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1 eneral2.6.137 2

Couverturedesrisquesdanslesmarches

nanciers

NicoleElKaroui

email:elkaroui@cmapx.polytechnique.fr

Annee2003-2004

2

Tabledesmatieres

1Presentationdesproduitsderives11

3 4

3Optionsbarrieres59

5

JACENTS95

6Arbitragemultidevise:

Applicationauxoptionsquanto117

6 parJulienSamaha,CreditLyonnais.129

8LESMODELESCLASSIQUESDETAUX145

7

10PRODUITSDERIVESsurTAUXd'INTER^ET181

10.1LesINSTRUMENTSdeCOUVERTURE:

8

11LEMODELELOG-NORMALsurTAUXPIBOR193

Presentationdesproduitsderives9

10DeadeProbabilite,optionnance2003/2004

Chapitre1

Presentationdesproduitsderives

1.1Introductionauxmarchesnanciers

ationetlagrandevolatilitedestaux 11

12DeadeProbabilite,optionnance2003/2004

1.2Titresdebaseetproduitsderives

1.2.1Titresdebase

desactionsemisesparlesentreprisesquire lesannees1985-1987. {Lemarchedeschanges:achat/ventededevises {lemarchedesactionsetdesindicesboursiers {lemarchedestauxd'inter^et

1.2.2Lescontratsaterme

intervenants

Presentationdesproduitsderives13

quantitesontclairementspeciees.

Exemple:

contratenesperantrealiserungain. etentenuncertainsensles lescontraignentdemaniereimportante. danslesmarchesdegreagre. unarbitrage.

14DeadeProbabilite,optionnance2003/2004

1.3.1Lesoptionsnegociables

estleprixdel'option. europeennes.

40,quiestunindicere

maturitedixans,versantdescouponsde10%.

Lesoptionsd'achatetdevente

Lesoperationssurlesoptions

Achatd'uneoptiond'achat:

lecoursal'echeance.

Exemples

Presentationdesproduitsderives15

niveausuperieura1925+28(1+R)pts.

17ptsetde9ptsrespectivement.

Vented'uneoptiond'achat:

Achatd'uneoptiondevente:

Vented'uneoptiondevente:

Straddel:

Lesparametresdesoptions

Ladureed'exercice

16DeadeProbabilite,optionnance2003/2004

sonttraditionnellementlesplusproches.

Leprixd'exercice

Exemple

3100ptsau-dessous(inthemoney)pourunCall

3150ptsau-dessous(inthemoney)pourunCall

3200ptsaupair(atthemoney)

Remarque1.3.1Pourmemoire

Exemple

1850ptsau-dessous(inthemoney)pourunCall

1875ptsau-dessous(inthemoney)pourunCall

1900ptsaupair(atthemoney)

Laprime

Exemple

CAC40cotant3195:02pts,sontde:

Presentationdesproduitsderives17

Prixd'exerciceOptiond'achatOptiondevente

3100pts199:91pts100:13Euro

3150pts168:86pts118:98pts

3200pts140:41pts140:41pts

3250pts115:17pts165:06pts

3300pts93:26pts193:03pts

3350pts74:10pts223:76pts

Remarque1.3.2Pourmemoire

Exemple

cotant1905pts,sontde:

Prixd'exerciceOptiond'achatOptiondevente

1850pts70:00pts26:50pts

1875pts55:00pts34:20pts

1900pts37:00pts44:00pts

1925pts28:00pts62:00pts

1950pts17:00pts

1975pts11:00pts

Lavaleurintrinseque

Call Put

Lavaleurtemps

pouruneoptioneuropeenne.

Lesstraddles

Ler^oledesmarchesorganisesd'options

18DeadeProbabilite,optionnance2003/2004

Fig.1.1:Proldeprixetvaleurintrinseque.

-ST 6TK nance.

1.3.2Lesoptionsdegreagre

Presentationdesproduitsderives19

Lesoptionsexotiques

{lesoptionsbinaires inferieurauprixd'exercice. {lesoptionsasiatiques {lesoptionslookback uxpayeestladierenceentre cherescarellesonttoujoursdelavaleur. desavaleural'echeance. {lesoptionsbarri eres exotiques. {lesoptionsquantos monnaiedomestique.

1.3.3Utilitedesproduitsderives

20DeadeProbabilite,optionnance2003/2004

1.4Lesactivitesdemarched'unebanque

1.4.1LeFrontoce

lessuivantes: durable. del'argumentaire.

Presentationdesproduitsderives21

Lescontre-partiesdutrader

al'evolutiondusous-jacent. dimensionfondamentaledutradingd'options. tinctes. permettant: contrepartiexees.

1.4.2MiddleOce

22Deadeprobabilites-Optionnance2003/2004

cas,lachargedest^achessuivantes: etles\ProtandLoses"descommerciaux.

1.4.3LeBackOce

chargede: auxoperationsinitieesparleFrontOce) backoce marchesetdecontrepartiesparexemple

Chapitre2

EVALUATIONetCOUVERTURE:

LaFORMULEDEBLACKet

SCHOLES

A-Lesgrandsprincipes

2.1LemessagedeBlack,ScholesetMerton.

2.1.1Prixetcouverture

dierents:

L'acheteuraunrisquelimitealaprime

23

24Deadeprobabilites-Optionnance2003/2004

delaprime.

LouisBachelier(1870-1946)

LicenceesSciencesen1895

TheseaParis(HenriPoin-

careen1900:"Theoriedela speculation"

Adesproblemesdeposte:vaca-

taireaParis(1909-1914)puispro- fesseuraBesanconapreslaguerre interpretationdecepointdanslasuite.

LaformuledeBlacketScholes25

MyronScholes(1941,.)

1997PrixNobeld'Economiepouravoirtrouve

unenouvellemethodepourevaluerlesproduits derives. USA

Aliation:StanfordUniversity,Stanford,USA

Appliquees

Aliation:1971,Professeural'Universityde

Chicago,GraduateSchoolofBusiness.

19XX:ProfesseurauMIT

1984:QuitteleMITpourGoldmanSachs&Co.

ScholesetBlack

RobertMerton

1997PrixNobelenEconomiepour

avoirproposedesmethodesnouvelles pourlavaleurdeproduitsderives.

NeaNewYorken1944

Dilp^omes:Ph.D.'70inEconomicsfrom

MIT(Cambridge,MA,USA)

ProfesseuraHarvardBusinessSchool,

HarvardUniversity,Cambridge

26Deadeprobabilites-Optionnance2003/2004

2.1.2Absenced'opportunited'arbitrage

produitsderives,ausensou

Deuxstrategiesquidonnentlem^eme

ontlam^emevaleuratoutedateintermediaire.

Prixd'uncontrataterme

absenced'arbitrage,nousavons

Ft(S;T)=StB(t;T)(2.1.1)

LaformuledeBlacketScholes27

F egaux.

PariteCall-Put

entetenremboursantKB(t;T)ent.

Callt(T;K)Putt(T;K)=StKB(t;T)(2.1.2)

nulle.Maisal'horizonT,ilgarantitun uxde(STK)++(KST)++STK+YtB(t;T)1= Y

2.2EvaluationetCouverturedynamique

2.2.1Gestiondynamique

marche.

2.2.2Quelquesconsiderationsdebonsens

uxdeh(ST)aune

28Deadeprobabilites-Optionnance2003/2004

uxqu'ilrisquede payer. primex=0 portefeuilleetlemontantdu error. ?lesprixre des uxfutursapayer. etelaqualitede lagestionpasseedugestionnaire. mentbrowniengeometrique

LaformuledeBlacketScholes29

2.3.1DenitionetProprietes

22
fSt;t2[0;T]g: S0=x;

22)(ts)

etdevariance2(ts). ti+1

Sti;0in1gsont

independants,etdem^emeloi. S t=f(t;cWt)=xexp t+cWt1 22t
(2.3.1) xexpt+z1

22t,dontlesderiveesvalent:

f

0t(t;z)=f(t;z)(1

22);f0z(t;z)=f(t;z);f00zz(t;z)=f(t;z)2

nousvoyonsque, dS t

St=dt+dcWt(2.3.2)

2estdonneepar

E[exp(U)]=exp

m+1 2 22
(2.3.3) E exp cWt1 22t
=1(2.3.4)

30Deadeprobabilites-Optionnance2003/2004

Cegrapherepresentelesprixdutauxde

changedollar-yenpendantlaperiodeAvril

99-Nov2000,ainsiqueceuxd'uncontrat

future.Lesdeuxevolutionssonttressem- blables.

Cequiestremarquable,independammentde

latendance,c'estlecaracteretreserratique dediusion(c=1,1.1,0.9)destrajectoires d'unmouvementbrownienpresentebeaucoup d'analogiesaveclatrajectoireducoursreel -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2

012345678

Echelle c = 1

Echelle c = 1.1

Echelle c = 0.9

momentsvalent

E[St]=xet;ES2t=x2exp(2+2)t;(2.3.5)

var(St)=x2exp(2t)exp(2t)1

Sharperatio=E[St]x

pvar(St) estindependantdelavaleurinitialex.

2.Pourtoutefonctionhpositiveoubornee,

E(h(Sxt))=Z

h(y)l(t;x;y)dy=Z hxexp (1

22)t+ptug(u)du(2.3.6)

g(z)=1 p2exp z22 (2.3.7)

LaformuledeBlacketScholes31

g(z)estladensitegaussiennecentreereduite l ;2(t;x;y)=1 yp2texp

12d0(t;xet;y)2

(2.3.8) d

0(t;x;y)=1

p2tLog(xy)12pt

Ladensitegaussienneenfonctiondutemps

Ladensitelognormaleenfonctiondutemps

centreereduiteUparcWt=p tUdetellesorteque S t=xexp(Yt)si Y t=(1

22)t+cWt=(122)t+ptU

Lelemmenousconduitauxcalculssuivants:

E[St]=ExeYt=xexp

(1

22)t+122t

=xexp(t) E

S2t=Ex2e2Yt=x2exp

(22)t+1 242t
=x2exp2t+2t =E[St]2exp2t (decroissant)associeea u=1 @u @y=1pty(2.3.10)

32Deadeprobabilites-Optionnance2003/2004

Z h(y)l(t;x;y)dy=Z h(xe(1

22)t+ptu)g(u)du=Z

h(y)g(d0(t;xet;y)1 yp2tdy

Interpretation

dS

0t=S0trdt(2.3.11)

Unordredegrandeurdecetauxest[2%,12%].

restdoncengeneralunparametredereference. marcheaectealasourcederisquecWpuisque primederisque==1 dtEhdS tSti rq 1 dtvar(dStSt)=rdS tSt(2.3.12)

Ilserautiled'ecrire

dS t=St[rdt+(dcWt+dt)](2.3.13) detauxd'inter^etentre8et30%.

Limitesdelamodelisation

LaformuledeBlacketScholes33

touteslessallesdemarche.2

2.4Portefeuilledynamique

[t;t+dt]alabanque. parl'ajoutouleretraitdecash. remarquabledecesquestions

34Deadeprobabilites-Optionnance2003/2004

V ttSt dV

2.4.2Formulationmathematiquedurisquenul

uxterminalh(ST),c'est ducours. anticipationsdesagentssurcetitre. \regulieres"tellesque dv(t;St)=v(t;St)rdt+(t;St)dStrStdt v(T;ST)=h(ST)(2.4.2) tielles.

LaformuledeBlacketScholes35

2.5.1L'EDPd'evaluation

bparrapportaLogx,eta ]0;+1[: (1 v(T;x)=h(x)(2.5.1) Le b)Onaaussiquev(t;x)=ertut;1

Lnx(r122)touuestsolutionde

1 2u00 ww(t;w)+u0 t(t;w)=0u(T;w)=erTh(exp((r1

22)T+w))(2.5.2)

valeurprochede0. dv(t;St)=1

22(S2tv00xx(t;St)+Stv0x(t;St))dt+

v0t(t;St)+v0x(t;St)St(1

22)dt+v0x(t;St)StdcWt

1 dv(t;St)=v(t;St)rdt+(t;St)dStrStdt v0x(t;St)=(t;St)p.s 1

36Deadeprobabilites-Optionnance2003/2004

Lnxde tellesortequeSt=exp(r1

22)t+Wt.

e l'equation(5.5.1): du(t;Wt)=ert(t;St)StdWt du(t;Wt)=1 2u00 ww(t;Wt)dt+u0 t(t;;Wt)dt+u0 w(t;Wt)dWt nousobtenons u 0 w(t;Wt)=ert(t;St)Stp.s1 2u00 ww(t;w)+u0 t(t;w)=0 u(T;w)=h(exp(r122)T+w)erT )Onaalorsv(0;x)=u(0;1

Lnx).Aunedateintermediairet,ona

v(t;St)=ertu(t;1 (r122)t+1lnSt)

2.5.2Extensions

Lecasdescoecientsdependantdutemps

boreliennesetintegrables)dutemps.

02tdt<+1.

1

Leparametredetendance

LaformuledeBlacketScholes37

Lerisqued^uaux

uctuationsesttoujourspresentetin uesignicativementsurleprix quivadecrirelesavoir-fairedutrader.

2.6LaformuledeBlacketScholes

2.6.1Resolutiondel'EDP

Noyaud'evaluation

densitegaussienne g(T;y)=1 p2Texp(y22T)(2.6.1)

Ilestbienconnuque

u(0;w)=Z ?k(w+y)g(T;y)dy=Z ?k(y)g(T;yw)dy=E?(k(w+cWT))(2.6.2) u(t;w)=Z ?k(w+y)g(Tt;y)dy=Zquotesdbs_dbs45.pdfusesText_45

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