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Limites des Suites numériques I. Limite finie ou infinie dune suite

Limite finie ou infinie d'une suite. Dans le cas d'une limite infinie étant donnés une suite croissante ( un ) et un nombre réel A



LIMITE DUNE SUITE

Définition (Convergence/divergence) Soit (un)n? une suite réelle. On dit que (un)n? est convergente ou qu'elle converge si elle possède une limite FINIE.



1) Limites finie en un point. { }

Convergence de suites réelles Définition : f admet l pour limite en a si : ... Proposition : Si f admet une limite finie en a alors elle est unique.



Partie 1 : Limite dune suite

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. 2) Limite finie. Exemple : La suite ( I) définie sur ?* par I =1+ a pour limite 1.



Limite dune suite et applications

n?N désignera une suite réelle et n désignant un entier naturel. 1 . Limite finie ou infinie d'une suite. Introduction – Vision intuitive du « tendre vers 



Convergence de suites

5 nov. 2010 1.1 Limites finies. Définition 1. Une suite réelle (un) converge vers une limite l ? R si ?? > 0 ?n0 ? N



Chapitre 1 Suites réelles et complexes

(2) Pour r > 1 la suite (rn) est strictement croissante



Terminale S - Limites de suites : Définitions

ouvert contenant ? contient tous les termes de la suite



Chapitre 4 : Limites de suites

I- Limite d'une suite a) Limite finie. Définition Soit (Un) une suite de nombres réels. On dit que la suite (Un) admet pour limite ? quand n.





[PDF] Limites des Suites numériques I Limite finie ou infinie dune suite

Définition : On dit qu'une suite (un) est convergente si et seulement si elle admet une limite finie l?? On dit aussi que la suite converge vers l lorsque n 



[PDF] LIMITE DUNE SUITE - Christophe Bertault

Cas particulier d'une limite finie : Si ? ? on dit que (un)n? admet ? pour limite si : ?? > 0 ? N ? ?n ? n ? N =? un ? ? < ? ou bien de 



[PDF] Les suites - Partie II : Les limites

La case ci-dessous désigne une indétermination donc une situation indécidable Selon les cas les limites pourront être finies ou infinies ou ne pas exister



[PDF] Partie 1 : Limite dune suite - maths et tiques

Définition : On dit que la suite ( ) admet pour limite +? si ( ) est aussi grand que l'on veut Elle n'admet donc pas de limite finie ni infinie



[PDF] Terminale S - Etude dune limite de suite - Parfenoff org

Exemple 3 : Déterminer la limite de la suite = ? ? Comme lim ? +? = +? et lim ? +? ? = +? on obtient une forme indéterminée 



[PDF] Etude de limites de suites définies par récurrence - Parfenoff org

Si > 1 la limite est infinie 1) Exemple 1: cas où la limite est finie : Soit ( ) la suite définie par : 0 = 1 et pour tout entier naturel





[PDF] LIMITES DE SUITES - Maths91fr

Terminale Spé Maths ? Chapitre A-02 Table des matières I Limite finie ou infinie d'une suite 2 1) Limite finie : suite convergente



[PDF] Limites Suite Fonction

Limite finie : Dire que f admet une limite L en a c'est dire que f(x) peut être rendu aussi proche que l'on veut de L à condition que x soit suffisamment 



[PDF] Suites numériques - limites

On suppose que (xn)n?N tend vers une limite finie l et que f est continue au point l Alors l est un point fixe de f c'est-à-dire f (l) = l Exemple

  • Quelle est la limite d'une suite ?

    Limite en ?? :
    La limite d'une suite, si elle existe, est unique. Une suite n'a pas nécessairement de limite. C'est le cas pour les suites alternées, c'est-à-dire qui alternent entre deux valeurs, ou pour celles dont les valeurs oscillent.

  • Comment déterminer la limite d'une suite ?

    3/ Limite infinie d'une suite : définition
    La suite (un) admet pour limite si : Tout intervalle ]a ; [ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. La suite (un) admet pour limite si : Tout intervalle ] ; a[ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.

  • Comment déterminer la limite d'une suite définie par récurrence ?

    Si une suite (un) est décroissante et minorée alors la suite (un) converge. Soit une suite (un) définie par u0 et un+1 = f(un) convergente vers ?. Si la fonction associée f est continue en ?, alors la limite de la suite ? est solution de l'équation f(x) = x.
  • si la raison est positive (r > 0), la limite est +? ; si la raison est négative (r < 0), la limite est –? ; si la raison est nulle (r = 0), la suite est constante et converge donc vers la constante.
LIMITE DUNE SUITE

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI

LIMITE D"UNE SUITE

1 UN PEU DE VOCABULAIRE

Définition(Suite réelle)On appellesuite(réelle) toute fonctionude?dans?. Pour toutn??, on préfère noterun

le réelu(n), et(un)n??ou(un)n?0la suiteu.

On travaillera seulement avec des suites définies sur tout?, mais on pourrait bien sûr travailler avec des suites définies

sur?n0,+∞?avecn0??. Il existe au moins deux manières courantes de représenter une suite(un)n??:

— soit comme une fonction de?dans?, c"est-à-dire de manière plane avec?en abscisse et?en ordonnée,

— soit comme un ensemble de valeurs le long d"un axe. nu n 012 u 1u 2 u 3u

4u5u6u7u8u9u10u11

u 12

Définition(Vocabulaire usuel des suites réelles)Soit(un)n??une suite réelle. On dit que(un)n??est :

—majoréesi l"ensembleun|n??est une partie majorée de?, i.e. si :?M??,?n??,un?M.

Un telMest appeléUNmajorantde(un)n??. On dit alors que(un)n??estmajorée par Mou queM majore(un)n??.

—positive(resp.strictement positive) si pout toutn??:un?0 (resp.un>0). —croissante(resp.strictement croissante) si pour toutn??:un?un+1(resp.unOn dispose bien sûr de définitions analogues des suitesminorées, (strictement)négativeset (strictement)décroissantes.

On dit enfin que(un)n??est :

—bornéesi elle est à la fois majorée et minorée, i.e. si :?K?0,?n??,|un|?K.

—monotone(resp.strictement monotone) si elle est (resp. strictement) croissante ou (resp. strictement) décrois-

sante. Pour montrer qu"une suite(un)n??est monotone, deux méthodes courantes :

— étudier le signe deun+1-un,

— si(un)n??estSTRICTEMENT POSITIVE, étudier la position deun+1 unpar rapport à 1. Cette méthode est intéressante

surtout lorsqueunest défini par des produits et des quotients et qu"on peut espérer des simplifications.

?Attention !Une suite majorée ne possèdeJAMAIS UN SEUL MAJORANT, une suite majorée par 2 l"est aussi par 3. Par

ailleurs : Les majorants d"une suite sont par définition des constantes. Une majoration deun par un réelQUI DÉPEND DEnne montre pas que la suite(un)n??est majorée.

Ce qu"une suite a d"intéressant pour nous dans ce chapitre, ce ne sont pas ses premiers termes mais son comportement

asymptotique, i.e. à l"infini. Si par exemple tous ses termes sont majorés par 1 sauf les 30 premiers, on a bien envie de dire

que la suite est " presque » majorée par 1. On dit qu"elle est majorée par 1à partir d"un certain rang.

Définition(Suite de propositions vraie à partir d"un certain rang)Soit?= (?n)n??une suite de propositions.

On dit que?(ou?npar abus de langage) estvraie à partir d"un certain rangsi :?N??,?n?N,?n.

On peut définir une suite principalement de deux façons — soitexplicitement, soit implicitement par récurrence. Ceci ne

veut pas dire qu"il y a deux sortes de suites, ce sont là seulement deux manières de les définir. Une suite géométrique, par

exemple, peut être définie aussi bien explicitement :un=qnu0que par récurrence :un+1=qun. 1

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI

•Suites définies explicitement :Définir une suite(un)n??explicitement, c"est la définir à l"aide d"une certaine fonction

fpar une relationun=f(n). Il n"est alors pas difficile de calculeru1000, on calcule directementf(1000).

De nombreuses propriétés def— monotonie, signe, caractère majoré/minoré/borné — se transmettent alors telles

quelles à(un)n??, qui n"est après tout que la restriction defà?. fest bornée...... donc(un)n??est bornée. fest croissante... ... donc(un)n??est croissante.

•Suites récurrentesun+1=f(un):On peut définir une suite(un)n??par récurrence par la donnée de son premier

termeu0et d"une relationun+1=f(un)oùfest une fonction fixée. Une telle définition présente un énorme inconvé-

nient, on est obligé pour calculeru1000de calculer les uns après les autresu1,...,u999,u1000. ?Attention !Pour une suite récurrente u n+1=f(un):fest croissante=?(un)n??est croissante. fest décroissante=? (un)n??est décroissante. y=x u0u1u2u3... fest croissanteMAIS(un)n??décroissante. y=x u0u1u2u3u4 fest décroissanteMAIS(un)n??n"est même pas monotone.

2 LIMITE D"UNE SUITE RÉELLE DANS?

2.1 DÉFINITION

Définition(Limite d"une suite)Soient(un)n??une suite réelle et???.

•Définition générale :On dit que(un)n??admet?pour limitesi tout voisinage de?contient tous lesunà partir

d"un certain rang, i.e. si :?V?? ??(?),?N??,?n?N,un?V?. •Cas particulier d"une limite finie :Si???, on dit que(un)n??admet?pour limitesi : ?? >0,?N??,?n??,n?N=? |un-?|< ?, ou bien de manière plus concise, si :?? >0,?N??,?n?N,|un-?|< ?. •Cas particulier de la limite+∞:On dit que(un)n??admet+∞pour limitesi : ?A>0,?N??,?n??,n?N=?un>A, ou bien de manière plus concise, si :?A>0,?N??,?n?N,un>A. •Cas particulier de la limite-∞:On dit que(un)n??admet-∞pour limitesi : ?A<0,?N??,?n??,n?N=?unChristophe Bertault — Mathématiques en MPSI

On peut montrer que les inégalités strictes :|un-?|< ?,un>Aetun

inégalités larges :|un-?|??,un?Aetun?A, cela n"affecte pas la notion de limite. J"utiliserai généralement

des inégalités strictes, mais choisissez ce que vous préférez.

Obscures au premier abord, ces définitions satisfont en réalité parfaitement l"intuition que nous avons des limites.

— Trois voisinagesV1,V2etV3ne suffisent pas à forcer(un)n??à tendre vers?. Il est essentiel que la définition de la

limite commence par "POUR TOUTvoisinageV?de?». ??V1 ?1

Tous lesun

à partir deN1

??V2 ?2

Tous lesun

à partir deN2

??V3 ?3

Tous lesun

à partir deN3

— Les premiers termes de la suite(un)n??ne comptent pas quand on s"intéresse à sa limite, raison pourlaquelle la

définition de la limite piège(un)n??dans un voisinage de?À PARTIR D"UN CERTAIN RANG. — Intuitivement, plus le voisinageV?est petit, plus le rangNest grand. Théorème(Unicité de la limite)Soit(un)n??une suite réelle. Si(un)n??possède une limite, celle-ci est unique et notée limn→+∞un.

Pour tout??

?, la relation limn→+∞un=?est souvent notée :un-----→n→+∞?.

DémonstrationSoient?,????. On veut montrer, sous l"hypothèse que(un)n??admet?et??pour limites, que

?=??. Supposons par l"absurde??=??. Il existe alors un voisinageV?de?et un voisinageV??de??pour lesquels

V

?∩V??=∅. Or, par hypothèse,un?V?à partir d"un certain rangNetun?V??à partir d"un certain rangN?.

Ainsi, pourn0=maxN,N?:un0?V?∩V??=∅— contradiction! V?

Tous lesun

à partir den0

V??

Tous lesun

à partir den0

FOLIE!

Cette preuve illustre une idée importante que nous retrouverons souvent. Si une suite de propositions?1est vraie à partir

d"un rangN1, une suite de propositions?2vraie à partir d"un rangN2... et enfin une suite de propositions?kvraie à partir

d"un rangNk,les suites depropositions?1,...,?ksontalorsTOUTESvraies en mêmetemps àpartir durang maxN1,...,Nk.

Définition(Convergence/divergence)Soit(un)n??une suite réelle. On dit que(un)n??estconvergenteou qu"elle

convergesi elle possède une limiteFINIE. On dit sinon qu"elle estdivergenteou qu"ellediverge.

Limite

finieLimite

±∞Pas de

limite

Convergence

Divergence?Attention !Converger, cen"estpasavoir unelimitemais avoir unelimite FINIE. Diverger, ce n"est pas avoir±∞pour limite, mais éventuellementNE

PAS AVOIR DE LIMITE.

Théorème(Convergence et caractère borné)Toute suite convergente est bornée.

DémonstrationSoit(un)n??une suite convergente, disons de limite?. Pour?=1, la définition de la limite

affirme que l"inégalité|un-?|<1 est vraie à partir d"un certain rangN. Ainsi pour toutn?N, d"après l"inégalité

triangulaire :|un|=??(un-?)+????|un-?|+|?|?|?|+1.

PosonsK=max

|u0|,|u1|,...,|uN-1|,|?|+1 . Le réelKest alors plus grand que|u0|,...,|uN-1|, mais aussi que |un|pour toutn?N. Finalement|un|?KpourTOUTn??, donc(un)n??est bornée. ?Attention !

•La réciproque est fausse, la suite(-1)n

n??est bornée sans être convergente.

•Une suite non bornée n"admet pas forcément+∞ou-∞pour limite. Par exemple, la suite(-1)nn

n??n"est pas bornée et n"a pas de limite — que dire en effet de ses termes d"indice pair/impair? 3

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI

La manipulation des définitions de la limite n"est pas trop difficile si on se conforme aux recommandations qui suivent.

•Supposons dans un premier temps que???. Pour montrer que :?? >0,?N??,?n?N,|un-?|< ?, on

commence sans réfléchir par " Soit? >0. » Ensuite, pour trouver un rangNà partir duquel|un-?|< ?, on essaie de

MAJORER|un-?|EN RESPECTANT DEUX

RÈGLES:

— La majoration obtenue doitTENDRE VERS0QUANDnTEND VERS+∞. Sans cela, nous ne pourrons pas trouver un rangNà partir duquel|un-?|< ?quand?est trop petit. — La majoration obtenue doitÊTRE SIMPLE VIS-À-VIS DE LA RECHERCHE DU RANGN. Par exemple, la majoration|un-?|?1 npeut être considérée simple car on peut dans ce cas choisirN=!1?! +1. •Dans le cas où?= +∞, on s"adapte. Pour montrer que :?A>0,?N??,?n?N,un>A, on commence

sans réfléchir par " SoitA>0. » Ensuite, pour trouver un rangNà partir duquelun>A, on essaie deMINORERunEN

RESPECTANT DEUX

RÈGLES:

— La minoration obtenue doitTENDRE VERS+∞QUANDnTEND VERS+∞. — La minoration obtenue doitÊTRE SIMPLE VIS-À-VIS DE LA RECHERCHE DU RANGN. Par exemple, la minorationun?n2peut être considérée simple car on peut dans ce cas choisirN=? A+1.

Exemplelimn→+∞nsinnn2+2=0.

DémonstrationNous devons montrer que :?? >0,?N??,?n?N,???nsinnn2+2???

Soit? >0. Pour toutn??, majorons :???nsinn

n2+2??? =n|sinn|n2+2?nn2+2?nn2=1n.

On majore enSIMPLIFIANTet en

vérifiant que ce par quoi on ma-

joreTEND TOUJOURS VERS0.On arrête de majorer quandon se sent capable de trouverle rangNcherché.

PosonsN=!1?!

+1. À partir deN, l"inégalité1n< ?est vraie, donc l"inégalité???nsinnn2+2??? < ?aussi.

Exemplelimn→+∞

n2+(-1)nn DémonstrationNous devons montrer que :?A>0,?N??,?n?N,n2+(-1)nn>A. SoitA>0. Pour toutn??, minorons :n2+(-1)nn?n2-n=n(n-1)?(n-1)2.

On minore enSIMPLIFIANTet en

vérifiant que ce par quoi on mi-

noreTEND TOUJOURS VERS+∞.On arrête de minorer quandon se sent capable de trouverle rangNcherché.

Pour toutn???:(n-1)2>A??n>?A+1. PosonsN=?A+2. À partir deN, l"inégalité (n-1)2>Aest vraie, donc l"inégalitén2+(-1)nn>Aaussi.

2.2 OPÉRATIONS SUR LES LIMITES

Soient(un)n??et(vn)n??deux suites réelles,?,????etλ??. On suppose dans tout ce paragraphe que les limites

limn→+∞unet limn→+∞vnEXISTENT. Dans les tableaux ci-dessous, le symbole ???ne signifie pas une absence de limite mais une

indétermination, i.e. une impossibilité de conclure en toute généralité, qui nécessite donc un traitement au cas par cas.

SOMME limn→+∞(un+vn)lim n→+∞vnlim n→+∞un 4

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI

PRODUIT

limn→+∞(unvn)lim n→+∞vnlim n→+∞un +∞+∞? >0 ou+∞ +∞-∞? <0 ou-∞ -∞? >0 ou+∞ +∞? <0 ou-∞???

0+∞

ou-∞

MULTIPLICATION

PAR UN RÉEL

limn→+∞(λun)lim n→+∞unλ >0λ=0λ <0

0peu importe

INVERSE

limn→+∞1unlim n→+∞un

1???=0

0+∞

ou-∞ +∞0u n>0

à partir d"un

certain rang 0u n<0

à partir d"un

certain rang???

0sinon

Mais finalement, c"est quoi uneforme indéterminée? C"est une formeÀ déterminer. Le symbole???signifie qu"en effec-

tuant une opération(+∞)-(+∞)ou 0×(+∞), on peut tomber a priori surN"IMPORTE QUEL RÉSULTAT.

•Cas de la forme indéterminée(+∞)-(+∞):

— On peut obtenir n"importe quel réel?: limn→+∞(n+?) = +∞et limn→+∞n= +∞, mais limn→+∞(n+?)-n=?.

— On peut obtenir±∞: limn→+∞2n= +∞et limn→+∞n= +∞, mais limn→+∞(2n-n) = +∞.

— On peut ne pas obtenir de limite : lim

n→+∞n+(-1)n= +∞et limn→+∞n= +∞, maisn+(-1)n-n= (-1)nn"a pas de limite. •Cas de la forme indéterminée0×(+∞): — On peut obtenir n"importe quel réel?: limn→+∞? n=0 et limn→+∞n= +∞, mais limn→+∞! ?n×n! — On peut obtenir±∞: limn→+∞1 n=0 et limn→+∞n2= +∞, mais limn→+∞!

1n×n2!

— On peut ne pas obtenir de limite : lim

n→+∞(-1)n n=0 et limn→+∞n= +∞, mais (-1)n n×n= (-1)nn"a pas de limite. DémonstrationNous ne démontrerons pas tous les résultats des tableaux précédents.

•Somme de deux limites finies :On suppose que limn→+∞un=?et limn→+∞vn=??. Soit? >0. Pour toutn??,

d"après l"inégalité triangulaire :??(un+vn)-(?+??)??=??(un-?)+(vn-??)???|un-?|+|vn-??|.

Ici,SIMPLIFIER, c"est faire ap-

paraître les quantités|un-?| et|vn-??|de l"hypothèse.On majore enSIMPLIFIANTet en vérifiant que ce par quoi on ma- joreTEND TOUJOURS VERS0.

Or par hypothèse,|un-?| donc pour toutn?maxN,N?:??(un+vn)-(?+??)???|un-?|+|vn-??|2+?2=?.

•Somme d"une limite finie et d"une limite+∞:On suppose que limn→+∞un=?et limn→+∞vn= +∞. Soit

A>0. Par hypothèse,|un-?|<1 à partir d"un certain rangN, doncun> ?-1, etvn>A-?+1 à partir d"un certain rangN?, donc pour toutn?maxN,N?:un+vn>(?-1)+(A-?+1) =A. 5

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI

•Somme de deux limites+∞:On suppose que limn→+∞un= +∞et limn→+∞vn= +∞. SoitA>0. Par

hypothèse,un>Aà partir d"un certain rangNetvn>0 à partir d"un certain rangN?, donc pour tout

n?maxN,N?:un+vn>A+0=A.

•Produit de deux limites finies :On suppose que limn→+∞un=?et limn→+∞vn=??. Soit? >0. Pour toutn??,

d"après l"inégalité triangulaire :??unvn-?????=??(un-?)vn+?(vn-??)???|un-?|.|vn|+|?|.|vn-??|.

Or(vn)n??est convergente donc bornée, disons parKen valeur absolue. En outre,|un-?|2Kà partir d"un certain rangNet|vn-??|2|?|+1à partir d"un certain rangN?, donc pour toutn?maxN,N?: unvn-??????|un-?|.|vn|+|?|.|vn-??|2K×K+|?|×?2|?|+1??2+?2=?.

•Produit?×(+∞)avec????+:On suppose que limn→+∞un=????+et limn→+∞vn= +∞. SoitA>0. Par

hypothèse,|un-?|2à partir d"un certain rangN, doncun> ?-?2=?2>0, etvn>2A?>0 à partir d"un certain rangN?, donc pour toutn?maxN,N?:unvn>?

2×2A?=A.

•Produit de deux limites+∞:On suppose que limn→+∞un= +∞et limn→+∞vn= +∞. SoitA>0. Par

hypothèse,un>Aà partir d"un certain rangNetvn>1 à partir d"un certain rangN?, donc pour tout

n?maxN,N?:unvn>A×1=A.

•Inverse d"une limite finie non nulle :On suppose que limn→+∞un=??=0. Ainsi,un?=0 à partir d"un certain

rangN. Soit? >0. Pour toutn?N:???1 un-1???? =|un-?||un|.|?|. Or par hypothèse,|un-?|<|?|2à partir d"un certain rangN?, donc :|un|=??(un-?)+????|?|-|un-?|>|?|-|?|

2=|?|2d"après l"inégalité triangulaire,

donc pour tout toutn?maxN,N?:???1 un-1???? ?2|?|2|un-?|. Mais comme|un-?|<|?|22?à partir d"un certain rangN??, pour toutn?maxN,N?,N??:???1 un-1????

•Inverse d"une limite+∞:On suppose que limn→+∞un= +∞. Ainsiun?=0 à partir d"un certain rang

N. Soit? >0. Par hypothèse,un>1

?à partir d"un certain rangN?, donc pour toutn?maxN,N?:???1 un??? =1un< ?.

•Inverse d"une limite nulle de suite strictement positive :On suppose que limn→+∞un=0 avecun>0 à

partir d"un certain rangN. SoitA>0. Par hypothèse,|un|<1

Aà partir d"un certain rangN?, donc pour tout

n?maxN,N?:1 un=1|un|>A.

Le résultat suivant est momentanément admis car il requiertla notion de limite d"une fonction de?dans?— que vous

connaissez intuitivement, mais qui ne sera définie proprement que dans quelques mois.

Théorème(Composition à gauche par une fonction)SoientIun intervalle,f:I-→?une fonction,???adhérent

àI,L?

?et(un)n??une suite à valeurs dansI. Si limn→+∞un=?et limx→?f(x) =L, alors limn→+∞f(un) =L.

ExemplePour toutx??:ex=limn→+∞

1+xn n.Résultat à connaître!

DémonstrationOn peut supposerx?=0.

Pour toutn???:

1+x n n=enln 1+x n . Or lim t→0ln(1+t)t=ln?(1) =1, donc limn→+∞ln 1+x n x n=1 par composition, i.e. lim n→+∞nln 1+xn =x, et on compose enfin avec la limite limt→xet=ex.

?Attention !limn→+∞un=1=?limn→+∞unn=1.En résumé, 1+∞EST UNE NOUVELLE FORME INDÉTERMINÉE.

6

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI

2.3 PASSAGE À LA LIMITE DANS UNE INÉGALITÉ ET OPÉRATION INVERSE

Théorème(Limites et inégalités strictes)Soient(un)n??une suite réelle possédant une limite?etm,M??.

(i) Si? m, alorsun>mà partir d"un certain rang. M limn→+∞un m mDémonstrationProuvons (i). Si?=-∞, lesunsont tous dans le voisinage]-∞,M[de?à partir d"un certain

rang. Si???, sachant queM-? >0 par hypothèse, lesunsont tous dans?-(M-?),?+(M-?)?]-∞,M[ à partir d"un certain rang. Dans les deux cas,unThéorème(Limites et inégalités larges)Soient(un)n??et(vn)n??deux suites réelles possédant une limite finie. Si

u n?vnà partir d"un certain rang, alors limn→+∞un?limn→+∞vn. Ce résultat est souvent utilisé lorsque l"une des deux suites est constante.

?Attention !C"est faux avec des inégalitésSTRICTES! Pour toutn???:1n>0, mais limn→+∞1n=0.

DémonstrationPar l"absurde, si limn→+∞(vn-un)<0, le théorème précédent montre quevn-un<0 à partir

d"un certain rang — contradiction.

2.4 EXTRACTION DE SUITES

Définition(Suite extraite, valeur d"adhérence)Soit(un)n??une suite réelle. •Suite extraite :On appellesuite extraite(ousous-suite)de(un)n??toute suite de la formeu?(n) n??où ?:?-→?est une fonction strictement croissante appelée parfoisfonction d"extraction.

•Valeur d"adhérence :On appellevaleur d"adhérence de(un)n??toute limiteFINIEd"une suite extraite de(un)n??.

La fonction?n"est jamais qu"une suite strictement croissante d"entiers naturels utilisés comme de nouveaux indices. Par

exemple, si?= (2,4,5,8,24,59,...), la suiteu?(n) n??est la suite(u2,u4,u5,u8,u24,u59,...).

La suite extraite

u?(n)

n??n"est jamais que laCOMPOSÉEu◦?. Si on en extrait une nouvelle suite à partir d"une fonction

ψ:?-→?strictement croissante, le résultat estu◦?◦ψ=u?◦ψ(n) n??et non pasu◦ψ◦?=uψ◦?(n) n??.

Exemple

•Les suites?2n+4n

n??et(n)n??sont deux suites extraites de la suite?n n??, associées respectivement aux fonc- tions d"extractionn?-→2n+4netn?-→n2strictement croissantes de?dans?.

•Les suites constantes égales à 1 et-1 respectivement sont deux suites extraites de la suite(-1)n

n??. Les réels 1 et -1 sont donc deux valeurs d"adhérence de cette suite.

?Attention !Pour toutk??, le terme qui vient aprèsu2kdans la suite(u2n)n??estu2(k+1)=u2k+2et non pasu2k+1.

De même, le terme qui vient aprèsu2k+1dans la suite(u2n+1)n??estu2(k+1)+1=u2k +3et non pasu2k+2. ThéorèmeSoit?une fonction strictement croissante de?dans?. Pour toutn??:?(n)?n. DémonstrationInitialisation :?(0)??, donc?(0)?0. Hérédité :Soitn??. Si?(n)?n, alors par stricte croissance de?:?(n+1)> ?(n)?n, or?(n+1)est unENTIER, donc?(n+1)?n+1. 7

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI

Théorème(Limites de suites extraites)Soient(un)n??une suite réelle et???. (i) Si lim

n→+∞un=?, alors pour toute fonction?:?-→?strictement croissante : limn→+∞u?(n)=?.

En particulier, si(un)n??converge, sa limite est sa seule valeur d"adhérence. (ii) Si lim n→+∞u2n=limn→+∞u2n+1=?, alors limn→+∞un=?.

Démonstration

(i) Sous l"hypothèse que limn→+∞un=?, soit?:?-→?strictement croissante. Nous voulons montrer que

lim n→+∞u?(n)=?. SoitVun voisinage de?. À partir d"un certain rangN:un?V. Or pour toutn?N, par croissance de?et d"après le lemme :?(n)??(N)?N, donc enfinu?(n)?V. (ii) Faisons l"hypothèse que lim n→+∞u2n=limn→+∞u2n+1=?et montrons que limn→+∞un=?. SoitVun voisinage de?. Aussitôt,u2n?Và partir d"un certain rangNetu2n+1?Và partir d"un certain rangN?. Posons n

0=max2N,2N?+1et donnons-nousn?n0quelconque.

— Sin=2pest pair avecp??: 2p=n?n0?2N, doncp?N, doncun=u2p?V. — Sin=2p+1 est impair avecp??: 2p+1=n?n0?2N?+1, doncp?N?, doncun=u2p+1?V.

Dans les deux cas :un?V.

Ce théorème est souvent utilisé pour montrer qu"une suiteN"A PAS DE LIMITE. Il suffit pour cela d"en exhiber deux suites

extraites n"ayant pas la même limite.

ExempleLa suite(-1)n

n??n"a pas de limite car limn→+∞(-1)2n=1 alors que limn→+∞(-1)2n+1=-1.

ExemplePour toutn??, on poseun=n9-!

n 3! 2 . La suite(un)n??n"a pas de limite car :u9n2=0-----→n→+∞0 alors que :u(3n+1)2=(3n+1)2

9-!3n+13!

2 n

2+6n+19!

3 THÉORÈMES D"EXISTENCE DE LIMITE

L"existence d"une limite n"est jamais acquise. Dans les paragraphes qui précèdent, l"existence de certaines limites aété éta-

blie — somme, produit, suites extraites, etc. On omet généralement de voir ces résultats comme des théorèmes d"EXISTENCE

pour les voir seulement, en pratique, comme des théorèmes deCALCUL, de manipulation des limites. Les théorèmes qui

suivent gagnent au contraire à être conçus comme de vrais théorèmes d"existence. Ce qu"ils nous fournissent de façon essen-

tielle, ce n"est pas tant laVALEURd"une limite que sonEXISTENCE.

3.1 THÉORÈMES D"ENCADREMENT/MINORATION/MAJORATION

ThéorèmeSoient(un)n??,(mn)n??et(Mn)n??trois suites réelles et???. (i)Théorème d"encadrement :

Si lim

n→+∞mn=limn→+∞Mn=?et simn?un?Mnà partir d"un certain rang, alors(un)n??converge vers?.

(ii)Théorème de minoration :

Si lim

n→+∞mn= +∞et siun?mnà partir d"un certain rang, alors limn→+∞un= +∞.

(iii)Théorème de majoration :

Si lim

n→+∞Mn=-∞et siun?Mnà partir d"un certain rang, alors limn→+∞un=-∞.

Démonstration

(i) Soit? >0. Par hypothèse,mn?un?Mnà partir d"un certain rangN,mn> ?-?à partir d"un rangN?et

M n< ?+?à partir d"un rangN??, donc pour toutn?maxN,N?,N??:?-? (ii) SoitA>0. Par hypothèse,un?mnà partir d"un certain rangNetmn>Aà partir d"un certain rangN?,

donc pour toutn?maxN,N?:un?mn>A, et enfinun>A. 8

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI

?Attention !Le théorème d"encadrement n"est pas un simple théorème de passage à la limite dans des inégalités larges.

Quand on passe à la limite dans une inégalité,ON SAIT DÉJÀque son membre de gauche et son membre de droite ont une

limite. Dans le théorème d"encadrement au contraire, seules les limites limn→+∞mnet limn→+∞Mnsont réputées exister au départ.

L"existence de limn→+∞unen découle.

Exemplelimn→+∞n!= +∞par minoration carn!?npour toutn??et limn→+∞n= +∞. Le théorème d"encadrement est souvent utilisé sous la formesuivante :

Théorème(Produit d"une suite bornée et d"une suite de limite nulle)Soient(un)n??et(?n)n??deux suites réelles.

Si(un)n??est bornée et limn→+∞?n=0, alors limn→+∞?nun=0.

DémonstrationPar hypothèse, il existe un réelK?0 pour lequel|un|?Kpour toutn??. Multiplions par

n: 0?|?nun|?K|?n|. Aussitôt limn→+∞|?nun|=0 par encadrement, donc limn→+∞?nun=0.

Exemplelimn→+∞sinnn=0 car la suite(sinn)n??est bornée et limn→+∞1n=0. Théorème(Limite d"une suite géométrique)Soitx??.x>1x=1|x|<1x?-1 lim n→+∞xn+∞1 0Pas de limite

Démonstration

•Cas oùx>1:xn=

1+(x-1)

n=nquotesdbs_dbs29.pdfusesText_35
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