[PDF] Chapitre 4 - LOIS DE CONSERVATION

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Chapitre4

LOISDECON SERVATION

4.1Conse rvationdelaquantit´edemouveme nt

Nousavons juqu'`apr´e sent´ecritl'´equationd emouvementdesfluides`apart irdel'´equation fondamentaledeladynamiqueainsiq uel'´e quationd econservationdelamasse.Nousal lons

maintenantr´e´ecrireces´e quationssousuneautreformeenconsid´e rantlebil andequantit´ede

mouvementdansunvolumeferm´ edufluide.

4.1.1Conservat iondelaquantit´edemouvement

D´eterminonslavariationtemporelledela quantit ´edemouvementd'un´ el´ementdefluidede volumeunit´e,don tlamasseest!: "(!u) t =u t "u t (4.1) etutil isons,d'unepart,l'´equationdem ouvement(3.18)

quireliel 'acc´el´eration"par ticulaire"Du/Dtauxforce senvolumeetauxcon trainte s;l'´equation

4.1devi ent:

"(!u) t =u t !!u."u+div#+f(4.2)

D'autrepart,r´e´ecri vonsl'´equati ondeconservationdelamassedecet´el´eme ntdevolume,sousla

forme"lagrangienne ": t +".(!u)=0 (4.3) et4.2don ne: "(!u) t =!u".(!u)!!u."u+div#+f(4.4) soit,ennotation indici ellepourlacomposant ei: "(!u i t =!u i "(!u j x j !!u j u i x j ij x j +f i (4.5) cequid onne,enregr oupantlesdeuxpre mierst ermesdumembrededroite : "(!u i t x j (!!u i u j ij )+f i (4.6) L'´equation4.6n'estqu'uneaut re´ecr ituredel'´equati ondemouvement.Ellen efaitaucunehy - poth`esequant`alacompre ssibilit´eou` alaloi decompor tement;elleestvalidedanstoutesles circonstances.Lesecondmembrede4.6faitappara ˆı treladivergenced utenseurdescontrain tes 35

36CHAPITRE4.LOISDECONSERV AT ION

ainsiqueladiv ergencedufluxconvecti fdequantit´edemouvement.L'e xpression!u i u j estene et laquant it´edemouvementdansladire ctioniquitraver se,parunit´edetemps,unesurf aceunit ´e dontlanormal eestpar all`ele`ajetce,u niquement sousl'e!etdela convect ionduflu ide.Lasomme de!u i u j etde # ij constituelefluxtotaldequanti t´edem ouvement.

Enprati que,l'´equationdeconservati ondel'impulsionestsurtoututil is´ee soussaformeint´egrale,

quenousallon s´etablirm aintenant.Int ´egrons4.6surunvolumeV,fix eparrapport aurep`e reo`uest d´efinielavitesseeu l´erie nneu,en utili santleth´eor`emedeladiver gence: V ".AdV= S

A.ndS.

Nousobten ons:

V "(!u i t dV=! S (!u i u j ij )n j dS+ V f i dV o`uSestlasur facelim itantlevolumeVetnestlanormal e`aS.Et ,enutili santlef aitque levolum eVestfixedans l'espace,e ns´eparant letenseurdescontraintesen unepart ieisotrope !p$ ij etund´ eviateu rd ij d dt V u i dV S u i u j n j dS+ S d ij n j dS! S pn i dS+ V f i dV(4.7)

L'´equationdeconservationdel' impuls ionprenduneformeparticuli`ere ments implelorsquel'´ecoulement

eststationn aireetquelaforceenvolumed´eri ved'un potentiel %(commelagravit´e, parexe mple).

Alors,4.7devien t:

S u i u j n j dS= S d ij n j dS! S pn i dS+ S n i dS(4.8) quiexprim eun´equilibreentre,d 'unepar t,lefluxconvectifdequantit´edem ouvement`atravers

lasurf aceSet,d'autr epart,l'int´egraledes contraintesdˆ ues`alapr´esencedufluideext´er ieurau

volumeVetl'in t´egralesurSdupoten tiel´equivalentauchampdefor ce.Nousverronsqu'unchoix judicieuxduvolumedecontrˆoleVpermetd'estimertr `essimplementlaforcesurdesob jetsplac´es aucon tactd'un´ecouleme nt.L'´equation deconservationsouslaforme4.8nefaitinter venirque

desquantit ´escalcul´eessurlasurfacelim itantlevolumedecontrˆole;iles tinutiled econnaˆ ıtrele

champdevitess eetlec hampdepression`al'int´ erieur deV.

4.1.2Exempl ed'applicationdelacons ervationdelaquantit´edemouve-

ment:forcee xerc ´eeparl'´ecoulem entsuruneconduitecoud´ ee Consid´eronsl'´ecoulementdansunec onduitepr´esentantuncoudeprogressifd'angle &.Nous supposonsiciquel'´ecoule mentest` aunnombred eReynoldssu santpourque lese etsvisque ux soientn´egligeables .Deplus,noussupposonsqueleprofildevit essee stplatdanslessect ions droitesdutube,cequ ie ectivementobserv´e`agrandnombrede Reynolds.Nouscherchonsla

forceexerc´ee parl'´ecoulementsurlacondu ite.Ce tteforceFestl'int´ egraledescontraintessurla

surfaceint´erieure delaconduiteS i ,soi t:F= Si !p˜ndSo`u˜nestunvec teurun itairenormal`a S i etorien t´everslefluide. Pourcalcule rF,app liquonslaloideconservationde l'impu lsionsu runvolu medecontrˆole d´elimit´eparlasurfaceint´erieu redel acondui teS i etparde uxsec tionsdroitesS 1 etS 2 plac´ees enamonte tenavaldu coude,s oit,enn ´egligeantl epoidsd uliquidecontenu dansletube: S u i u j n j dS=! S pn i dS o`uSestlar´e unionde S 1 ,S 2 etS i .Soi tencore,p uisquelesvecteursu nitairesnsontorient´ esvers S u i u j n j dS=! S1 pn i dS! S2 pn i dS!F i (4.9)

4.2.CONSE RVATIONDEL'

ENERGIE37

Fig.4.1-Ecou lem entdansuneconduitecoud´ee.Levol umedecontr ˆoleutili s´epourappliquerla conservationdel'impulsionestli mit´ep arletraitpointill´e.

Lesnormal es`aS

1 etS 2 ontpourc omposantesr espectives:(-1,0)et(cos&,sin&).Lacomp osant e suivantxdel'´e quationdeconservationest: !(!U 2 1 S 1 +U 2 2 S 2 cos&)=p 1 S 1 !p 2 S 2 cos&!F x (4.10) etlacom posantsu ivantyest: U 2 2 sin&=!p 2 S 2 sin&!F y (4.11) Ilfauta jouter`ac esdeux´equationslacon servat iondud´ebi t:U 1 S 1 =U 2 S 2 ,ce quidonn e: F x =p 1 S 1 !p 2 S 2 cos&+!U 2 S 2 (U 1 !U 2 cos&)(4. 12) F y =!(!U 2 2 +p 2 )S 2 sin&(4.13) Sil'en tr´eeetlasortieducoudeontlamˆ emesec tion:S 1 =S 2 etUquotesdbs_dbs31.pdfusesText_37

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