[PDF] Logique : vrai/faux ; condition nécessaire suffisante ou nécessaire





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Logique - Condition nécessaire ; condition suffisante

Ces mots tentent de donner un lien logique entre deux propositions ou propriétés plus précisément une relation de cause à effet. Exemple : Pour avoir mon bac 



Fiche AP – Condition nécessaire et suffisante

Prenons un exemple de phrase du langage courant : Pour faire une omelette il faut que je casse des œufs . ? Condition nécessaire.



Fonctions entières de type exponentiel comme multiplicateurs. Un

exemple et une condition nécessaire et suffisante Cette condition nécessaire portant sur la grandeur globale de W



CS CN et CNS : Les trois types de conditions

nécessaire car Pierre peut aussi passer son examen par un autre moyen comme la fraude par exemple. La condition suffisante est toujours transcrite par 



Induction: corrigés

Contre-exemples dans le cas d'arguments utilisant des propositions universelles («Tous les chats sont gris»). • Condition nécessaire et condition suffisante 



Condition nécessaire/condition suffisante Cours

Nous allons voir qu'une phrase conditionnelle peut être formulée de diverses manières. L'exemple donné dans le paragraphe 1 sera repris jusqu'au paragraphe 6. 1 



Condition nécessaire et suffisante

Il faut et il suffit que P soit vraie pour que Q soit vraie. Exemple. La proposition « Si le quadrilatère ABCD est un losange alors le quadrilatère ABCD est un.



Logique : vrai/faux ; condition nécessaire suffisante ou nécessaire

(b) Pour justifier que V est vraie il suffit de trouver un a (nommé un exemple) tel que A soit vraie. 2 Les opérateurs logiques. Le ET logique : A est vraie. A 



Compacité par compensation : condition nécessaire et suffisante de

condition nécessaire et suffisante de continuité faible de régularité et de croissance a l'infini sur f : par exemple si u varie dans.



Outils Maths dAide à la Décision - Chapitre II La maximisation dune

Attention cette condition nécessaire n'est pas suffisante. Page 7. Exemples de conditions premières. Donner les conditions nécessaires de l'optimum pour 



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Exemple : « Si x et y sont tous deux négatifs alors xy ? 0 » peut se dire aussi « x ? 0 et y ? 0 ? xy ? 0 » ou encore « il suffit que x et y soient tous 



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B est une condition nécessaire et suffisante pour A Exemple : Le théorème de Pythagore (énoncé direct et réciproque) peut s'énoncer ainsi :



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Exemple : « Les diagonales d'un quadrilatère ABCD se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires » est une condition nécessaire et suffisante pour « ABCD 



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Exemple La proposition « Si le quadrilatère ABCD est un losange alors le quadrilatère ABCD est un parallélogramme » est VRAIE A B D C Elle peut se 



[PDF] Logique : vrai/faux ; condition nécessaire - Denis Vekemans

"Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que A soit vraie" il s'agit de trouver une condition B telle que A ?? B 2 Page 3 Exercice 1 1



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on définit ensuite la notion de démonstration (en décidant par exemple de ce Les expressions « Condition nécessaire et suffisante (CNS) » « si et 



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propositions directe réciproque contraposée ; • Utiliser à bon escient les expressions "condition nécessaire" "condition suffisante" ;



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Contre-exemples dans le cas d'arguments utilisant des propositions universelles («Tous les chats sont gris») • Condition nécessaire et condition suffisante 



Logique - Mathraining

Conditions nécessaires et suffisantes Exemple Quand on dit "À minuit je dors" on formule l'implication entre "P : Il est minuit" et "Q : Je dors"

  • Quelle est la différence entre condition nécessaire et condition suffisante ?

    On dit que : Q est une condition nécessaire pour avoir P si dès que P est vraie, alors nécessairement, forcément, obligatoirement Q est vraie. Q est une condition suffisante pour avoir P s'il suffit que Q soit vraie pour que P soit vraie.

  • C'est quoi la négation de p et q ?

    L'implication Q ? P s'appelle la réciproque (ou l'implication réciproque) de l'implication P ? Q. La négation de (P ? Q) est (P A Q). La contraposée de (P ? Q) est (Q ? P). La réciproque de (P ? Q) est (Q ? P).

  • Comment déterminer la valeur de vérité d'une proposition ?

    La valeur d'une proposition formés de deux propositions P et Q et d'un connecteur est calculée à partir des valeurs de vérité attribuées à P et à Q. Ainsi la valeur de vérité attribuée à « P et Q » sera « p.q » où « . » est la multiplication. En conséquence, P et Q est vrai si et seulement si P et Q sont chacun vrais.
  • La négation d'une implication n'est pas une implication
    Les quantificateurs : Soit P(x) une propriété dépendant de x. « Il existe x P(x) » (« ? x P(x) ») est vraie dans une structure donnée si et seulement « Pour tout x, non P(x) ?st fausse dans la structure.
Logique : vrai/faux ; condition nécessaire suffisante ou nécessaire

Logique : vrai/faux ; condition nécessaire,

suffisante ou nécessaire et suffisante ; et/ou ; connecteurs logiques (implication, équivalence)

Denis Vekemans

1 Le vrai ou faux

Vrai ou faux : une assertion mathématique est soit vraie, soit fausse. Dans le doute, elle est considérée

comme fausse.

Soit une assertion du type :

1.U= "quelque soita, on a l"assertionA"

(a) Pour justifier queUest vraie, on utilise la variableapourdémontrerA. (b) Pour justifier queUest fausse, il suffit de trouver una(nommé un contre-exemple) tel queA soit fausse.

2.V= "on peut trouveratel que j"ai l"assertionA"

(a) Pour justifier queVest fausse, on utilise la variableapourdémontrerqueAest fausse. (b) Pour justifier queVest vraie, il suffit de trouver una(nommé un exemple) tel queAsoit vraie.

2 Les opérateurs logiques

Le ET logique :

A est vraieA est fausse

B est vraieA ET B est vraieA ET B est fausse

B est fausseA ET B est fausseA ET B est fausse

Le OU logique :

?Laboratoire de mathématiques pures et appliquées Joseph Liouville ; 50, rue Ferdinand Buisson BP 699 ; 62 228 Calais

cedex ; France 1

A est vraieA est fausse

B est vraieA OU B est vraieA OU B est vraie

B est fausseA OU B est vraieA OU B est fausse

L"implication :AimpliqueB. On la noteA?B.

L"implicationA?Best vraie lorsque siAest vraie, alorsBl"est aussi. Si l"implicationA?Best vraie, il est possible que l"implication :B?A, soit fausse. On dit alors queAimpliqueB, mais que la réciproque est fausse. Si l"implicationA?Best vraie, il est possible que l"implication :B?A, soit également vraie. On dit alors queAetBsont équivalentes et on noteA??B. L"assertion contraire : lorsqueAest vraie est équivalente àBest fausse, on dit queAetBsont des assertions contraires et on noteB= A.Aest vraie et son contraireAest fausse, sont deux assertions

équivalentes.

La contrapposée : l"implicationA?Best vraie et l"implication

B?Aest vraie sont deux implications

équivalentes.

3 Plusieurs types de démonstrations usuels

La démonstration par contrapposée : pour montrerA?B, on va montrer B?A. La démonstration par l"absurde : pour montrerA?B, on va supposer queAest vraie et queBest fausse pour aboutir à une contradiction.

La démonstration par exhaustion : pour montrerA?B, on va décrire l"ensemble de tous les cas qui

permettent de réaliserA:A1,A2,...etAp, et montrer queA1?B,A2?B,...etAp?B.

4 "Il faut" et "Il suffit"

LorsqueA?B, on dit qu"il suffitqueAsoit vraie pour queBle soit aussi, mais on dit également que lorsqueAest vraie,il fautqueBle soit aussi. DansA?B, le "il suffit" porte sueAet le "il faut" porte surB.

Lors d"une question du type :

1. "Trouver une condition suffisante pour queAsoit vraie", il s"agit de trouver une conditionBtelle

queB?A;

2. "Trouver une condition nécessaire pour queAsoit vraie", il s"agit de trouver une conditionBtelle

queA?B;

3. "Trouver une condition nécessaire et suffisante pour queAsoit vraie", il s"agit de trouver une

conditionBtelle queA??B. 2

Exercice 1

1. Donner un exemple choisi dans le domaine numérique d"assertionAvraie. Donner l"assertion

contraire.

2. Même question dans le domaine géométrique.

3. Donner un exemple choisi dans le domaine numérique d"implicationA?Bvraie, telle que l"impli-

cationB?Asoit fausse. Vérifier alors que l"implication

B?Aest vraie.

4. Même question dans le domaine géométrique.

5. Donner un exemple choisi dans le domaine numérique d"équivalenceA?B.

6. Même question dans le domaine géométrique.

7. Donner un exemple choisi dans le domaine numérique ou géométrique de démonstration par l"ab-

surde.

Solution 1

1. L"assertion "A: 2≥0" est vraie. L"assertion contraire "A: 2<0" est fausse.

2. Dans un carré, l"assertion "A:les diagonales sont perpendiculaires" est vraie, mais l"assertion

contraire " A:les diagonales ne sont pas perpendiculaires" est fausse.

3. Pourx?R, "x= 1 =?x2= 1" est une implication vraie, mais l"implication réciproque "x2=

1 =?x= 1" est fausse (contre-exemple :x=-1).

Cependant, la contrapposée "x2?= 1 =?x?= 1" est vraie.

4. "ABCDest un carré =?(AC)?(BD)" est une implication vraie, mais l"implication réciproque

"(AC)?(BD) =?ABCDest un carré" est fausse (contre-exemple :ABCDun losange non carré). Cependant, la contrapposée "(AC)???(BD) =?ABCDn"est pas un carré" est vraie.

5. "x= 1??2×x+ 3 = 5".

6. "ABCDest un parallélogramme??[AC] et [BD] ont même milieu".

7. "Six+y= 1 etx×yest maximum, alorsx=y".

Par l"absurde, six?=y, on définitx?=y?=x+y

2. On ax?×y?=?x+y2?

2> x×ycar?x-y2?

2>0. Ainsi,x?+y?= 1 etx?×y?> x×y, ce qui contredit le fait quex×ypuisse être maximal.

Exercice 2[Grenoble, Lyon (2001)] Alice, perdue dans la Forêt de l"oubli, ne se souvenait jamais du jour

de la semaine. Heureusement, un Lion et une Licorne visitaient souvent cette forêt étrange et pouvaient

parfois la tirer de cette embarrassante ignorance. Alice savaitque lundi, mardi et mercredi, le Lion ne

disait jamais une phrase vraie et ne mentait pas pendant le restede la semaine. La Licorne ne faisait que

mentir jeudi, vendredi et samedi et disait la vérité pendant les autres jours. 3

1. Alice surprit un jour la conversation suivante entre le Lion etla Licorne

- Lion :Hier, je mentais. - Licorne :Moi aussi.

Alice avait un raisonnement logique infaillible. Elle a pu en déduire le jour de la semaine. Indiquez

ce jour et le raisonnement utilisé.

2. Une autre fois, Alice rencontra seulement le Lion qui prononçales deux phrases suivantes

-Je mentais hier. -Je mentirai de nouveau dans trois jours. Quel jour cette rencontre a-t-elle eu lieu? Justifier la réponse.

3. Déterminer quels jours la phrase suivante a pu sortir de la gueule du Lion

-Hier, je mentais et je mentirai de nouveau demain.

Justifier la réponse.

D"après Raymond Smullyan,What is the name of this book?, Penguin books. Solution 2Un petit tableau pour résumer les données ...

Le LionMMMVVVV

La LicorneVVVMMMV

M: ment;V: dit la vérité.

1. (a) Premier cas

: le Lion dit la vérité. Dans ce cas, on est jeudi car il doit être vrai que le Lion mente laveille. La licorne ment donc

(voir tableau). Il faudrait donc que le mercredi soit un jour où elle dit la vérité, ce qui est vrai.

(b) Second cas : le Lion ment.

Dans ce cas, on est lundi car il doit être faux que le Lion mente laveille. La licorne dit donc la

vérité (voir tableau). Il faudrait donc que le dimanche soit un jour où elle ment, ce qui est faux.

Synthèse

. Parmi les deux cas, seul le premier fournit une solution et cette solution estjeudi.

2. (a) Premier cas

: le Lion dit la vérité.

Dans ce cas, on est jeudi car il doit être vrai que le Lion mente laveille. Il faudrait aussi que le

dimanche soit un jour où il ment, ce qui est faux. (b) Second cas : le Lion ment. Dans ce cas, on est lundi car il doit être faux que le Lion mente laveille. Il faudrait aussi que le jeudi soit un jour où il dit la vérité, ce qui est vrai.

Synthèse

. Parmi les deux cas, seul le second fournit une solution et cette solution estlundi.

3. (a) Premier cas

: le Lion dit la vérité.

Dans ce cas, on est jeudi car il doit être vrai que le Lion mente laveille. Il faudrait aussi que le

vendredi soit un jour où il ment, ce qui est faux. 4 (b) Second cas: le Lion ment.

Dans ce cas, soit il disait la vérité la veille, soit il disait la vérité le lendemain (car la négation

de "AETB" est "

AOUB"). Ainsi, on est soit lundi, soit mercredi.

Synthèse

. Parmi les deux cas, seul le second fournit une solution et cette solution est indéterminée : soit lundi, soit mercredi (les deux solutions conviennent).

Exercice 3Deux joueurs font la "course à 10 par pas de 2" : le premier joueur choisit 1 ou 2, puis

chacun, à tour de rôle, ajoute 1 ou 2 au résultat de son adversaire; le gagnant est celui qui annonce 10

en premier. Par exemple, dans la première partie, le joueur Acommence et dit : "1"; le joueur B dit :

"1 + 2 = 3"; A dit : "3 + 2 = 5"; B dit "5 + 1 = 6"; A dit : "6 + 2 = 8"; B dit :"8 + 2 = 10" et gagne.

1. Dans la deuxième partie, le joueur A arrive à 7 et dit à B : "J"ai gagné!". Justifiez cette affirmation.

2. Dans la troisième partie, le joueur B commence, dit un nombre et annonce : "J"ai gagné!". Quel est

ce nombre?

3.Le jeu change!Deux joueurs font la "course à 10 par pas de 3 " : le premier joueur choisit 1, 2 ou

3, puis chacun, à tour de rôle, ajoute 1, 2 ou 3 au résultat de son adversaire; le gagnant est celui

qui annonce 10 en premier. Quel nombre le joueur qui commence la partie doit-il annoncer pour être sûr de gagner?

4.Le jeu change!Deux joueurs font la "course à 12 par pas de 3" : le premier joueur choisit 1, 2 ou

3, puis chacun, à tour de rôle, ajoute 1, 2 ou 3 au résultat de son adversaire; le gagnant est celui

qui annonce 12 en premier. Pourquoi le joueur qui commence est-il sûr de perdre?

5.Le jeu change!Nest un entier naturel strictement supérieur à 3. Deux joueurs font la "course à

Npar pas de 3" : le premier joueur choisit 1, 2 ou 3, puis chacun, àtour de rôle, ajoute 1, 2 ou 3

au résultat de son adversaire; le gagnant est celui qui annonceNen premier. Quelle(s) condition(s) nécessaire(s) et suffisante(s) doivent respecter les nombresNpour que le joueur qui commence soit sûr de gagner?

Solution 3

1. En effet, le joueur A qui a annoncé "7" gagne :

- si le joueur B dit alors "7 + 1 = 8", le joueur A dira "8 + 2 = 10" et gagnera - et, si le joueur B dit alors "7 + 2 = 9", le joueur A dira "9 + 1 = 10"et gagnera.

2. On a vu dans la question précédente que le joueur qui parvient en premier à 7 gagne.

On montrerait de la même façon que le joueur qui parvient en premier à 4 gagne, puis que le joueur

qui parvient en premier à 1 gagne.

Le joueur qui commence doit donc annoncer "1".

5

3. En reprenant la question 1 avec la nouvelle règle, un joueur qui annonce "6" gagne :

- si l"autre dit alors "6 + 1 = 7", le joueur qui a annoncé "6" dira"7 + 3 = 10" et gagnera; - si l"autre dit alors "6 + 2 = 8", le joueur qui a annoncé "6" dira"8 + 2 = 10" et gagnera;

- enfin, si l"autre dit alors "6 + 3 = 9", le joueur qui a annoncé "6" dira "9 + 1 = 10" et gagnera.

En reprenant la question 2 avec la nouvelle règle, un joueur quiannonce "2" a également gagné.

Et, celui qui commence doit donc annoncer "2" pour être sûr de gagner.

4. En reprenant la question 1 avec la nouvelle règle, un joueur qui annonce : "8" a gagné. En effet,

- si l"autre dit alors "8 + 1 = 9", le joueur qui a annoncé "8" dira"9 + 3 = 12" et gagnera; - si l"autre dit alors "8 + 2 = 10", le joueur qui a annoncé "8" dira "10 + 2 = 12" et gagnera;

- enfin, si l"autre dit alors "8+3 = 11", le joueur qui a annoncé "8" dira "11+1 = 12" et gagnera.

En reprenant la question 2 avec la nouvelle règle, un joueur quiannonce "4" a également gagné.

Cependant, quelque soit le choix du joueur qui commence, il estsûr de perdre car - s"il dit "1", l"autre dira "1 + 3 = 4" et gagnera; - s"il dit "2", l"autre dira "2 + 2 = 4" et gagnera; - enfin, s"il dit "3", l"autre dira "3 + 1 = 4" et gagnera.

5. Dans la "course àNpar pas de 3", le joueur qui joue en second est sûr de pouvoir atteindre tous

les multiple de 4 non nuls en adoptant la stratégie suivante : - si le joueur qui a commencé ajoute 1 (ou s"il dit "1" pour commencer), il ajoute 3 et parvient sur un multiple de 4 non nul : en effet, à deux, ils ont donc ajouté4 depuis un autre multiple de 4 et arrivent donc encore sur un multiple de 4 non nul; - si le joueur qui a commencé ajoute 2 (ou s"il dit "2" pour commencer), il ajoute 2 et parvient sur un multiple de 4 non nul : même raison que celle évoquée au point précédent; - enfin, si le joueur qui a commencé ajoute 3 (ou s"il dit "3" pour commencer), il ajoute 1 et

parvient sur un multiple de 4 non nul : même raison que celle évoquée au point précédent.

Il s"ensuit que siNest un multiple de 4 non nul, le joueur qui joue en second est sûr de gagner. Avec la même stratégie, on montrerait de la même façon que :

- le joueur qui commence en annonçant "1" est sûr de pouvoir atteindre toutes les valeurs du type

"4×k+ 1" aveckentier naturel;

- le joueur qui commence en annonçant "2" est sûr de pouvoir atteindre toutes les valeurs du type

"4×k+ 2" aveckentier naturel;

- le joueur qui commence en annonçant "3" est sûr de pouvoir atteindre toutes les valeurs du type

"4×k+ 3" aveckentier naturel.

Ainsi,

- si le nombreNest de la forme "4×k" aveckentier naturel (i.e. un multiple de 4), c"est le joueur qui joue en second qui est sûr de gagner; - et sinon (i.e. siNest de la forme "4×k+ 1", "4×k+ 2" ou "4×k+ 3" aveckentier naturel), c"est le joueur qui joue en premier qui est sûr de gagner. Condition nécessaire et suffisante requise : "Nne doit pas être multiple de 4." 6quotesdbs_dbs31.pdfusesText_37
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