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CHAPITRE 4

Les fractions algébriques

1. Définition et exemples

Définition. Une fraction algébrique est une fraction qui contient des variables1.

Exemples.

2 1 2x x+ est une fraction algébrique de la variable x. Si par exemple x=2, cette fraction vaut 8 3. a b ab -2 est une fraction algébrique des variables a et b. Si par exemple a=3 et b=2, alors cette fraction est égale à 7.

Remarque importante. Une fraction algébrique existe si et seulement si son dénominateur ne

s"annule pas. Retenons donc :

Condition d"existence :

a bb existeÛ ¹0

Exemples.

2 1 2x x+ existe Û+¹Û¹-xx101. a b ab -2 existe Û-¹Û¹a b a b0.

2. Simplification et amplification

a) Simplifier une fraction algébrique par un réel non nul m signifie : diviser le numérateur et le

dénominateur de cette fraction par m.

Simplification par

0m≠ : a

b a b m m

Exemples de simplification.

4 62
32
3x yx yx y=

×=2

2 (Simplification par 2)

▪ 3 5 3 5 3 5 2ab b ab ab=×

×=b

b (Simplification par b) x x xx x xx 2 3 31

3 1 3+

× +=bgb g (Simplification par x+1)

Attention ! On peut seulement simplifier une fraction algébrique par un facteur commun du

numérateur et du dénominateur. Avant de simplifier une fraction, il faut donc factoriser le

numérateur et le dénominateur (cf. dernier exemple ci-dessus). En général, on simplifie la fraction

par le plus grand commun diviseur (pgcd) du numérateur et du dénominateur.

1 Une variable est une lettre représentant un nombre réel quelconque.

2Contre-exemples.

▪ On ne peut pas simplifier la fraction x+2

4 par 2 puisque 2 n"est pas un facteur du numérateur.

▪ On ne peut pas simplifier la fraction x x 21
1 + par x puisque x n"est pas un facteur du numérateur, ni du dénominateur. On peut néanmoins simplifier la fraction par x+1 à condition de factoriser d"abord le numérateur : x xx x xxx21 11 1 1 11 11-

× +=-= -bgbgb g.

b) Amplifier une fraction algébrique par un réel non nul m signifie : multiplier le numérateur et le

dénominateur de cette fraction par m. L"amplification est donc le contraire de la simplification.

Amplification par m :

a b a b=× ×m m

Exemples d"amplification.

2 32
34
6x yx yx y=

×=2

2 (Amplification par 2)

▪ 3 5 3 5 3 5

2ab ab ab

b=×

×=b

b (Amplification par b) xx x xx x x31

3 1 3 32

+bgb g (Amplification par x+1)

3. Somme et différence de fractions algébriques

Faisons la somme (ou la différence) de deux fractions de même dénominateur : a b c b a c b± =± Faisons la somme (ou la différence) de deux fractions quelconques : a b c d a b c d ad bc bd± =× ±d db b

Expliquons :

· Dans la 1re formule les fractions ont même dénominateur : il suffit alors d"additionner (ou de

soustraire) les numérateurs sur ce dénominateur commun.

· Dans la 2e formule les fractions n"ont pas le même dénominateur : il faut alors amplifier

chacune d"elles pour obtenir un dénominateur commun. Ici, le dénominateur commun (le plus

simple) est le produit des deux dénominateurs b et d. En général, le dénominateur commun est

le plus petit commun multiple (ppcm) de tous les dénominateurs intervenant dans la somme. Donnons quelques exemples afin d"éclaircir la notion de ppcm. a b a b a b 46
3 12 2 12 3 2

12+ = + =+ ppcm 4 6 12,bg=

4 3 4 3 4 3

2 2 2 2

xx x xx x x+ = + =+ ppcmx x x,2 2ch= 7 123
2035
609

6035 9

60a
xb yay xybx xyay bx xy- = - =- ppcm 12 20 60x y xy,bg=

3▪

4 13 14 1

1 13 1

1 1x xx

x xx x x+--=- + -bgb gb gbgb gb g ppcmx x x x+ - = + -1 1 1 1,bgbgbg + -4 1 3 1 1 1

4 4 3 3

1 1 7

1 1x x

x x x x x x x x xbgbgb gb g b gbg b gbg

Voici un dernier exemple plus compliqué :

1 1 1 4

213 2-++

--- +a a aaaa -1 11 14 1 1 11 1 14 1 1 11 14 1 1 11 14 1 1 4 1 2 1 1 2 1 1 1 12 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2a a a a a a a a a a a a a a a a a a aa a aa a a a a a a a a a a a a a a a a a a ac h b g b gb g b g b g bgb gb g b g b g b g b gc hbgbgb g

4. Produit et quotient de fractions algébriques

Pour faire le produit de deux fractions, il est inutile de prendre un dénominateur commun : a b c d a c bd× =×

En particulier : acd

a c d a c d× = × =× 1

Laisser le dénominateur du

résultat sous forme factorisé !!

Avant de chercher le dénominateur commun,

il faut factoriser tous les dénominateurs !!

Remarquer les facteurs opposés a-1 et 1-a

Avant de chercher le dénominateur commun,

simplifier si possible les fractions !!

Le dénominateur commun est :

ppcma a a a a a- - - = -1 1 1 12 2, ,bgbgejbg

Factoriser le résultat si possible, i.e.

· laisser le dénominateur sous forme

factorisée et · factoriser si possible le numérateur du résultat

4Exemples.

3 25
23 5
2 215 4x y ax y ax ay× =× a aa a aa a a a aa a a a a aa a- + - +=+2

3 1 42

3 1 42 1

3 1 2 2 3 22

22

2b gbgchb gc hbgbgb gb gb g b g

Voici la formule donnant le quotient de deux fractions : a b c d a bc da bd cad bc= ¸ = × =

En particulier :

a b c a b c a bc a bc= ¸ = × =1 1 et : a c d a c da d cad c= ¸ = × =1 1

Exemples.

2 42
42
41
22
2 2 x x xx x x x= × = = a b c a bc a bc 2 32
1

36= × =

a b c a c bac b 2 3 13 23

2= × =

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