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DERNIÈRE IMPRESSION LE21 juin 2015 à 9:13

ROC : Restitution organisées des

connaissances

Paul Milan

21 juin 2015

Les démonstrations suivantes sont à connaître. Les raisonnementsmis en oeuvre peuvent être demandés dans un contexte légérement différent. En particulier en ce qui concerne les équations différentielles et les suites récurrentes. Bien lire les pré-requis dans les questions ROC, on peut demanderune autre dé- monstration que celle vue en cours.

Bon courage!

Table des matières

1 Arithmétique2

1.1 Opération sur les multiples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Compatibilité avec la congruence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Le théorème de Bezout. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4 Le théorème de Gauss. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.5 Infinité des nombres premiers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

PAUL MILAN1TERMINALE S SPÉ

TABLE DES MATIÈRES

1 Arithmétique

1.1 Opération sur les multiples

Théorème 1 :Soit trois entiers relatifsa,betc. Siadivisebetcalorsadiviseb+c,b-cou toute combinaison linéaire deb et dec. Démonstration :On sait queadivisebetc, donc il existe deux entiers relatifs ketk?tels que : b=kaetc=k?a

On a alors :

b+c= (k+k?)a,b-c= (k-k?)aetαb+βc= (αk+βk?)a

Doncadiviseb+c,b-cetαb+βc

PAUL MILAN2TERMINALE S SPÉ

1. ARITHMÉTIQUE

1.2 Compatibilité avec la congruence

Théorème 2 :Soitnun entier naturel(n?2),a,b,c,ddes entiers relatifs vérifiant : a≡b(n)etc≡d(n)

La congruence est compatible :

1. avec l"addition :

a+c≡b+d(n)

2. avec la multiplication :

ac≡bd(n)

3. avec les puissances :

?k?Nak≡bk(n)

Démonstration :

1.

Compatibilitéavecl"addition.

On sait que :a≡b(n)etc≡d(n), donc(a-b)et(c-d)sont des multiples den. Il existe donc deux entiers relatifsketk?tels que : a-b=knetc-d=k?n En additionnant ces deux égalités, on obtient : a-b+c-d=kn+k?n (a+c)-(b+d) = (k+k?)n Donc(a+c)-(b-d)est un multiple den, donc d"après le théorème 2, on obtient : a+c≡b+d(n) 2.

Lacompatibilitéaveclamultiplication.

On sait que :a≡b(n)etc≡d(n), donc, il existe deux entiers relatifsket k ?tels que : a=b+knetc=d+k?n En multipliant ces deux égalités, on obtient : ac= (b+kn)(d+k?n) ac=bd+k?bn+kdn+kk?n2 ac=bd+ (k?b+kd+kk?n)n ac-bd= (k?b+kd+kk?n)n Donc(ac-bd)est un multiple den, donc d"après le théorème 2, on a : ac≡bd(n) 3.

Compatibilitéaveclespuissances.

On prouve cette compatibilité par récurrence surk, à l"aide de la compatibi- lité avec la multiplication.

PAUL MILAN3TERMINALE S SPÉ

TABLE DES MATIÈRES

1.3 Le théorème de Bezout

Théorème 3 :Égalité de Bezout

Soitaetbdeux entiers non nuls etD=PGCD(a,b)

Il existe alors un couple(u,v)d"entiers relatifs tels que : au+bv=D

Ce théorème est admis

Théorème 4 :Théorème de Bezout

Deux entiers relatifsaetbsont premiers entre euxsi et seulement si, il existe deux entiers relatifsuetvtels que : au+bv=1

Démonstration :

Danslesens?: Immédiat grâce à l"égalite de Bezout.

Danslesens?:

On suppose qu"il existe deux entiersuetvtels que :au+bv=1.

DoncDdivise 1. On a bienD=1.

Théorème 5 :Corollaire du théorème de Bezout L"équationax+by=cadmet des solutions entièressi et seulement sicest un multiple duPGCD(a,b).

Démonstration :

Danslesens?

ax+by=cadmet une solution(x0,y0).

CommeD=PGCD(a,b)diviseaetbil diviseax0+by0.

Ddivise doncc

Danslesens?

cest un multiple deD=PGCD(a,b).

Donc il existe un entier relatifktel que :c=kd

De l"égalité de Bezout, il existe deux entiers relatifsuetvtels que : au+bv=D

En multipliant park, on obtient :

auk+bvk=kD?a(uk) +b(vk) =c

Donc il existex0=ukety0=vktels queax0+by0=c

PAUL MILAN4TERMINALE S SPÉ

1. ARITHMÉTIQUE

1.4 Le théorème de Gauss

Théorème 6 :Soita,betctrois entiers relatifs non nuls. Siadivise le produitbcet siaetbsont premiers entre eux alorsadivisec.

Démonstration :

Siadivise le produitbc, alors il existe un entierktel que : bc=ka Siaetbsont premiers entre eux, d"après le théorème de Bezout, il existe deux entiersuetvtels que : au+bv=1

En multipliant parc, on a :

acu+bcv=corbc=ka, donc : acu+kav=c a(cu+kv) =c

Doncadivisec.

Propriété 1 :Soita,betctrois entiers non nuls. Sibetcdiviseaet sibetcsont premiers entre eux alorsbcdivisea Démonstration :Sibetcdivisea, il existe(k,k?)?Z2tel que :a=kb=k?c cdivise donckbet commebetcsont premiers entre eux, d"après le théorème de

Gauss,cdivisek.

Il existe donck???Ztel que :k=k??c. On a alors :a=k??bc.bcdivise alorsa.

PAUL MILAN5TERMINALE S SPÉ

TABLE DES MATIÈRES

1.5 Infinité des nombres premiers

Théorème 7 :Il existe une infinité de nombres premiers Démonstration :Supposons qu"il existe un nombre fini de nombres premiers : p

1,p2,...,pi, ...,pn.

PosonsN=p1×p2× ··· ×pi× ··· ×pn+1 D"après le critère d"arrêt,Nadmet un diviseur premier. Soitpice diviseur pre- mier. p idivisep1×p2× ··· ×pi× ··· ×pnetN. Il divise donc la différenceN-(p1×p2× ··· ×pi× ··· ×pn) =1. Ceci est impossible, donc l"hypothèse qu"il existe un nombre finide nombres pre- miers est absurde.

PAUL MILAN6TERMINALE S SPÉ

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