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Laboratoire de Mathématiques d'Orsay Discipline : Mathématiques Thèse de doctorat Soutenue le 12 décembre 2014 par Vincent Pecastaing
Université Paris-Sud
École Doctorale 142 : Mathématiques de la région Paris-SudLaboratoire de Mathématiques d"Orsay
Discipline :Mathématiques
Thèse de doctorat
Soutenue le 12 décembre 2014 par
Vincent Pecastaing
Le groupe conforme des structures
pseudo-riemanniennes Thèse soutenue au vu des rapports de MM. RenatoFereset MarcHerzlichComposition du jury :Président du jury :M.YvesBenoistDirecteur de recherche (Université Paris-Sud)
M.SorinDumitrescuProfesseur (Université Nice Sophia Antipolis) M.ElishaFalbelProfesseur (Université Pierre et Marie Curie) Directeur de thèse :M.CharlesFrancesProfesseur (Université de Strasbourg) M.MarcHerzlichProfesseur (Université Montpellier 2) M.FrédéricPaulinProfesseur (Université Paris-Sud) iiThèse préparée au
Département de Mathématiques d"Orsay
Laboratoire de Mathématiques (UMR 8628), Bât. 425Université Paris-Sud
91405 Orsay CEDEX
Remerciements
Cette thèse ne pourrait commencer autrement que par l"expression de mes remercie-ments à Charles Frances, qui a été mon directeur. Durant ces trois années, il s"est constam-
ment montré disponible et à l"écoute, et je suis heureux d"avoir eu la chance de bénéficier
durant tout ce temps de son intuition et de son expérience. Il a guidé mes premiers pas de mathématicien sur des problématiques très riches et passionnantes, et pour lesquellesmon intérêt n"a fait que croître avec le temps. Pour tout cela, je tiens ici à lui témoigner
ma profonde reconnaissance. Je voudrais également exprimer ma gratitude à Renato Feres et Marc Herzlich pour avoir accepté d"être mes rapporteurs. Je suis honoré qu"ils aient pu prendre de leur temps pour relire mon manuscrit. Je souhaite ensuite remercier vivement Yves Benoist, Sorin Dumitrescu, Elisha Falbel et Frédéric Paulin, qui ont aimablement accepté d"être membres de mon jury de thèse. Durant ces quelques années, j"ai eu la chance de travailler parmi les chercheurs du laboratoire de mathématique d"Orsay. Ils m"ont toujours cordialement ouvert leur porte et c"est toujours spontanément qu"ils ont pris du temps pour écouter mes questions et discuter avec moi. Je les en remercie chaleureusement. Je tiens à remercier les secrétaires du département, tout particulièrement Fabienne Jacquemin et Valérie Lavigne, pour leur aide précieuse face aux divers tracas administratifs que j"ai pu rencontrer. J"ai également eu le plaisir de côtoyer au quotidien une équipe de doctorants très vivante et sympathique, au sein de laquelle ces trois années se sont déroulées dans une très bonne ambiance. Je remercie chacun d"entre eux. Mes remerciements s"étendent à tous mes amis, et je suis heureux qu"une partie d"entre eux ait pu venir à ma soutenance. Je tiens particulièrement à exprimer ma reconnaissance à l"abbé Mole, ainsi qu"à toute sa confrérie. Enfin, je voudrais terminer ces remerciements par une pensée toute particulière à ma famille et à mes proches, pour leur soutien et leur affection.Résumé
Résumé
Cette thèse a pour objet principal l"étude des structures pseudo-riemanniennes et de leurs groupes de transformations conformes, locales et globales. On cherche à obtenir des informations générales sur la structure du groupe conforme d"une variété pseudo-riemannienne compacte de dimension au moins3, et on s"intéresse également à la géométrie
et la dynamique des actions conformes de groupes de Lie sur de telles structures. L"essentieldes résultats présentés en géométrie conforme se situe en signature lorentzienne(1,n-1).
Le point de vue qui est adopté ici est d"interpréter une structure conforme de dimension au moins3comme étant la donnée d"une géométrie de Cartan modelée sur l"univers d"Einstein de même signature. Ces structures géométriques, introduites par Élie Cartan, sont rigides et leurs symétries locales ont des propriétés remarquables. Nous retrouvonsdans ce contexte des résultats formulés par Mikhaïl Gromov à la fin des années 1980, et les
mettons en oeuvre sur le cas particulier de la géométrie de Cartan définie par une structure
conforme.Mots-clefs
Géométrie pseudo-riemannienne, Géométrie conforme, Structures de CartanThe conformal group of pseudo-Riemannian structures
Abstract
The main object of this thesis is the study of pseudo-Riemannian structures and their local and global conformal transformation groups. The purpose is to obtain general infor- mations about the conformal group of a compact pseudo-Riemannian manifold of dimen- sion greater than or equal to3, and we also study dynamical and geometrical properties of conformal Lie group actions on such structures. The largest part of the result that are presented in this work are formulated in the(1,n-1)Lorentz signature. vi The approach we have chosen here to study a conformal structure is to work with its associated normal Cartan geometry modeled on the Einstein universe with same signature. These geometric structures, introduced by Élie Cartan, are rigid and their local automor- phisms have nice behaviours. We formulate in this context results of Mikhaïl Gromov, that go back to the late 1980", and use them in the particular case of the normal Cartan geometry associated to a conformal structure.Keywords
Pseudo-Riemannian geometry, Conformal geometry, Cartan structuresTable des matières
Introduction
1Notations11
I Structures géométriques rigides
131G-structures de type fini et leurs automorphismes15
1.1G-structures. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.1.1 Fibrés des repères d"une variété différentielle
15Définitions générales
15 Forme canonique sur le fibré des repères d"ordre1. . . . . . . . . . .161.1.2 Définition générale desG-structures et premiers exemples. . . . . . 17
1.1.3 Prolongation desG-structures. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.1.4G-structures de type fini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.2 Le groupe des automorphismes d"uneG-structure de type fini. . . . . . . . 22
1.2.1 Les résultats de Palais sur les actions infinitésimales de groupes de
Lie 221.2.2 Le groupe des automorphismes d"un parallélisme
241.2.3 Le groupe des automorphismes d"uneG-structure de type fini. . . 26
2 Géométries de Cartan et le problème d"équivalence
292.1 Généralités
292.1.1 Un peu de géométrie différentielle dans les espaces homogènes
30La forme de Maurer-Cartan
30Le géométrie de Cartan canonique
312.1.2 Définition générale
322.1.3 Courbure d"une géométrie de Cartan
332.1.4 Isomorphismes et champs de Killing
332.1.5 Dérivation covariante universelle
352.2 Le problème d"équivalence
362.2.1 Quelques exemples connus
362.2.2 Le cas desG-structures munies de connexions linéaires. . . . . . . . 36
2.3 Problème d"équivalence pour les structures conformes
372.3.1 L"espace modèle de la géométrie conforme
38Un mauvais candidat
38L"univers d"EinsteinEinp,q. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38
viiiTable des matièresL"algèbreo(p+1,q+1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39
Le stabilisateur d"une direction isotrope
40Décomposition de Cartan deo(2,n). . . . . . . . . . . . . . . . . . .40 Projections stéréographiques deEin1,n-1. . . . . . . . . . . . . . . .41
2.3.2 Le fibré de Cartan défini par une structure conforme
43Connexions de Weyl
43La première prolongation du fibréP→M. . . . . . . . . . . . . . .44 Structure de(CO(p,q)⋉Rn)-fibré principal surP(1)→M. . . . .45
Quelques identifications
472.3.3 La connexion de Cartan
48La1-forme canonique surP(1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48
La condition de normalisation
50II Orbites des isométries locales de structures rigides 57
3 Homogénéité locale des géométries de Cartan
593.1 Définitions
603.1.1 Orbites des automorphismes locaux, homogénéité locale
603.1.2 Homogénéité infinitésimale
613.1.3 Quelques commentaires.
613.2 Preuve de la généralisation du théorème de Singer
623.2.1 Sous-variétés parallèles d"une géométrie de Cartan
623.2.2 Conclusion
653.3 Preuve du théorème de l"orbite dense
654 Orbites des isométries locales d"une structure rigide
674.1 Définitions
694.1.1 Générateurs de Killing
694.1.2 Champs de Killing locaux
704.1.3 Lieu d"intégrabilité
714.1.4 Une formulation plus précise du théorème d"intégrabilité
71Objet de la démonstration du théorème
4.1 714.2 Les résultats de Gromov pour les parallélismes
724.2.1 Intégration des générateurs de Killing
724.2.2 Orbites des automorphismes locaux d"un parallélisme
764.3 Des parallélismes aux géométries de Cartan générales
774.3.1 Théorème d"intégrabilité
774.3.2 Agencement des orbites
784.4 Le théorème d"intégrabilité pour les structures analytiques réelles
794.4.1 Le théorème d"intégrabilité en analytique
794.4.2 Quelques exemples explicites
81Nécessité de l"hypothèse de compacité dans le théorème 4.4 82
4.5 Extensions aux géométries de Cartan généralisées
824.5.1 Structures de Cartan généralisées
83Généralisation des résultats
834.5.2 Éléments de preuves
85Preuve du théorème
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