Baccalauréat S Antilles-Guyane 20 juin 2016
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Baccalauréat S - 2016 - APMEP
[Corrigé du baccalauréat S Antilles-Guyane 20 juin 2016 EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats Partie A 1 a Arbrepondéré: 065 A D 008 092 D 035 B D 005 095 D b Les évènements A et B forment une partition de l’univers on a donc d’après la formule desprobabilités totales : p ³ D ´ =p ³ A ?D ´ +p ³ B ?D
Baccalauréat S - 20 juin 2016 - APMEP
[Baccalauréat S Antilles-Guyane 20 juin 2016 EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats Les valeurs approchées des résultats seront données à 10?4 près Les parties Aet B sont indépendantes Partie A Un fabricant d’ampoules possède deux machines notées A et B La machine A fournit 65 de la
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Baccalauréat 2016 - S Antilles-Guyane Série S Obli et Spé 20 juin 2016 Correction Like Math93 on Facebook / Follow Math93 on Twitter / Remarque : dans la correction détaillée ici proposée les questions des exercices sont presque intégralement réécrites pour faciliter la lecture et la compréhension du lecteur
EXERCICE15points
Commun à tous les candidats
Les valeurs approchées des résultats seront données à10-4près.Les partiesAetBsont indépendantes
PartieA
Un fabricant d"ampoules possède deux machines, notées A et B. La machine A fournit 65 % de laproduction,et lamachine Bfournit le reste.Certaines ampoules présentent un défaut defabrication:
à la sortie de la machine A, 8 % des ampoules présentent un défaut; à la sortie de la machine B, 5 % des ampoules présentent un défaut.On définit les évènements suivants :
A: "l"ampoule provient de la machine A»;
B: "l"ampoule provient de la machine B»;
D: "l"ampoule présente un défaut».
1.On prélève un ampoule au hasard parmi la production totale d"une journée.
a.Arbre pondéré représentant la situation : A 0,65? D 0,08 D0,92 B 0,35? D 0,05 D0,95 b.On utilise la formule des probabilités totales : p? D? =pA?D?×p(A)+pB?D?
×p(B)=0,92×0,65+0,95×0,35=
0,598+0,3325=
0,9305.
c.pD(A)=p?
A∩
D? p?D? =0,5980,9305≈0,6427.2.On prélève 10 ampoules au hasard parmi la production d"une journée à la sortie de la machine
A. La taille du stock permet deconsidérer les épreuves commeindépendantes et d"assimiler les
tirages à tirages avec remise.NotonsNle nombre d"ampoules sans défaut. On a répétition d"épreuves identiques indépen-
dantes à deux issues;Nsuit la loi binomialeB(10 ; 0,92).On sait quep(X=k)=?10
k?0,92k×(1-0,92)10-k. p(N?9)=1-p(N?8)≈0,8121(calculé à la calculatrice)
PartieB
1.On rappelle que siTsuit une loi exponentielle de paramètreλ(λétant un réel strictement
positif) alors pour tout réel positifa,P(T?a)=? a 0λe-λxdx.
Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.
a.P(T?a)=1-P(T0=1-?-e-λa-(-1)?=e-λa.
b.PT?t(T?t+a)=p([T?t]∩(T?t+a)) (loi de durée de vie sans vieillissement). Tqui suit la loi exponentielle d"espérance 10000. a.On sait que pour une loi exponentielle, l"espéranceE(T) estE(T)=1On a donc
1λ=1000 d"oùλ=0,0001.
b.P(T?5000)=e-0,0001×5000=e-0,5≈0,6065
c.P(T?7000)(T?12000)=P(T?5000)≈0,6065 (d"après 1. b.)PartieC
L"entreprise a cherché à améliorer la qualité de sa production et affirme qu"il n"y a pas plus de 6 %
d"ampoules défectueuses dans sa production. Une association de consommateurs réalise un test sur
un échantillon et obtient 71 ampoules défectueuses sur 1000.1.On ap=0,06,n=1000.
n?30
np=60?5
n(1-p)=9400?5
Les conditions sont réunies pour qu"on puisse calculer un intervalle de fluctuation asympto- tique au seuil de 95 %. I 95=?p-1,96? p(1-p)?n;p+1,96? p(1-p)?n? [0,0452 ; 0,0748].
2.La fréquence observée d"ampoules défectueuses estf=0,71
1000=0,071.
f?I95. Au risque d"erreur de 5 %, on il n"y a pas lieu de remettre en cause l"affirmation de l"entreprise.EXERCICE23points
Commun à tous les candidats
On munit le plan complexe d"un repère orthonormé direct?O ;-→u,-→v?
On noteCl"ensemble des pointsMdu plan d"affixeztels que|z-2|=1.1.Soit A le point d"affixe 2.|z-2|=1??AM=1 doncCest le cercle de centre A et de rayon 1.
2.M(z)?C∩D???|z-2|=1
y=ax???y=ax x-2+iax|=1. Le discriminant estΔ=16-12?1+a2?=4-12a2=4?1-3a2?. Pourqu"ilyaituneintersection, ilfautquecette équationaitaumoins unesolution réelle,donc queΔ?0.On doit avoir 1-3a2?0, donc
-?1 3?a?? 1 3.On peut alors distinguer trois cas :
Antilles-Guyane220 juin 2016
Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.
Premiercas.a??
-∞;-?3 3? 33;∞?
: aucun point d"intersection.Deuxième cas.a=±?
33: un seul point d"intersection (la droite et le cercle sont tangents).
Troisième cas.a??
3 3;? 3 3? : deux points d"intersection.EXERCICE37points
Commun à tous les candidats
PartieA
On considère la fonctionfdéfinie pour tout réelxparf(x)=xe1-x2.1.Pour toutx?=0,f(x)=xe×e-x2=e
x×x2ex2. lim x→+∞? ex2 x2? =limX→+∞eXX++∞(croissances comparées).Donc lim
x→+∞?x2 ex2? =0 .Comme lim
x→+∞?e x? =0, on en déduit quelimx→+∞f(x)=0. f(x)=e x×x2ex2. On admettra que la limite de la fonctionfen-∞est égale à 0.2. a.f=uevavec?u(x)=x
u ?(x)=1et?v(x)=1-x2 v ?(x)=-2x. f ?=u?ev+u×v?evd"où : f ?(x)=e1-x2+x×(-2x)e1-x2= ?1-2x2?e1-x2. b.Comme e1-x2>0,f?(x) est du signe de 1-2x2.1-2x2=0??x2=1
2??x= ±?
12= ±?
22et 1-2x2est positif (signe opposé à celui
du coefficient dex2) entre les racines. f? 1 2? 1 2e1 2=-?2 2e1 2=-?22×e=-?
2e 2etf? 1 2? 2e 2.Tableau de variations :
x-∞ -?2 2? 22+∞
f?(x)-0+0- f(x) 0? ???-?2e 2?? 2e2????0
PartieB
On considère la fonctiongdéfinie pour tout réelxparg(x)=e1-x.Sur le graphique ci-dessous, on a tracé dans un repère les courbes représentativesCfetCgrespecti-
vement des fonctionsfetg.Antilles-Guyane320 juin 2016
Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.
0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0-0,5-1,0-1,5-2,0-2,5
-0,5 -1,0 -1,50,51,01,52,02,5
Cf Cg Le but de cette partie est d"étudier la position relative de ces deux courbes.1.Il semble queCfsoit en dessous deCget que les deux courbes soient tangentes en un point.
2.Soitx?0;f(x)=xe1-x2?0 carx?0 et e1-x2>0 etg(x)=e1-x>0, doncf(x) 3.Dans cette question, on se place dans l"intervalle ]0 ;+∞[.
On pose, pour tout réelxstrictement positif,Φ(x)=lnx-x2+x. xe-x2? ln (e-x)(car la fonction ln est croissante). cela équivaut à lnx-x2?-x??lnx-x2+x?0?? Φ(x)?0.
On admet pour la suite quef(x)=g(x) équivaut àΦ(x)=0. b.Φ?(x)=1 x-2x+1=-2x2+x+1xqui est du signe de-2x2+x+1 carx>0. On calcule le discriminant :Δ=9>0 : il y a deux racines :-1 2et 1.
Cette expression est négative (du signe du coefficient dex2, donc de -2) en dehors de l"intervalle formé par les racines. Φ(1)=0.
On en déduit le tableau de variations deφ:
x0 1+∞ Φ?(x)+0-
Φ(x)??
??0 c.Le maximum deΦ(x) estΦ(1)=0 donc, pour toutx>0,Φ(x)?0. 4. a.Φ(x)?0??f(x)?g(x) doncCfest bien en dessous deCg.
Antilles-Guyane420 juin 2016
Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.
b.f(x)=g(x)??Φ(x)=0??x=1 donc les deux courbes ont un point commun, A, de coordonnées (1; 1). c.f?(1)=-1 :g?(x)=-e1-xdoncg?(1)=-1. En A, les deux tangentes ont l même coefficient directeur, donc les deux courbes ont même tangente. PartieC
1.On poseu(x)=1-x2; alorsu?(x)=-2xdoncx=-1
2u?(x) d"oùf=-12u?(x)eu(x).
Une primitive estF(x)=-1
2eu(x)=-12e1-x2.
2. 1 0? e1-x-xe1-x2? dx=? 1 0 [g(x)-f(x) dx]. Une primitive deg-festG-Favec
(G-F)(x)=-e1-x-? -1 2e1-x2?
=12e1-x2-e1-x. 1 0? e1-x-xe1-x2? dx=(G-F)(1)-(G-F)(0)=?1 2-1? -?12e-e? e-1 2. 3.Ce résultat correspond à l"aire en unités d"aire du domaine compris entreCg,Cfet les droites
d"équationx=0 etx=1. EXERCICE 4
EXERCICE45points
Candidatsn"ayantpas suivi l"enseignementde spécialité ABCDEFGHest un cube d"arête égale à 1.
L"espace est muni du repère orthonormé
(D;--→DC,--→DA,--→DH). Dans ce repère, on a :
D(0 ; 0 ; 0),C(1 ; 0 ; 0),A(0 ; 1 ; 0),
H(0 ; 0 ; 1) etE(0 ; 1 ; 1).
SoitIle milieu de [AB].
CC? BB? GG? FF DD?AA?
HH ?EE JJ? II?quotesdbs_dbs4.pdfusesText_7
3.Dans cette question, on se place dans l"intervalle ]0 ;+∞[.
On pose, pour tout réelxstrictement positif,Φ(x)=lnx-x2+x. xe-x2? ln (e-x)(car la fonction ln est croissante). cela équivaut à lnx-x2?-x??lnx-x2+x?0??Φ(x)?0.
On admet pour la suite quef(x)=g(x) équivaut àΦ(x)=0. b.Φ?(x)=1 x-2x+1=-2x2+x+1xqui est du signe de-2x2+x+1 carx>0. On calcule le discriminant :Δ=9>0 : il y a deux racines :-12et 1.
Cette expression est négative (du signe du coefficient dex2, donc de -2) en dehors de l"intervalle formé par les racines.Φ(1)=0.
On en déduit le tableau de variations deφ:
x0 1+∞Φ?(x)+0-
Φ(x)??
??0 c.Le maximum deΦ(x) estΦ(1)=0 donc, pour toutx>0,Φ(x)?0.4. a.Φ(x)?0??f(x)?g(x) doncCfest bien en dessous deCg.
Antilles-Guyane420 juin 2016
Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.
b.f(x)=g(x)??Φ(x)=0??x=1 donc les deux courbes ont un point commun, A, de coordonnées (1; 1). c.f?(1)=-1 :g?(x)=-e1-xdoncg?(1)=-1. En A, les deux tangentes ont l même coefficient directeur, donc les deux courbes ont même tangente.PartieC
1.On poseu(x)=1-x2; alorsu?(x)=-2xdoncx=-1
2u?(x) d"oùf=-12u?(x)eu(x).
Une primitive estF(x)=-1
2eu(x)=-12e1-x2.
2. 1 0? e1-x-xe1-x2? dx=? 1 0 [g(x)-f(x) dx].Une primitive deg-festG-Favec
(G-F)(x)=-e1-x-? -12e1-x2?
=12e1-x2-e1-x. 1 0? e1-x-xe1-x2? dx=(G-F)(1)-(G-F)(0)=?1 2-1? -?12e-e? e-1 2.3.Ce résultat correspond à l"aire en unités d"aire du domaine compris entreCg,Cfet les droites
d"équationx=0 etx=1.EXERCICE 4
EXERCICE45points
Candidatsn"ayantpas suivi l"enseignementde spécialitéABCDEFGHest un cube d"arête égale à 1.
L"espace est muni du repère orthonormé
(D;--→DC,--→DA,--→DH).Dans ce repère, on a :
D(0 ; 0 ; 0),C(1 ; 0 ; 0),A(0 ; 1 ; 0),
H(0 ; 0 ; 1) etE(0 ; 1 ; 1).
SoitIle milieu de [AB].
CC? BB? GG? FFDD?AA?
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