[PDF] Rappel de cours : Polynômes et fractions rationnelles Notations

View - Download Rappel de cours : Polynômes et fractions rationnelles Notations

Previous PDF

Next PDF

Rappel de cours : Polyn^omes et fractions rationnelles

Notations

Kdesigne un corps. Dans toute la suite, on prendraK=RouC. On note

K[X] =fpolyn^omes a coecients dansKg

K n[X] =fpolyn^omes a coecients dansKde degreng

Polyn^omes : des objets algebriques

Un polyn^ome est deni comme une suite de coecients nulle a partir d'un certain rang :

P= (a0;a1;:::;an;0;0;::::)

On munit l'ensemble des polyn^omes ainsi deni d'une addition et d'une multiplication qui en fait une structure d'anneau (cf. algebre). En denissantl'indetermineecomme le polyn^ome X= (0;1;0;0;0;0:::) (deni par ses coecients), le polyn^omePs'ecrit naturellement :

P(X) =nX

k=0a kXk C'est cette forme que l'on manipule usuellement, et qu'on a tendance a confondre avecla fonc- tion polyn^omiale associee, qui est la fonction denie surKparP(x) =Pn k=0akxkoux est une variable dansK(donc un nombre reel ou un nombre complexe) cette fois.Evaluer un polyn^omeen unz2Kc'est donner la valeur de la fonction polyn^omiale en cez. Quelques proprietes utiles liees a la nature algebrique Une p olyn^omeest n ulssi tous s esco ecientsson tn ulsd 'oul eprincipe d'identication: deux polyn^omes sont egaux ssi ils ont m^eme coecients Il est b onde s'in teresserau degred'un polyn^ome (indice du plus grand coecient non nul) qui verie les proprietes : deg(PQ) = deg(P) + deg(Q);deg(P+Q)max(deg(P);deg(Q)) Le polyn^ome derivepeut ^etre deni de maniere purement algebrique : P

0(X) =nX

k=1ka kXk1

Arithmetique dans l'anneau des polyn^omes

Les notions d'arithmetique (divisibilite, pgcd, nombres premiers) ont ete vues dansZ. On peut aussi denir la divisibilite et la notion cle de division euclidienne pour les polyn^omes : {QjP:QdivisePssi il existe un poly^omeBtel queP=QB 1 {division euclidienne dePparQ: il existe des uniques polyn^omesBetRveriant :

P=BQ+Ret deg(R) (la condition sur le degre du reste est tres importante et permet par exemple quand le degre deQest assez faible de determinerR) Le PGCD(Plus Grand Commun Diviseur) s'obtient comme dansZpar l'algorithme d'Euclide (en utilisant donc des divisions euclidiennes successives) Un p olyn^omeest dit irr eductiblesi ses seuls diviseurs son tPetpour2K Racines et decomposition en produit de facteurs irreductibles Par denition,est racine dePsiest un zero de la fonction polyn^omiale associee.

On a les proprietes suivantes :

{P() = 0,(X)jP {Theoreme de d'Alembert-Gauss: Tout polyn^ome dansC[X] admet une racine (a priori complexe donc). Ces deux ingredients nous permettent de caracteriser les polyn^omes irreductibles dansRouC et nous donnent les decompositions en facteurs irreductibles suivantes : Decomposition en produit de facteurs irreductibles surCSoitP2C[X]. Il existe u2C,l2N, (1;:::;l)2Clet (k1;:::;kl)2Nluniques tels que :

P(X) =ulY

i=1(Xi)ki Decomposition en produit de facteurs irreductibles surRSoitP2R[X]. Il existe : {u2R,l2N, (1;:::;l)2Rl, (k1;:::;kl)2Nl, {r2N, (1;:::;r);(

1;:::;

r)2Rravec2j4 j<0 et (m1;:::;mr)2Nr uniques tels que

P(X) =ulY

i=1(Xi)kirY j=1(X2+jX+ j)mj Un polyn^ome n'ayant que des facteurs de degre 1 dans sa decomposition en produit de facteurs irreductibles est ditscinde: en particulier tout polyn^ome a coecient dansRouCest scinde surC. En pratique...Chercher la decomposition revient d'abord a determiner les racines (complexes ou reelles) deP. Pour cela il faut savoir : r esoudredes equationsp olyn^omialesd'ordre 2 rep ererdes racines evidenteset factoriser par ces racines (c addiviser PparXlorsque est racine sa voirr esoudredans Cl'equationzn= 1 ie conna^tre les racinesn-emes de l'unite utiliser des p olyn^omesbicarr es 2 Racinen-emesOn rappelle que l'equationzn= 1 ansolutions qui sont : n ei2kn ;k2 f0;:::;n1go Il est equivalent de donner la factorisation surCdu polyn^omeXn1 : X n1 =n1Y k=0

Xei2kn

Fractions rationelles

Une fraction rationnelle est une expression de la formeP=Q, ouPetQsont deux polyn^omes premiers entre eux. C'est donc pour les polyn^omes ce que sont les nombres rationnels pour les nombres entiers. Nous allons etudier les fractions rationnelles pour les polyn^omes reels et complexes. Commencons par les polyn^omes complexes, pour lesquels la situation est plus simple. Polyn^omes complexesSoientP;Q2C[X], premier entre eux, et soienta1;:::;akles racines deQ, de multiplicitesm1;:::;mk. Alors on la decomposition PQ =E+kX i=1m iX m=1c i;m(Xai)m;(1) pour un polyn^omeEet des constantesci;m. Cette decomposition est unique. Vocabulaire: On appelle la decomposition precedente ladecomposition en elements simples. Le polyn^omeEest appelle lapartie entiere, et le reste lapartie polaire. Lesa1;:::;aksont appeles lesp^olesde la fraction rationnelleP=Q, d'ordresrespectifsm1;:::;mk. Pour chaquei, la constanteci;1est appele leresidudu p^oleai. Pour trouver la decomposition ci-dessus, il existe une multitude de methodes. En principe, tout est permis (du moins qu'on le justie bien!). Voici quelques suggestions : a) On p euttrouv erla p artieen tiereen eectuan tune division euclidienne (n ecessaireseule- ment si degPdegQ). On peut alors continuer avec le reste de la division (la partie polaire) ou alors avec la fraction rationnelle du depart. b) P ourtrouv erles co ecientsci;mi, une methode assez generale est de multiplier les deux cotes de l'equation (1) parQet de faire une identication des coecents des polyn^omes ainsi obtenus. Cette methode a pourtant plusieurs inconvenients : D'une part elle necessite souvent plus de calculs que d'autres methodes. D'autre part, elle necessite etudier tous les p^oles a la fois, alors que souvent en pratique on ne s'interesse qu'a certains d'entre eux. Finalement, elle ne s'etend pas forcement a l'etude de fonctions plus generales que les fractions rationnelles. c) Une m ethodesouv entplus simple et rapide est d' evaluerla f ractionrationnelle en des points bien choisis. Par exemple, pour touti, on trouve le coecientci;mien multipliant la fraction rationnelle par (Xai)miet en l'evaluant enai(ATTENTION : Ceci ne marche que pour les coecentsci;mi, pas pour lesci;m, avecm < mi!). Autrement dit : On cherche le polyn^omeQi, tel queQ= (Xai)mQi, puis on aci;mi=P(ai)=Q(ai). Ici, il est souvent commode d'utiliser le fait queQi(ai) =Q(mi)(ai)=mi!, ouQ(m)designe lam-ieme derivee deQ. 3 d)P ourtrouv erl esco ecientsrestan ts,on p eut i) evaluerla fraction rationelle en d'au tresp oints, ii) etudierle comp ortementde la fraction rationnelle (en tan tque f onction)quand x! +1(peut-^etre en multipliant/divisant au prealable parXkpour un certaink), iii) m ultiplierpar ( Xai)miet faire un developpement limite enai, iv) soustraire les termes d'ordre sup erieuret con tinuera vecle r esultatde la soustraction, v) faire une iden tication(v oirp oint2). Polyn^omes reels.Ici, comme les polyn^omesX2+bX+cavecb24c <0 sont irreductibles, la decomposition en elements simples prend la forme PQ =E+kX i=1m iX m=1c i;m(Xai)m+lX j=1p iX p=1d j;pX+ej;p(X+bjX+cj)p;(2) pour un polyn^omeEet des constantes reellesci;m,dj;p,ej;p,ai,bj,cj, avecb2j4cj<0 pour toutj.

Comment trouve-t-on cette decomposition?

a) Quand le p olyn^omeest scind edans R, c'est comme dansC! b) Si le p olyn^omen'est pas scind edans R, on peut alors faire la decomposition comme pour un polyn^ome complexe, puis sommer les termes correspondants aux p^oles conjugues. Alternativement, on peut travailler directement avec la representation (2) en adaptant les methodes decrites ci-dessus aux termes avec denominateur de second ordre. Par exemple, on a les possibilites suivantes : i) P ourtout j, on peut trouver le polyn^omedj;pjX+ej;pjen multipliant la fraction rationnelle par (X+bjX+cj)pjet en l'evaluant en une racine (complexe) deX+ b jX+cj. ii) P ourles co ecientsrestan ts,on p ourrafaire une iden ticationapr esa voirm ultiplie les deux cotes de (2) parQ. 4quotesdbs_dbs31.pdfusesText_37

[PDF] fraction algébrique 3ème exercices

[PDF] domaine d'une fonction definition

[PDF] condition d'existence math

[PDF] condition de germination des graines 6eme

[PDF] pour germer une graine a besoin

[PDF] tp de germination des graines pdf

[PDF] conditions germination graines pdf

[PDF] la germination des graines cours pdf

[PDF] les étapes de la germination pdf

[PDF] tp germination graines 6ème

[PDF] conditions de germination d'une graine de haricot

[PDF] définition du travail selon karl marx

[PDF] le travail selon hegel

[PDF] qu'est ce que le travail en philosophie

[PDF] le travail selon kant