DIVISIBILITÉ ET CONGRUENCES
Démonstration : Si a divise b et b divise c alors il existe deux entiers relatifs k et k' tels que b = ka et c = k'b. Donc il existe un entier relatif l = kk'
(Chapitre 1 Cours Divisibilité et congruences dans Z)
q est le quotient et r le reste de la division euclidienne de a par b. (a est appelé le dividende). Démonstration : Soit a et b dans L avec b ? 0.
ROC : Restitution organisées des connaissances
Jun 21 2015 Les démonstrations suivantes sont à connaître. Les raisonnements mis en œuvre ... 1.2 Compatibilité avec la congruence . ... TERMINALE S SPÉ ...
TS – Spé maths Cours : DIVISIBILITE – DIVISION EUCLIDIENNE
TS – Spé maths Cours : DIVISIBILITE – DIVISION EUCLIDIENNE - CONGRUENCES On suppose que a a' [n] et on réalise une démonstration par récurrence sur p ...
Multiples. Division euclidienne. Congruence
Jun 25 2018 4.2 Compatibilité avec la congruence . ... TERMINALE S SPÉ ... Démonstration : Comme il s'agit d'une équivalence
Congruences. Critères de divisibilité.
Si a?d (mod n) avec 0?d<n alors d est le reste de la division euclidienne de a par n. Démonstration: a?d (mod n) donc a?d est un multiple de n donc il
Exercices congruences.pdf
Exercices sur les congruences. Exercice 1. Déterminer les congruences suivantes : 1) Modulo 5 des nombres suivants : 12 ; 45 ; 87 ; 12 ; 104.
PROPRIETES p-ADIQUES DE POLYNOMES CLASSIQUES
la démonstration de Barsky constitua l'outil de premières investigations visant de polynômes satisfaisant à la relation de congruence dite "de Honda".
Cours darithmétique
la démonstration n'est pas triviale sans bagage arithmétique. m'aider `a comprendre car j'ai entendu dire qu'elle était tr`es forte en maths
congruences.pdf
Principe des congruences. Les congruences sont très utiles car elles permettent de ramener des calculs avec de très grands nombres à des calculs avec des
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Démonstration : Si c divise a et b alors il existe deux entiers relatifs k et k' tels que a = kc et b = k'c Donc il existe un entier relatif l = mk + nk' tel
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Montrer qu'un nombre est divisible avec les congruences Démontrer que 24n+1 + 34n+1 est divisible par 5 quel que soit l'entier naturel n Disjonction de cas et
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Terminale S – Spécialité Cours : DIVISIBILITE ET CONGRUENCES DANS 2 Démonstration : Si ab et bc alors il existe deux entiers k et k' tels que b = ka
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Congruences Définition 1 1 Soit m a b entiers On dit que a est congru à b modulo m si m divise a ? b (On dit aussi que “a et b sont congrus modulo m”
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21 jui 2015 · Les démonstrations suivantes sont à connaître Les raisonnements mis en œuvre 1 2 Compatibilité avec la congruence TERMINALE S SPÉ
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25 jui 2018 · 4 2 Compatibilité avec la congruence TERMINALE S SPÉ Démonstration : Comme il s'agit d'une équivalence il faut démontrer la pro-
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Démonstration : Sens direct : Soient a et b congrus modulo n Il existe q et r entiers relatifs tels que : a = n x q + r
Comment faire du calcul d congruence ?
Deux entiers a et b sont congrus modulo n, si et seulement si, la division euclidienne de a par n a le même reste que la division euclidienne de b par n.Comment vérifier une congruence ?
On dit que « a est congru à b modulo n » ou que « a et b sont congrus modulo n » si : a et b ont le même reste dans la division euclidienne par n.Comment Etudier la congruence modulo n ?
Pour déterminer des congruences modulo n , on élimine du nombre les multiples de n . Exemple 1 On sait que ; 15 est donc égal à un multiple de 7 plus 1 ; on a donc : On a donc un nombre limité de possibilités quand on travaille avec les congruences .Le caractère utilisé pour exprimer la congruence de deux entiers est ?.
1a ? b (n) ;2a ? b [n] ;3a ? b (mod n) ;4a ? b mod n (notation de Gauss).
TS ² Spé maths Cours : DIVISIBILITE ² DIVISION EUCLIDIENNE - CONGRUENCES 1 A la fin de ce chapitre vous devez être capable de : connaître différents procédés pour établir une divisibilité XPLOLVMPLRQ GH OM GpILQLPLRQ XPLOLVMPLRQ G·LGHQPLPpV remarquables, disjonction des cas, raisonnement par récurrence. ŃRQQMvPUH O·XQLŃLPp GH O·pŃULPXUH GH OM GLYLVLRQ euclidienne ; ŃRQQMvPUH O·pŃULPXUH G·XQ HQPLHU UHOMPLI HQ IRQŃPLRQ GH VHV UHVPHV SRVVLNOHV GMQV VM GLYLVLRQ SMU O·HQPLHU QMPXUHO N ; GpPHUPLQHU HQ IRQŃPLRQ GH O·HQPLHU QMPXUHO Q OH UHVPH dans une division euclidienne où le dividende et le diviseur sont des entiers fonctions de n ; utiliser les propriétés de congruences ; utiliser les nombres négatifs pour faciliter le calcul des congruences. I. Divisibilité dans
a) 0XOPLSOHV HP GLYLVHXUV G·XQ HQPLHU UHOatif. Définition 1: Soit a et b deux entiers relatifs. b divise a signifie TX·LO existe un entier k tel que a = kbOn note b|a.
Dans ces conditions, on dit que a est un multiple de b et b est un diviseur de a.Exemples :
-3 divise 6, car. -3(-2) = 6 pour tout entier n, n + 1 divise n² - 1 car (n + 1)(n ² 1) = n² - 1.Remarques :
0 est multiple de tout entier, mais 0 a un seul multiple : 0 = 0n et 00 = 0
Tout entier non nul n a pour diviseurs 1 ; -1 ; n et ²n. Il y a un nombre fini de diviseurs tous compris entre ²n et n. En revanche, un entier non nul a une infinité de multiples.Diviseurs de 1 ou -1
Propriété 1 :
Les seuls diviseurs de 1 ou de -1 dans ; sont 1 et -1.Démonstration :
1 et -1 sont bien des diviseurs de 1 et de -1, car 1 = (-1)(-1) = 11 et -1 = (-1)1.
Si pour deux entiers a et b non nuls, on a : ab = 1 ou ab = -1, alors par passage aux valeurs absolues,
IH PrPH UMLVRQQHPHQP SHUPHP pJMOHPHQP G·RNPHQLU N 1 RX N -1. TS ² Spé maths Cours : DIVISIBILITE ² DIVISION EUCLIDIENNE - CONGRUENCES 2 b) Propriétés de la divisibilité dans Propriété 2 : Soit a, b et c des entiers relatifs tels que a 0 et b 0.Si a divise b et b divise c, alors a divise c.
Démonstration :
Propriété 3 : Soit a et b des entiers relatifs non nuls. a|b et b|a équivaut à a = b ou a = -bDémonstration :
G·RZ MN NN·MN
N HP N· VRQP MLQVL GHV GLYLVHXUV GH 1 ; ils sont donc égaux à 1 ou -1 G·MSUqV OM SURSULpPp 1B
On a donc a = b ou a = -b.
Réciproquement, si a = b ou a = -b, alors, par définition a|b et b|a. Propriété 4 : Soit a, b et c des entiers relatifs non nuls et et deux entiers relatifs.Si c|a et c|b, alors c|(a + b)
Démonstration :
a + b = kc + N·Ń k + N·Ń RZ k + N· est un entier.Donc c|(a + b)
Attention : La réciproque est fausse : 2| 32 + 43 mais 2 ne divise pas 3.II. Division euclidienne
a) Division euclidienne dans I Propriété 5 : Soit a un entier naturel et b un entier naturel non nul. Il existe un unique couple (q U G·HQPLHUV naturels tels que :M NT Ą U HP 0 " U NB
q est le quotient et r le reste de la division euclidienne de a par b. (a est appelé le dividende).Démonstration :
Existence de q et r
3URSULpPp G· $UŃOLPqGH GMQV I :
Soit b un entier naturel non nul.
$ORUV TXHO TXH VRLP O·HQPLHU QMPXUHO M LO H[LVPH XQ HQPLHU QMPXUHO Q PHO TXH M QNB TS ² Spé maths Cours : DIVISIBILITE ² DIVISION EUCLIDIENNE - CONGRUENCES 3G·MSUqV OM SURSULpPp G·$UŃOLPqGH GMQV I O·HQVHPNOH GHV HQPLHUV QMPXUHOV Q PHOV TXH M QN
k ² 1 est aussi un entier naturel et (k ² 1N " M NN On pose alors q = k ² 1 et on obtient TN " M TĄ1NB (Q UHPUMQŃOMQP TN RQ RNPLHQP 0 " M quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35[PDF] exercices corrigés sur les congruences pdf
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