Terminale S - Etude de limites de suites définies par récurrence
Une suite définie par récurrence est une suite définie par son premier terme alors en passant à la limite dans la relation de récurrence on obtient.
Convergence de suites Suites récurrentes
Que peut-on dire de la limite éventuelle d'une suite récurrente? Soit (un) la suite définie par la relation de récurrence un+1 =.
Raisonnement par récurrence Limite dune suite
9 ott 2013 Limite d'une suite. 1 Raisonnement par récurrence. 1.1 Axiome de récurrence. Définition 1 Soit une propriété P définie sur N. Si :.
Raisonnement par récurrence. Limite dune suite
14 ott 2015 Le raisonnement par récurrence s'apparente à la théorie des dominos. ... Soit la suite (un) définie par : u0 = 0 3 et ?n ? N
Suites f-définies par récurrence Sommaire
8 gen 2021 est une suite f -définie par récurrence pour la fonction f : x ?? ? ... Par unicité de la limite d'une suite on a donc f(l) = l.
Raisonnement par récurrence. Limite dune suite
11 lug 2021 3) Démontrer cette conjecture par récurrence et donner la valeur exacte de u2021. EXERCICE 3. Soit la suite (un) définie pour n ? 1 par : un = ...
LES SUITES (Partie 1)
que l'on attribue le principe du raisonnement par récurrence. Le nom a La suite (un) définie sur ? par A = N a pour limite +?.
Suites 1 Convergence
Calculer la limite de la suite définie par : u0 = 4 et pour tout n ? N un+1 = 4un +5 un +3 .
Suites
déterminer sa limite. Allez à : Correction exercice 7 : Exercice 8 : On considère la suite ( ) ?? définie par 0 = 0 et par la relation de récurrence.
LES SUITES (Partie 2)
Soit (un) et (vn) deux suites définies sur ?. Méthode : Déterminer une limite par comparaison ... Hypothèse de récurrence :.
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Une suite définie par récurrence est une suite définie par son premier terme et par une relation de récurrence qui définit chaque terme à partir du précédent
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Les suites ci-dessous sont définies pour tout entier n Lesquelles ont une limite finie ? Exercice 5 cocher la ou les bonnes réponses Exercice
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On considère la suite (un) définie sur N par u0 = 2 et ?n ? N un+1 = Recherchons l'éventuelle limite de la suite un point fixe de f
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Raisonnement par récurrence et limite de suite – Terminale Générale – Spé maths mathématique définie sur ? : c'est le principe du raisonnement par
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4 Étudiez la suite (un) définie par un+1 = f(un) dans les cas suivants (monotonie convergence/divergence limites ) Il sera utile de discuter selon la
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Soit ( ) une suite définie par la relation de récurrence +1 = En déduire que la suite est convergente et déterminer sa limite
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Cette méthode est intéressante surtout lorsque un est défini par des produits et des quotients et qu'on peut espérer des simplifications Attention ! Une suite
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Soit (un) et (vn) deux suites définies sur ? Méthode : Déterminer une limite par comparaison Hypothèse de récurrence : Supposons qu'il existe un
Comment déterminer la limite d'une suite définie par récurrence ?
Si une suite (un) est décroissante et minorée alors la suite (un) converge. Soit une suite (un) définie par u0 et un+1 = f(un) convergente vers ?. Si la fonction associée f est continue en ?, alors la limite de la suite ? est solution de l'équation f(x) = x.9 oct. 2013- On considère un nombre q strictement positif et la suite (un) définie pour tout entier positif ou nul n par un=qn. La règle de calcul de limite est simple : si 0<q<1 alors limqn=0. si q=1 alors limqn=1.
![Suites f-définies par récurrence Sommaire Suites f-définies par récurrence Sommaire](https://pdfprof.com/Listes/17/43737-17PCSI_2020_21_suites_f_recurrentes.pdf.pdf.jpg)
PCSI3LycéeSainte-Geneviève
2020/20218 janvier 2021
Suitesf-définies par récurrencex
IyRy=xC
fu 0u 1u 1u 2u 2u 3u 3u 4u 4u 5u 5u6Représentation de(un)n,
une suitef-définie par récurrence.Sommaire
II.Dessins .................................................................................... p.3III.Principe d"étude des suitesf-récurrentes ................................................... p.4
IV.Restriction du domaine de vie de(un)n.....................................................p.4 V.Transferts de monotonie defà(un)n...................................................... p.7 VI.Points fixes def.......................................................................... p.10 VII.Position deCfpar rapport à(y=x)......................................................p.11VIII.Bilan ..................................................................................... p.12
IX.Exercices ................................................................................. p.12Suitesf-définies par récurrence1/12
I.Cadre
Dans tout ce qui suit, on fixe :
•Iun intervalle deR; •f:I-→Rune fonction; •(un)n>0?RNune suite réelle.Définition 1 On dit quela suite(un)nestf-définie par récurrencessi Δ ?n?N, un+1=f(un).Exemples et non-exemplesLa suite(un)ndéfinie par(
u 0= 18n2N;un+1=p1 +un
est une suitef-définie par récurrence pour la fonctionf:x7!p1 +x.De même, la suite(un)ndéfinie par
u 0= 18n2N;un+1=u2n+ 1
est une suitef-définie par récurrence pour la fonctionf:x7!1 +x2. Attentionaupiègeclassiquesuivant : la suite(un)ndéfinie par u 0= 18n2N;un+1=pn+unn"est pas
n"est pasn"est pasn"est pasn"est pasn"est pasn"est pasn"est pasn"est pasn"est pasn"est pasn"est pasn"est pasn"est pasn"est pasn"est pasn"est pas une suitef-définie par récurrence.
En effet, l"expression donnantun+1dépend deunmais aussi den.Dans toute la suite, on suppose que la suite(un)n>0estf-définie par récurrence.Remarque
En fait, dans la définition, plus précisément et plus exactement, il faudrait dire8n2N;un2Ietun+1=f(un).Suitesf-définies par récurrence2/12
II.Dessins
1.Cas cro issantIl est fondamental de pouvoir représenterCfet la suitef-définie par récurrence.
Dans le cas croissant, on a un escalier.x
IyRy=xC
fu 0u 1u 1u 2u 2u 3u 3u42.Cas d écroissant
Dans le cas décroissant, on a un escargot.
xIyRy=xC
fu 0u 1u 1u 2u 2u 3u 3u 4u 4u 5u 5u6Suitesf-définies par récurrence3/12
III.Princip ed"étude des suites f-récurrentes •Pour étudier(un)n, on étudie la fonctionf. •Les propriétés defvont se transférer à la suite(un)n.•Dans les preuves, passer d"une propriété defà une propriété de(un)nse fera toujours par récurrence
facile. C"est métamathématiquement logique puisque la suite(un)nest elle-même définie par récurrence.Les propriétés defse transfèrent à(un)n.
Se faire une idée rapide et précise de l"allure deCfpeut être très utile. On peut ensuite démontrer ce qu"on veut sur(un)n en faisant des petites récurrences.IV.Res trictiondu domaine de vie de (un)n 1.B onnedéfinition de la suite
a)Problématique
Sia?I, il n"est pas toujous vrai qu"il existe une suitef-définie par récurrence(un)n>0telle queu0=a.
En effet, il est possible qu"en itérant la fonctionf, on sorte du domaine def.Par exemple, si on considère la fonction
f:?R +//R x //⎷x-1 et qu"on part deu0:= 2, alors on aura : u1=f(u0) =f(2) =⎷2-1
etu2=f(u1) =f?⎷2-1? =?⎷2-1-1.Or, comme
⎷2-1<1(exercice), on a?⎷2-1<1et donc u2=?⎷2-1-1<0.
Ainsi, il est impossible de définiru3. On a démontré :Fait 2 Il n"existe pas de suite(un)n,f-définie par récurrence, telle queu0= 2, où f:?R +//R x //⎷x-1.Suitesf-définies par récurrence4/12b)Une solution p ossibleUne façon de régler une fois pour toutes cette question serait de supposer que la fonctionf:I-→R
stabilise son intervalle de définition,iede supposer que ?t?I, f(t)?I;dit autrement, on aurait pu supposer dès le début qu"on considère une fonctionf:I-→I. En effet, dans
ce cas, siu0?Ialors, on au1, qui est égal àf(u0), est aussi dansI,etc.Autrement dit, on aProposition 3
SoitIun intervalle deR, soitf:I-→I. Alors,
?a?I,?!(un)n?RN:? (un)n?RNestf-définie par récurrence u0=a.Remarque
En fait, dans cette proposition, le fait queIest un intervalle ne joue aucune rôle. On peut le remplacer
par un ensembleDquelconque. Par exemple, on peut très bien considérer la fonction f:8 :R //R x //1 x .c)Retour au cas généralOn choisit de ne pas faire cette hypothèse ici, car, généralement, la fonctionfvient plutôt définie sous la
formef:I-→R. À la place, on suppose que la suite(un)nest bien définie. 2.Res trictionde fà des parties stables
SoitJ?Iun intervalle.
Rappelons qu"on dit queJest stable parfssiΔ
?t?J, f(t)?J.Proposition 4 AlorsJest stable parf
u 0?J? =? ?n?N, un?J. Démonstration.--C"est très simple. On suppose queJest stable parfet queu0?J. Montrons le résultat par récurrence. •On note, pourk?N,P(k) :"uk?J». •Déjà,P(0), par hypothèse, est vraie. •Montrons que ?k?N,P(k) =?P(k+ 1). Soitk?Ntel queP(k)est vraie. Comme(un)nestf-définie par récurrence, onuk+1=f(uk). Or, uk?JetJest stable parf. Donc, on a bienf(uk)?J. D"où le résultat.D"après le principe de récurrence, le résultat est démontré.Suitesf-définies par récurrence5/12
Remarques
Comme annoncé, la preuve est très simple. C"est ce qu"on appelle unerécurrence immédiate.
Très important :Il faudra s"entraîner dans l"étude des suitesf-définies par récurrence à éviter d"essayer de prouver
les résultats directement sur la suite mais à s"efforcer d"étudier d"abord la fonctionf. En effet,onestbeaucouppluspuissantpourétudierlafonctionfque pour étudier la suite(un)n: pour étudierf, on peut utiliser toute la puissance du calcul différentiel et dériverf; en traçant rapidement l"aspect deCf, on a beaucoup d"informations;de même, le tableau des variations defdonne de façon synthétique beaucoup d"informations.En particulier, on en déduit le résultat suivant.
Corollaire 5
Soita?I. Alors, on a
?t?I, t>a=?f(t)>a? u0>a=? ?n?N, un>a?
.On peut décliner et raffiner ce résulat. Par exempleCorollaire 6
Soientb?Ietn0?N. Alors, on a
?t?I, t6b=?f(t)6b u n06b? =? ?n>n0, un6b.Corollaire 7Soienta,b?Ietn0?N. Alors, on a
?t?I, a6t6b=?a6f(t)6b a6u06b? =? ?n?N, a6un6b.On retiendra :Restreindrefà un intervalle stable permet
de restreindre le domaine de vie de(un)n.Exercice 8Soit(un)n?RNla suite définie par
u 0>0 ?n?N, un+1=unun.Montrer que?n?N?, un>1e
1/e.Suitesf-définies par récurrence6/12
V.T ransfertsde monotonie de fà(un)n
1.Cas croissan t
Voici un principe très important :Quandfest croissante,(un)nest montone.Plus précisément, grâce au principe précédent de restriction du domaine de vie, on a : " là oùfest
croissante,(un)nest croissante ». Connaître les variations defest donc fondamental dans l"étude des
suitesf-récurrentes.Théorème 9On supposefcroissante. Alors, on a
u1>u0=?(un)ncroissante
etu16u0=?(un)ndécroissante.Ce théorème admet également une version " stricte » qu"on laisse au lecteur le soin d"énoncer.
Démonstration.--
•On supposeu1>u0. Comme annoncé, et comme précédemment, la preuve se fera par récurrence immédiate.On note, pourn?N,P(n) :"un+1>un».
Déjà,P(0)est vraie par hypothèse.
Montrons que?n?N,P(n) =?P(n+ 1).
Soitn?Ntel queP(n)soit vraie. On a doncun6un+1. Or,fest croissante. Donc, on a f(un)6f(un+1)ieun+16un+2ieP(n+ 1). Ainsi, d"après le principe de récurrence, on a?n?N, un6un+1: la suite(un)nest croissante. •Si on au0>u1, on procède de même.On retiendra :Sifest croissante, alors :
•la suite(un)nest monotone; le sens de variation de(un)nest déterminé par la position relative des deux premiers termes,u0etu1.Suitesf-définies par récurrence7/122.Cas décroissan t
Remarque
Dans ce paragraphe, on se place dans le cas oùf:I!I.a)Une astuce •La suite des termes pairs(u2n)n?Nvérifie u2n+2=f(u2n+1) =f?
f(u2n)? = (f◦f)(u2n)pourn?N. •De même, la suite des termes impairs(u2n+1)n?Nvérifie u2n+3=f(u2n+2) =f?
f(u2n+1)? = (f◦f)(u2n+1)pourn?N.Autrement dit, on a prouvé :Proposition 10
Soitf:I-→Ret soit(un)n?RN.
Alors,
(un)nestf-définie par récurrence=?? (u2n)nest(f◦f)-définie par récurrence (u2n+1)nest(f◦f)-définie par récurrence.b)Application au cas décroissan tSupposonsfdécroissante.Ce cas est plus subtil. En tout état de cause, il faut faire un dessin deCfet représenter les premiers
termes de(un)npour comprendre ce qui se passe : c"est le cas de " l"escargot ».xIyRy=xC
fu 0u 1u 1u 2u 2u 3u 3u 4u 4u 5u 5u6Pour analyser cette situation, on utilise l"astuce suivante :
fdécroissante=?f◦fcroissante.On peut donc appliquer les résultats du cas croissant aux suites(u2n)net(u2n+1)n.Suitesf-définies par récurrence8/12
Proposition 11
On supposefdécroissante. Alors, on a
u2>u0=??
(u2n)ncroissante (u2n+1)ndécroissante etu26u0=?? (u2n)ndécroissante (u2n+1)ncroissante.Démonstration.-- •Supposons queu2>u0. On peut alors montrer par récurrence que?n?N, u2n+2>u2n. ~On note, pourn?N,P(n) :"u2n+2>u2n». ~Par hypothèse,P(0)est vraie.~Montrons que?n?N,P(n) =?P(n+ 1).Soitn?Nest tel queu2n+2>u2n. Alors, en utilisant la croissance de la fonctionf◦f, on
obtient (f◦f)(u2n+2)>(f◦f)(u2n) ieu2n+4>u2n+2 ieP(n+ 1).D"où le résultat :(u2n)nest croissante.Montrons maintenant que(u2n+1)nest décroissante.~Comme on au2>u0etfdécroissante, on af(u2)6f(u0)ieu3>u1.~On prouverait alors, par récurrence, que?n?N, u2n+36u2n+1.•Le casu26u0se traiterait de même.
c)Un résultat utile
Rappelons un résultat classique qui peut être utile dans ce contexte.Proposition 12Soit(vn)n?RNet soit??R. Alors, on a
u2n-→?
u2n+1-→??
=?un-→?.Démonstration.--On la laisse en exercice; il faut utiliser lesε >0.Suitesf-définies par récurrence9/12
VI.P ointsfixes de f
1.P ointsfixes
On rappelle :
Définition 13
Soit??I. On dit que?est un point fixe defssiΔf(?) =?.Les points fixes defcorrespondentaux points d"intersection entreCfet la droite(y=x).2.P ointsfixes de fet limites de(un)nThéorème 14
On supposefcontinue. Soit??I.
Alors, on a
un-→?=?f(?) =?.Démonstration.--On suppose queun-→?. On a donc, par propriété des suites extraites,un+1-→?.Or, comme on le verra plus tard dans le chapitre " Continuité », sifest continue, on af(un)-→f(?).
Donc, on aun+1-→f(?).
Par unicité de la limite d"une suite, on a doncf(?) =?.Remarque Attention, si` =2I, ce résultat n"a plus de sens et est faux.Exercice 15Imaginer une fonctionf:R?+-→Rtelle que :
•fest continue; •fn"admet pas de limite en0+;•il existe une suite(un)nf-définie par récurrence et vérifiantun-→0.Suitesf-définies par récurrence10/12
3.Un rés ultatd"infranc hissabilité
Proposition 16
On supposefcroissante. Soit??Iun point fixe def.
Alors, on a
u06?=? ?n?N, un6?
etu0>?=? ?n?N, un>?.Autrement dit, dans ce cas, les points fixes defsont infranchissables par(un)n.Démonstration.--Encore une fois, il s"agit de récurrences simples.
•On supposeu06?.On note, pourn?N,P(n) :"un6?».
Déjà,P(0)est vraie par hypothèse.
Montrons que?n?N,P(n) =?P(n+ 1).
Soitn?Ntel queP(n)soit vraie. On a doncun6?. Or,fest croissante. Donc, on a f(un)6f(?)ieun+16?ieP(n+ 1). Ainsi, d"après le principe de récurrence, on a?n?N, un6?. •Si on au0>?, on procède de même. VII.P ositionde Cfpar rapport à(y=x)Proposition 17
On a C fest au-dessus de(y=x)surI=?(un)nest croissante Cfest en-dessous de(y=x)surI=?(un)nest décroissante.Démonstration.--Cette fois-ci, ce ne sont pas des récurrences.
•On supposeCfest au-dessus de(y=x)surI. On a donc ?x?I, f(x)>x.Donc, comme?n?N, un?I, on a?n?N, f(un)>unie?n?N, un+1>un: la suite(un)nest bien croissante. •SiCfest en-dessous de(y=x)surI, on procède de même.Suitesf-définies par récurrence11/12
VIII.Bilan
Voilà un plan possible pour étudier la suite(un)n. 1)Rec herchedes p ointsfixes de f.
On résout l"équationf(?) =?, avec??I.
2)Étude de f.
3)Év entuellement,é tudede la p ositionrelativ ed eCfpar rapport à la droiteΔd"équationy=x.
Autrement dit, on étudie le signe de la fonctionx?-→f(x)-x. 4)Restriction de fà un intervalle stable, dont généralement l"une des bornes est un point fixe def
5)Utilisation des résultats généraux énoncés ci-dessus, qui doivent être vus comme des réflexes et qui
doivent être redémontrés. IX.E xercicesExercice 18
Étudier la suite(un)ndéfinie par
u 0= 1 ?n?N, un+1=⎷1 +un.Exercice 19Étudier la suite(un)ndéfinie par
u 0= 1 ?n?N, un+1=⎷2 +un.Exercice 20Étudier la suite(un)ndéfinie par
?u 0>1 ?n?N, un+1=13 u2n+23 .Exercice 21Étudier la suite(un)ndéfinie par
?u 0=-2 ?n?N, un+1=un+1u n-1.Exercice 22Étudier la suite(un)ndéfinie par
?u 0?? 0,12 ?n?N, un+1=un(1-un).Suitesf-définies par récurrence12/12quotesdbs_dbs31.pdfusesText_37[PDF] comportement d'une suite exercices
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