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(?)P(X) = 0. ?????Q?? ????? ?? ?????2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ????? ?? ?????3? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ????? ?? ?????4? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ???? ??????? ????R?? L/K? [E:K] = [E:L][L:K]. ??E/L? ????? ??? ??? ???? ??E/K? ?? ???? ? ???μi,j???? ????K? ?? ? ???? x=? i,juivj. i,juivj= 0???? ???μi,j????K. 0 =? i,juivj=? i,jui)vj, ?? ????K(M)? ??K(x1,···,xr)??M??? ????M={x1,···,xr}? ??? ????M??N???? ??????? ??L? ????? ?? ?

K(M?N) =K(M)(N) =K(N)(M).

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K(M) =?

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K:Z????K=ZpZ→K,

K?L

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Z I x={P?K[X]/ P(x) = 0}. ????? ??K[X]?[K(x) :K] = degirr(x,K;X)??K[x] =K(x)?

K[X](irr(x,K;X))?K[x].

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σ(s(X)) =s(P(X)) = 0,

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X={u?Z / u /?u}.?

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X?X??X /?X

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L=K(x)?K[X](P(X)),

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λ?F(X-λ)

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K=K[XP/ P?K[X]-K],

K=?

F?{XP}P?K[X]-K,FfiniK[XP/ P?F].

1P1(XP1) +···+QrPr(XPr) = 1

??????? ???? ????K[T1,···,Tn] i(T1,···,Tn)Pi(Ti) = 1. L ∞? ???? ?? ??????n?N??? ???P(X)?Ln[X]? ??? ?????P(X)? ??? ?????? ????τ:E→L??σ?E?

τ?F?? ???? ??? ?? ????? ???S?

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θ:F(x)?F[X](P(X))

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P(α)-P(pq

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σi(X) =Pi(X) =λi?

K[X](P(X))?K(x)??K[X](P(X))?K(y)

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N=Q(±4⎷2,±i4⎷2) =Q(4⎷2,i)?

Q(i)?

Q(i+⎷2)?

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σ(K)σ-1-→Kτ-→F

[E:K]s= [E:L]s[L:K]s. S

E/K,σ=?

τ?SL/K,σS

E/L,τ

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0 =σ(P(x)) =P(σ(x)),

??P(X)? ????? ???? ??????

K(x)?K[X](P(X))?K(y)?Ω

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Q(X) =λ?

y i?Ω??? ???ypn X pn-xi=Xpn-ypn i= (X-yi)pn?? ?? ?

P(X) =Q(Xpn) =λ?

i) =λ? deg(irr(x,K;X)) = deg(P(X)) =pnδ=pn[K(x) :K]s, X P(X) =Q(Xp)??Q(X) =Xp+TX+T?K[X]? ?? ?????? ???Q?(X) =

T?= 0?

[K(x) :K] = [K(x) :K]s. [L:K] =pn[L:K]s, K? [L:K] = [L:K]s. K? K

0?K1? ··· ?Kr.

[Ki-1:Ki] =pni[Ki-1:Ki]s. [L:K] =pn1+···+nr[L:K]s. ? ????ni= 1???? ????i? ??? ?????[L:K] = [L:K]s? [L:K]s= [L:K] = [L:K(x)][K(x) :K] =pn[L:K(x)]spm[K(x) :K]s=pn+m[L:K]s, ????m= 0? ????? ? ????[K(x) :K] = [K(x) :K]s? ?????? ???? ???? ???x?K(x1,···,xr)???? ??????? ??????K0=K??Ki= ??????? ??E?

P(X) = irr(x,L;X) =Xd+a1Xd-1+···+ad

[L:Ls]s= 1, [L:K]s= [Ls:K] = [Ls:K]s. irr(y,Ls;X) =Q(Xpn)

Q(X) = irr(ypn,Ls;X).

degQ= 1??

σ:L-→Lalg

Hom Hom

α(L,Ω)-→Homα(E,Ω).

E=Ls? irr(x,K;X) =Q(Xpn),

Q(X) = irr(xpn,K;X).

K?K(xpn)?K(x),

irr(x,K(xpn);X) =Xpn-xpn,

K(x)s=K(xpn),

L s=K({xpnx/ x?L}).

K]s= 1?

K? [L:K]s= 1.

1 = [L:K]s= [L:K(x)]s[K(x) :K]s,

[L:K]s=o(G), ??o(G)??????? ??????? ??G? ?????L? ?? ???? L

G={x?L / g(x) =x?g?G}.

Gal(L/LG) =G.

L s∩LG=K , Ls·LG=L,

K]s= 1?

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??? ???? ????? ?K? ???????xp? ????n >0? ??????y=xpn-1? ????? ?? ??????? ??NG?? ?????p???K? ??? ??L???K? L ?????K??K(x)?????K?E?K(x)?? ?????? irr(x,E;X) =Xd+a1Xd-1+···+ad.?

K(a1,···,ad)?E ,[L:E] =d

E=K(a1,···,ad).

K?K(x1)?K(x1,x2)? ··· ?K(x1,···,xi)? ··· ?K(x1,···,xr).

K(x1+λx2) =K(x1+μx2).

1+λx2, x1+μx2?K(x1+λx2),

(x1+λx2)-(x1+μx2) = (λ-μ)x2?K(x1+λx2), ???? ?? ??????? ???x2? ????x1? ???? ????K(x1+λx2)? ?? ? ?????? (1) Hom

E1(L,Ω) = HomE2(L,Ω).

(3) Hom

E1(L,Ω)?HomE(L,Ω).

????σ?HomK(L,Ω)?? ???

σ(x1+λx2)?=x1+λx2.

card({σ(x1+λx2)/ σ?HomK(L,Ω)}) = [L:K], ?????[L:K]? ???? ??? ???? ??????? ?????K(x1+λx2)?L? ?? ?? ???????K(x1+λx2) =L? ???HomQ(Q(4⎷2),C)? ????Gal(Q(4⎷2,i)/Q)? ?? ??????? ???Q(4⎷2,i) =

Q(4⎷2 +i)?

x??L?????? N

L/K(x) =?

σ?HL/Kσ(x),

L/K(x) =?

σ?HL/Kσ(x),

irr(x,K;X) =Xd+a1Xd-1+···+ad N

K(x)/K(x) = (-1)dad??TrK(x)/K(x) =-a1.

L/K:L?-→K?

L/K:L-→K

L/K= NE/K◦NL/E??TrL/K= TrE/K◦TrL/E.

Hom

K(K(x),Kalg)? ?? ? ????Kalg[X]

irr(x,K;X) =Xd+a1Xd-1+···+ad=?

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E/K= HomK(E,Kalg) ={σ1,···,σd}

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L/K(x) =?

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L/K(x) = TrK(x)/K(x)δ.

K K Hom {σ?◦τ / τ?HomE(L,Kalg)}. ????? ??σ?? ???? ?? ?????? ??[L:E] = card(HomE(L,Kalg))? ?? ??? ? ???? ? ????Kalg N

L/K(x) =?

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L/K(x) =?

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L/K(x) =?

i(NL/E(x)) = NE/K(NL/E(x)). {τ◦σ?/ τ?HomE(L,Kalg)}.quotesdbs_dbs31.pdfusesText_37

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K(M?N) =K(M)(N) =K(N)(M).

K(M) =?

F?M,FfiniK(F).

˜?K:Q→K,

K:Z????K=ZpZ→K,

K↑ ??L

K[X](irr(x,K;X))?K[x].

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X={u?Z / u /?u}.?

X?X??X /?X

L=K(x)?K[X](P(X)),

λ?F(X-λ)

K=K[XP/ P?K[X]-K],

F?{XP}P?K[X]-K,FfiniK[XP/ P?F].

1P1(XP1) +···+QrPr(XPr) = 1

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P(X) =λ?

N=Q(±4⎷2,±i4⎷2) =Q(4⎷2,i)?

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σ(K)σ-1-→Kτ-→F

E/K,σ=?

τ?SL/K,σS

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0 =σ(P(x)) =P(σ(x)),

K(x)?K[X](P(X))?K(y)?Ω

Q(X) =λ?

P(X) =Q(Xpn) =λ?

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0?K1? ··· ?Kr.

P(X) = irr(x,L;X) =Xd+a1Xd-1+···+ad

Q(X) = irr(ypn,Ls;X).

σ:L-→Lalg

α(L,Ω)-→Homα(E,Ω).

Q(X) = irr(xpn,K;X).

K?K(xpn)?K(x),

K(x)s=K(xpn),

K]s= 1?

1 = [L:K]s= [L:K(x)]s[K(x) :K]s,

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K]s= 1?

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K(a1,···,ad)?E ,[L:E] =d

E=K(a1,···,ad).

K(x1+λx2) =K(x1+μx2).

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E1(L,Ω) = HomE2(L,Ω).

E1(L,Ω)?HomE(L,Ω).

σ(x1+λx2)?=x1+λx2.

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σ?HL/Kσ(x),

L/K(x) =?

σ?HL/Kσ(x),

K(x)/K(x) = (-1)dad??TrK(x)/K(x) =-a1.

L/K:L?-→K?

L/K:L-→K

L/K= NE/K◦NL/E??TrL/K= TrE/K◦TrL/E.

K(K(x),Kalg)? ?? ? ????Kalg[X]

σ?HK(x)/K(X-σ(x)),

E/K= HomK(E,Kalg) ={σ1,···,σd}

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L/K(x) = TrK(x)/K(x)δ.

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