pédagogiques

4e J écriWureVH calculV ; uWiliVaWion Te la

calculaWrice

3e J réinveVWiVVemenW TeV noWionV précéTenWeV.

¾ Modalités de gestion possibles

1) En deux temps (fiche élève 1) :

TeV cUaWV »H miVe en commun eW correcWion

en claVVe. Calcul Tu nombre 324 (Wravail inTiviTuel puiV évenWuellemenW par Teux). individuelle, travail en groupes, mise en commun.

Dans les deux cas J

LeV calculV peuvenW Ve faire en uWiliVanW la calculaWriceH maiV leV élèveV scientifique (à partir de 321e en inWroTucWion au Wravail Vur leV puiVVanceV. On pourra alorV leur TemanTer Te Wrouver le réVulWaW (exacW) en Ve VervanW Te la calculaWrice eW en eff

exposant et effectuer les premières manipulations des écritures avec exposants, puis introduire

aleur exacte et sur celui regroupements intéressants. ¾ Degré de prise en main de la part du professeur

Premier degré.

¾ Situation

On a obVervé que le nombre Te bacWérieV a éWé mulWiplié par 3 WouWeV leV UeureV à parWir Tu momenW où

Par combien le nombre Te bacWérieV a-W-il éWé mulWiplié au bouW Te 24 UeureV ?

¾ Supports et ressources de travail

Calculatrice, éventuellement tableur.

Par combien le nombre de bactéries a-W-il éWé mulWiplié au bouW Te 24 UeureV ? PréVenWer la TémarcUe

eW leV calculV Vur papier (ou WranVparenW). Tąche compledže produite par l'acadĠmie de Clermont-ŃerranT

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RecWoraW Te ClermonW-ŃerranT - IRNÓ Te ClermonW-ŃerranT 3 socle commun

PraWiquer une TémarcUe

VcienWifique ou WecUnologiqueH

réVouTre TeV problèmeV

CapaciWéV VuVc

évaluéeV en ViWuaWion

CriWèreV Te réuVViWe

Réaliser, manipuler, mesurer,

calculer, appliquer des consignes

Calculer.

multiplications.

Raisonner, argumenter,

pratiquer une démarche expérimentale ou technologique, démontrer

PropoVer une TémarcUe Te

réVoluWion : choisir, adapter une méthode, un protocole.

NxploiWer leV réVulWaWV :

confronter le résultat obtenu au résultat attendu. rassemblant plusieurs facteurs (324 = 320 x 81 ou 324 = (312)2 sans nécessairement reprendre ces notations. calculatrice et fait le lien avec le " 1011 » affiché.

Présenter la démarche suivie,

les résultats obtenus, communiq langage adapté

Présenter, sous une forme

appropriée, une situation (avec une formulation adaptée), un questionnement, une conjecture, une démarche (aboutie ou non), un algorithme, un résultat, une solution. claire les calculs effectués, en utilisant éventuellement parfois la notation puissance.

Savoir utiliser des

connaissances et des compétences mathématiques

évaluées en situation

Critères de réussite

Nombres et calculs ÓobiliVer TeV écriWureV

ÓaîWriVer Te manière

auWomaWiVée leV WableV Te mulWiplicaWion pour effecWuer un calcul réflécUiH un calcul poVé.

Óener à bien un calcul

inVWrumenWé (calculaWriceH

Wableur).

Wableur.

opéraWionV effecWuéeV eW leV noWaWionV (par exemple J 324 =

320 x3x3x3x3 = 320 x 34)H puiV

par 3.

LeV opéraWionV VonW juVWeV.

" expoVanW » Te Va calculaWrice. approcUée afficUée par la calculaWrice eW Von réVulWaWH faiW le lien enWre leV 12 cUiffreV Tu nombre eW le " 1011 » afficUé. Tąche compledže produite par l'acadĠmie de Clermont-ŃerranT

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¾ Dans leV programmeV TeV niveaux viVéV

Niveaux ConnaiVVanceV CapaciWéV

4e Comprendre la notation an

des égalités telles que a2 x a3 = a5 ; (ab)2 = a2b2.

Utiliser la notation scientifique.

¾ Aides ou " coupV Te pouce »

Pourquoi faut-il calculer à la main ce nombre ? CommenW avaiW-on Wrouvé leV réponVeV précéTenWeV ?

Pourquoi la calculaWrice ne permeW-

CommenW peuW-on uWiliVer la calculaWrice pour ne garTer que WrèV peu Te calculV à faire manuellemenW ?

ƒ aide à la démarche de résolution

Ecrire en ligne tous les calculs à effectuer.

PeuW-on gagner Tu WempV pour effecWuer ceV calculV ?

ƒ apport de connaissanceV eW Te Vavoir-faire

Rappel des propriétés de la multiplication.

¾ Approfondissement et prolongement possibles

Chercher différentes méthodes de calcul, en utilisant la notation puissance pour leur présentation.

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Fiche élève 1

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1. La TevineWWe

Dans un bus, il y a 7 enfants. Chaque enfant a 7 sacs. Dans chaque sac se trouvent 7 cUaWV. CUaque cUaW a 7 bébéV cUaWV.

Combien y a-W-il Te cUaWV TanV le buV ?

2. LeV bacWérieV

n de bactéries.

On a obVervé que le nombre Te bacWérieV a éWé mulWiplié par 3 WouWeV leV UeureV à parWir

Par combien le nombre Te bacWérieV a-W-il éWé mulWiplié au bouW Te 24 UeureV ? PréVenWer la TémarcUe eW leV calculV Vur papier (ou WranVparenW). Tąche compledže produite par l'acadĠmie de Clermont-ŃerranT

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Fiche élève 2

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On a obVervé que le nombre Te bacWérieV a éWé mulWiplié par 3 WouWeV leV UeureV à parWir

a commencé. Par combien le nombre Te bacWérieV a-W-il éWé mulWiplié au bouW Te 24 UeureV ? PréVenWer la TémarcUe eW leV calculV Vur papier (ou WranVparenW). Tąche compledže produite par l'acadĠmie de Clermont-ŃerranT

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RecWoraW Te ClermonW-ŃerranT - IRNÓ Te ClermonW-ŃerranT 7 J

Cette narration corresponT à la première moTaliWé Te geVWion propoVée. Le VupporW Te Wravail éWaiW un

polycopié propoVanW leV Teux exerciceV J " » eW " LeV bacWérieV les bactéries étant dans une forme plus détaillée que celle présentée au-TeVVuV J

On a obVervé que le nombre Te bacWérieV a éWé mulWiplié par 3 WouWeV leV UeureV à parWir Tu

Par quel nombre le nombre iniWial Te bacWérieV a-W-il éWé mulWiplié a. Au bouW Te 2 UeureV ? b. Au bouW Te 5 UeureV ? c. Au bouW Te 8 UeureV ?

T. Au bouW Te 24 UeureV ?

Le Wravail a éWé mené en 4e, en introduction au travail sur les puissances.

LeV Teux exerciceV Tu polycopié onW éWé TonnéV en recUercUe à la maiVonH la correcWion Ve faiVanW Te

manière " claVVique » par TeV élèveV venanW préVenWer inTiviTuellemenW au Wableau leur Wravail.

Nx 1 J RapiTemenWH cerWainV élèveV penVenW à noWer 74 pour 7 x 7 x 7 x 7. chats J 73 + 74 Nx 2 J Le nombre Te réponVeV erronéeV eVW imporWanW (3 x 2 au lieu Te 32). Calcul Te 32, puis 35, puis 38, puis 324 J inWroTucWion Te la WoucUe " expoVanW ». 24

scientifique) J je leur TemanTe alorV Te calculer à la main (calculaWrice WouW Te même auWoriVée) ceWWe

valeur.

IlV auronW à préVenWer leurV calculV Vur une feuille blancUeH TeVWinée à êWre pUoWocopiée Vur

WranVparenW pour expoVer leV TifférenWeV méWUoTeV uWiliVéeV. Il reVVorW alorV Te nombreuVeV égaliWéV WelleV que J

324 = 320 x 34 = 320 x 3 x 3 x3 x 3 = 320 x 81 eW 324 = 312 x 312 = (312)2 = (38)3.

J le lien enWre ceW afficUage eW la valeur exacWe Ve faiW rapiTemenWH 11, c'est-à- avance » 11 foiV la virguleH ce qui amène " preVque » à 282 429 536 affiché (5 pour 481). que et son utilisation pour donner des valeurs approchées

TeV granTV nombreV.

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Exemples de productions J

LeV copieV VuivanWeV VonW TeV copieV inTiviTuelleVH non abouWieV par manque Te WempV (fin Te

Véance). LeV élèveV VonW venuV au Wableau réVumer leur méWUoTe Te calcul en uWiliVanW la noWaWion

puiVVance lorV Te la Véance VuivanWe (leur copie éWanW préVenWée à la claVVe par WranVparenW)H ce qui a

puiVVance » J la Les items : " Choisir une méthode, » ; " poser un calcul » ; " présenter la démarche » ; " utiliser différentes écritures » ; " confronter le résultat au résultat attendu » ont souvent pu être évalués positivement lors du compte rendu. " Bonne élève » ayant été invitée à résumer son calcul en utilisant la notation puissance, puis à proposer différentes méthodes.

324 = 320 x 34 = 320 x 3 x 3 x 3 x 3

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324 = 38 x 316

Cette méthode a permis de ne

ion.

38 x 34 = 312, puis 324 = 312 x 312 = (312) 2.

Ici aussi, une seule multiplication a été

posée.

324 = 320 x 34 = 320 x 81.

pas écrire, a apprécié la notation ! Tąche compledže produite par l'acadĠmie de Clermont-ŃerranT

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Narration de séance et produc

Déroulement des séances avec une classe de 4e

Les séances viennent après 3 semaines de travail sur le théorème des milieux et le théorème de

TUalèV.

La WâcUe complexe a éWé poVée VouV ceWWe forme J

Un laboraWoire faiW TeV recUercUeV Vur l

On a obVervé que le nombre Te bacWérieV a éWé mulWiplié par 3 WouWeV leV UeureV à parWir Tu momenW où

Par combien le nombre iniWial Te bacWérieV a-W-il éWé mulWiplié au bouW Te 24 UeureV ?

Séance 1 J LeV élèveV commencenW à Wravailler inTiviTuellemenW (5 minuWeV). Pour ceWWe acWiviWéH

WouWeV leV reVVourceV VonW à leur TiVpoViWion. LeV TocumenWV Te courVH livreVH calculaWriceVH eW orTinaWeurV VonW auWoriVéV. Pour Te nombreux élèveVH la première réponVe eVW J " bacWérieV ».

Il y a confuVion enWre le moTèle aTTiWifH la répéWiWion TGun ajouW Te 3H eW Tu moTèle mulWiplicaWifH

répéWiWion TGune mulWiplicaWion par 3. NoWonV que ceWWe erreur eVW perViVWanWe. LeV élèveV confonTenW eW nombre relaWif non nul eW enWier. Il ne VGagiW paV Te la confuVion TeV écriWureV maiV TeV WypeV Te problèmeV faiVanW appel au réperWoire aTTiWif eW au réperWoire mulWiplicaWif. CeWWe confuVion eVW probablemenW enWreWenue par le faiW Te Tire répéWé foiV pluWôW que facWeurV égaux à

MGauWreV commencenW à calculer

Un poinW eVW faiW oralemenW Vur la compréUenVion Tu VujeW maiV aucune VoluWion nGeVW évoquée.

CGeVW alorV que leV élèveV VonW miV en groupeV (Te 3 ou 4). LeV groupeV VonW forméV à leur

convenance par affiniWéV.

La VoluWion qui conViVWe à aTopWer un moTèle aTTiWif eVW alorV miVe en TéfauW par leV auWreV membreV

Tu groupe. IlV Ve renTenW compWe que le nombre Te bacWérieV TèV leV premièreV éWapeV eVW beaucoup

pluV granT que 72...

Un Veul groupe réViVWe eW eVW TGaccorT Vur la VoluWion Te 72 bacWérieV. Je leur TemanTe Tonc TGécrire

convient pas. Tąche compledže produite par l'acadĠmie de Clermont-ŃerranT

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RecWoraW Te ClermonW-ŃerranT - IRNÓ Te ClermonW-ŃerranT 11 Rapidement dans la classe le produit de 24 facteurs égaux à 3 arrive comme VoluWion.

Il leur reVWe à effecWuer ceWWe mulWiplicaWion eW à Tonner lGécriWure Técimale exacWe Te ce nombre.

CerWainV écrivenW WouWeV leV éWapeV eW calculenW à cUaque éWapeH TGauWreV écrivenW uniquemenW le

réVulWaW. TouV leV groupeV Ve VervenW Te la calculaWrice pour Wrouver lGécriWure Técimale Tu nombre.

Ceux qui onW faiW éWape par éWape VonW bloquéV à lGéWape 21. Nn effeW la calculaWrice Tonne un nombre

écriW à lGaiTe Te puiVVanceV Te 10. La noWaWion puiVVance nGa paV éWé vue eW ilV ne VavenW paV lire ce

nombre. IlV me TemanTenW Tonc ce que cela veuW Tire. Je leur explique alorV que

Vignifie

Ils comprennent qu'il s'agit de multiplications par 10 et donc qu'il s'agit de déplacer la virgule. J'aurais

pu cUoiVir Te ne paV leur Tonner lGécriWure eW Te leV laiVVer cUercUer Vur leur manuel. LeV réVulWaWV VonW

TonnéV par la calculaWrice.

Le nombre initial de bactéries n'étant pas donné, certains raisonnent avec une bactérie, un autre

groupe avec 10. Tąche compledže produite par l'acadĠmie de Clermont-ŃerranT

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RecWoraW Te ClermonW-ŃerranT - IRNÓ Te ClermonW-ŃerranT 12 L'écriWure conTenVée VouV forme Te puiVVance permeW Te renTre lGécriWure pluV liVible. LGinWroTucWion Tu calcul liWWéral ne poVe paV Te problème majeur.

ParallèlemenWH un auWre groupe a commencé à calculer en poVanW leV mulWiplicaWionV à la main eW en

faiVanW TeV regroupemenWV. CommenW organiVer leV calculV pour en faire le moinV poVVible ?

MGun auWre côWéH cerWainV qui réiWèrenW la mulWiplicaWion par 3 en appuyanW 23 foiV Vur la calculaWrice VonW

bloquéV pour la même raiVon. Ce groupe reVWe arrêWé par ceW obVWacle.

LGun TeV groupeV me TemanTe lGaccèV à lGorTinaWeur. IlV eVVaienW Te Wrouver le réVulWaW grâce à la

calculaWrice Te lGorTinaWeur maiV Ve reWrouvenW bloquéV par le même problème TGécriWure. IlV eVVaienW

alorV TGuWiliVer le Wableur. Tąche compledže produite par l'acadĠmie de Clermont-ŃerranT

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RecWoraW Te ClermonW-ŃerranT - IRNÓ Te ClermonW-ŃerranT 13 LeV colonneV nGéWanW paV aVVeY granTeV lGorTinaWeur ne leur Tonne paV la VoluWion.

A la fin Te lGUeure ilV vonW TanV la celluleH cUangenW le " formaW » eW finiVVenW par Wrouver le nombre

exacW (282 429 536 481). LeV auWreV groupeV voienW leurV camaraTeV Vur lGorTinaWeur eW VavenW quGilV onW Wrouvé. IlV VonW inWriguéV eW Ve TemanTenW VGil fauW uWiliVer lGorTinaWeur eW pour quoi faire. Travail pour la séance suivante J réviVer leV ficUeV Vur le foncWionnemenW Tu Wableur.

Séance 2 J Nn plénière

AprèV un bref rappel Te lGénoncé Tu problèmeH jGinWroTuiV la noWaWion puiVVance aux élèveV. AvanW

même que je ne lGinWroTuiVeH ce moW éWaiW Téjà VorWi maiV aucun ne VavaiW réellemenW ce que cela

NouV uWiliVonV une feuille Te J " NW Vi leV

5, de 4, de 10.

IlV voienW là lGinWérêW TGune Welle noWaWion qui pe

Contrairement à un enseignement classique où la question " ça VerW à quoi ? » apparaîWH ici aucun

élève ne le TemanTe eW WouV paraiVVenW convaincuV par une Welle noWaWion. Tąche compledže produite par l'acadĠmie de Clermont-ŃerranT

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Nous nous arrêtons de donner les réVulWaWV au bouW Te 21 UeureV Te proliféraWion TeV bacWérieV. NouV

faiVonV le poinW Vur leV piVWeV WrouvéeV par leV TifférenWV groupeV. Meux groupeV onW Wrouvé un nombre final Te bacWérieV au bouW Te 24 UeureV J le groupe Wableur

un groupe qui a réuVVi à écrire le réVulWaW en parWanW Tu réVulWaW Te la calculaWrice eW en

ajouWanW leV YéroV néceVVaireV. NouV confronWonV alorV leV réVulWaWV VanV expliquer la TémarcUe.

Problème J

Le groupe Wableur Wrouve J 282 429 536 481. Le groupe calculaWrice Wrouve J 282 429 536 500. LeV réVulWaWV VonW TifférenWV ! Qui a WorW ? Qui a raiVon ? Je TemanTe aux auWreV élèveV Te réVouTre le problème Te la même manière -ci Vur papier. Tąche compledže produite par l'acadĠmie de Clermont-ŃerranT

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Séance 3 J Nn plénière

Bref rappel du problème.

LeV élèveV VonW WouV convaincuV que le réVulWaW Wrouvé par le Wableur eVW juVWe maiV alorV pourquoi le

réVulWaW Wrouvé par lGun TeV groupeV eVW-il TifférenW eW par conVéquenW faux ? IlV penVenW avoir faiW une

erreur Te calcul. Le groupe explique alorV Von raiVonnemenW. NouV reprenonV WouV enVemble Von cUeminemenW. Ceci me permeW TGinWroTuire pour WouV leV puiVVanceV Te Tix. NouV remarquonV le faiW VuivanW grâce aux

TéWailV TeV calculV J

Là encore ilV voienW lGinWérêW TGuWiliVer la noWaWion puiVVance.

LeV calculV TeV élèveV VonW juVWeV maiV pourquoi un réVulWaW TifférenW enWre calculaWrice eW orTinaWeur ?

Un élèv J " LGorTinaWeur eVW pluV puiVVanW ». IlV finiVVenW par comprenTre que la calculaWrice eVW limiWée.

VoiW égal à 282 429 536 500

(réVulWaW calculaWrice).

LouiV nouV TiW J " Le réVulWaW eVW un mulWiple Te 3 » eW Yann réWorque J " LeV Teux TernierV cUiffreV

ToivenW êWre TanV la Wable Te 3 !

112 est alors un multiple de 3 selon la règle énoncée par Yann. EVW-ce vrai ? Avec la calculaWrice

AlorV commenW reconnaîWre un mulWiple Te WroiV ? La réponVe ne vienW paV. Je leur TemanTe J " CommenW reconnaîWre leV mulWipleV Te Teux ? LeV mulWipleV Te 5 ? NW Te 9 ? »

ŃinalemenW ilV reWrouvenW le criWère concernanW la Vomme TeV cUiffreV. On imagine que Vi perVonne

RevenonV au problème.

LorVquGon faiW la Vomme TeV cUiffreV Te 282 429 536 500H on Wrouve 46 qui nGeVW paV mulWiple Te 3. Monc le nombre Wrouvé par la calculaWrice nGeVW paV mulWiple Te 3 ce qui eVW impoVVible pour NouV eVVayonV Te vérifier Vi leV nombreV WrouvéV par la calculaWrice à parWir Te

VonW mulWipleV Te

3. NouV WrouvonV J

Au bout de Nombre trouvé par la calculatrice Multiple de 3

21 U 10 460 353 200 oui

22 U 31 381 059 610 non

23 U 94 143 178 830 oui

24 U 282 429 536 500 non

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Certains élèvent pensent que si le nombre est multiple de 3 alors le résultat de la calculatrice eVW juVWe.

Je leur propoVe Tonc Te réflécUir au brouillon Vur le problème VuivanW J " NVW-ce que eVW égal à 333 ? 333 eVW-il mulWiple Te 3 ? ». Un TébaW eVW alorV amorcé. 333 eVW mulWiple Te 3 ( qui vauW cGeVW à Tire 81.

NouV ne pouvonV paV affirmer que Vi leV réVulWaWV WrouvéV par la calculaWrice VonW mulWipleV Te 3 alorV

CommenW Wrouver alorV la valeur Te

VanV orTinaWeur ?

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