[PDF] [PDF] Thèse de doctorat - Normale Sup

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Université Paris-Sud

École Doctorale 142 : Mathématiques de la région Paris-Sud

Laboratoire de Mathématiques d"Orsay

Discipline :Mathématiques

Thèse de doctorat

Soutenue le 12 décembre 2014 par

Vincent Pecastaing

Le groupe conforme des structures

pseudo-riemanniennes Thèse soutenue au vu des rapports de MM. RenatoFereset MarcHerzlich

Composition du jury :Président du jury :M.YvesBenoistDirecteur de recherche (Université Paris-Sud)

M.SorinDumitrescuProfesseur (Université Nice Sophia Antipolis) M.ElishaFalbelProfesseur (Université Pierre et Marie Curie) Directeur de thèse :M.CharlesFrancesProfesseur (Université de Strasbourg) M.MarcHerzlichProfesseur (Université Montpellier 2) M.FrédéricPaulinProfesseur (Université Paris-Sud) ii

Thèse préparée au

Département de Mathématiques d"Orsay

Laboratoire de Mathématiques (UMR 8628), Bât. 425

Université Paris-Sud

91405 Orsay CEDEX

Remerciements

Cette thèse ne pourrait commencer autrement que par l"expression de mes remercie-

ments à Charles Frances, qui a été mon directeur. Durant ces trois années, il s"est constam-

ment montré disponible et à l"écoute, et je suis heureux d"avoir eu la chance de bénéficier

durant tout ce temps de son intuition et de son expérience. Il a guidé mes premiers pas de mathématicien sur des problématiques très riches et passionnantes, et pour lesquelles

mon intérêt n"a fait que croître avec le temps. Pour tout cela, je tiens ici à lui témoigner

ma profonde reconnaissance. Je voudrais également exprimer ma gratitude à Renato Feres et Marc Herzlich pour avoir accepté d"être mes rapporteurs. Je suis honoré qu"ils aient pu prendre de leur temps pour relire mon manuscrit. Je souhaite ensuite remercier vivement Yves Benoist, Sorin Dumitrescu, Elisha Falbel et Frédéric Paulin, qui ont aimablement accepté d"être membres de mon jury de thèse. Durant ces quelques années, j"ai eu la chance de travailler parmi les chercheurs du laboratoire de mathématique d"Orsay. Ils m"ont toujours cordialement ouvert leur porte et c"est toujours spontanément qu"ils ont pris du temps pour écouter mes questions et discuter avec moi. Je les en remercie chaleureusement. Je tiens à remercier les secrétaires du département, tout particulièrement Fabienne Jacquemin et Valérie Lavigne, pour leur aide précieuse face aux divers tracas administratifs que j"ai pu rencontrer. J"ai également eu le plaisir de côtoyer au quotidien une équipe de doctorants très vivante et sympathique, au sein de laquelle ces trois années se sont déroulées dans une très bonne ambiance. Je remercie chacun d"entre eux. Mes remerciements s"étendent à tous mes amis, et je suis heureux qu"une partie d"entre eux ait pu venir à ma soutenance. Je tiens particulièrement à exprimer ma reconnaissance à l"abbé Mole, ainsi qu"à toute sa confrérie. Enfin, je voudrais terminer ces remerciements par une pensée toute particulière à ma famille et à mes proches, pour leur soutien et leur affection.

Résumé

Résumé

Cette thèse a pour objet principal l"étude des structures pseudo-riemanniennes et de leurs groupes de transformations conformes, locales et globales. On cherche à obtenir des informations générales sur la structure du groupe conforme d"une variété pseudo-

riemannienne compacte de dimension au moins3, et on s"intéresse également à la géométrie

et la dynamique des actions conformes de groupes de Lie sur de telles structures. L"essentiel

des résultats présentés en géométrie conforme se situe en signature lorentzienne(1,n-1).

Le point de vue qui est adopté ici est d"interpréter une structure conforme de dimension au moins3comme étant la donnée d"une géométrie de Cartan modelée sur l"univers d"Einstein de même signature. Ces structures géométriques, introduites par Élie Cartan, sont rigides et leurs symétries locales ont des propriétés remarquables. Nous retrouvons

dans ce contexte des résultats formulés par Mikhaïl Gromov à la fin des années 1980, et les

mettons en oeuvre sur le cas particulier de la géométrie de Cartan définie par une structure

conforme.

Mots-clefs

Géométrie pseudo-riemannienne, Géométrie conforme, Structures de CartanThe conformal group of pseudo-Riemannian structures

Abstract

The main object of this thesis is the study of pseudo-Riemannian structures and their local and global conformal transformation groups. The purpose is to obtain general infor- mations about the conformal group of a compact pseudo-Riemannian manifold of dimen- sion greater than or equal to3, and we also study dynamical and geometrical properties of conformal Lie group actions on such structures. The largest part of the result that are presented in this work are formulated in the(1,n-1)Lorentz signature. vi The approach we have chosen here to study a conformal structure is to work with its associated normal Cartan geometry modeled on the Einstein universe with same signature. These geometric structures, introduced by Élie Cartan, are rigid and their local automor- phisms have nice behaviours. We formulate in this context results of Mikhaïl Gromov, that go back to the late 1980", and use them in the particular case of the normal Cartan geometry associated to a conformal structure.

Keywords

Pseudo-Riemannian geometry, Conformal geometry, Cartan structures

Table des matières

Introduction

1

Notations11

I Structures géométriques rigides

13

1G-structures de type fini et leurs automorphismes15

1.1G-structures. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.1.1 Fibrés des repères d"une variété différentielle

15

Définitions générales

15 Forme canonique sur le fibré des repères d"ordre1. . . . . . . . . . .16

1.1.2 Définition générale desG-structures et premiers exemples. . . . . . 17

1.1.3 Prolongation desG-structures. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.1.4G-structures de type fini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.2 Le groupe des automorphismes d"uneG-structure de type fini. . . . . . . . 22

1.2.1 Les résultats de Palais sur les actions infinitésimales de groupes de

Lie 22

1.2.2 Le groupe des automorphismes d"un parallélisme

24

1.2.3 Le groupe des automorphismes d"uneG-structure de type fini. . . 26

2 Géométries de Cartan et le problème d"équivalence

29

2.1 Généralités

29

2.1.1 Un peu de géométrie différentielle dans les espaces homogènes

30

La forme de Maurer-Cartan

30

Le géométrie de Cartan canonique

31

2.1.2 Définition générale

32

2.1.3 Courbure d"une géométrie de Cartan

33

2.1.4 Isomorphismes et champs de Killing

33

2.1.5 Dérivation covariante universelle

35

2.2 Le problème d"équivalence

36

2.2.1 Quelques exemples connus

36

2.2.2 Le cas desG-structures munies de connexions linéaires. . . . . . . . 36

2.3 Problème d"équivalence pour les structures conformes

37

2.3.1 L"espace modèle de la géométrie conforme

38

Un mauvais candidat

38
L"univers d"EinsteinEinp,q. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38

viiiTable des matièresL"algèbreo(p+1,q+1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39

Le stabilisateur d"une direction isotrope

40
Décomposition de Cartan deo(2,n). . . . . . . . . . . . . . . . . . .40 Projections stéréographiques deEin1,n-1. . . . . . . . . . . . . . . .41

2.3.2 Le fibré de Cartan défini par une structure conforme

43

Connexions de Weyl

43
La première prolongation du fibréP→M. . . . . . . . . . . . . . .44 Structure de(CO(p,q)⋉Rn)-fibré principal surP(1)→M. . . . .45

Quelques identifications

47

2.3.3 La connexion de Cartan

48
La1-forme canonique surP(1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48

La condition de normalisation

50
II Orbites des isométries locales de structures rigides 57

3 Homogénéité locale des géométries de Cartan

59

3.1 Définitions

60

3.1.1 Orbites des automorphismes locaux, homogénéité locale

60

3.1.2 Homogénéité infinitésimale

61

3.1.3 Quelques commentaires.

61

3.2 Preuve de la généralisation du théorème de Singer

62

3.2.1 Sous-variétés parallèles d"une géométrie de Cartan

62

3.2.2 Conclusion

65

3.3 Preuve du théorème de l"orbite dense

65

4 Orbites des isométries locales d"une structure rigide

67

4.1 Définitions

69

4.1.1 Générateurs de Killing

69

4.1.2 Champs de Killing locaux

70

4.1.3 Lieu d"intégrabilité

71

4.1.4 Une formulation plus précise du théorème d"intégrabilité

71

Objet de la démonstration du théorème

4.1 71

4.2 Les résultats de Gromov pour les parallélismes

72

4.2.1 Intégration des générateurs de Killing

72

4.2.2 Orbites des automorphismes locaux d"un parallélisme

76

4.3 Des parallélismes aux géométries de Cartan générales

77

4.3.1 Théorème d"intégrabilité

77

4.3.2 Agencement des orbites

78

4.4 Le théorème d"intégrabilité pour les structures analytiques réelles

79

4.4.1 Le théorème d"intégrabilité en analytique

79

4.4.2 Quelques exemples explicites

81
Nécessité de l"hypothèse de compacité dans le théorème 4.4 82

4.5 Extensions aux géométries de Cartan généralisées

82

4.5.1 Structures de Cartan généralisées

83

Généralisation des résultats

83

4.5.2 Éléments de preuves

85

Preuve du théorème

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